Плоское напряженное состояние

1. Полное, нормальное и касательное напряжения на наклонных площадках.

Рис. 12.1 Плоское напряженное состояние (ПНС) является частным случаем объемного, когда отсутствуют все напряжения на площадках, перпендикулярных к одной из координатных осей. Пусть отсутствуют напряжения на площадках, перпендикулярных к оси, т. е.

(9).

Получим ПНС в осях, показанное на рис. 12.1.

На наклонной площадке действует полное напряжение, которое можно разложить:

• 1. на составляющие по осям и, т. е. на и ;
• 2. на нормальное и касательное напряжения.

Очевидно: (10).

Как и в объемном напряженном состоянии, положение площадки определим так (см. рис. 12.1):

(11).

Напряжения и здесь определяются из уравнений (11.4), подставляя в них (9) и.

(12.7).

Здесь .

Уравнения (12.7) легко получить из условий равновесия треугольного элемента, показанного на рис. 12.1 Определим площадки элемента:

(13).

Умножая напряжения на площадки, составим уравнения статики.

Подставляя (13) и сокращая на, получим формулы (12.7). Нормальное напряжение найдем, проектируя и на нормаль к площадке (см. рис. 12.1).

Подставляем (12.7), получим:

Подставляя (11) и учитывая, что, найдем.

Касательное напряжение определим, проектируя и на направление (см. рис. 12.1).

Подставим (11) и учитывая, что, окончательно получим.

(12.9).

2. Главные напряжения, главные площадки Здесь, как и в объемном напряженном состоянии, имеются главные площадки с направляющими косинусами и, на которых нормальные напряжения экстремальны и они называются главными напряжениями, а касательные напряжения отсутствуют. Поэтому здесь. Подставляя это в формулы (12.7) получим.

(14).

Известно, что, поэтому уравнения (14) имеют решение, если его определитель.

Раскроем этот определитель.

(15).

Здесь инварианты ПНС.

Решение квадратного уравнения (15) дает два корня и, которые и называют главными напряжениями в ПНС:

Окончательно получим для (знак (+)) и (знак (-)):

(12.10).

Положение главных площадок, где действуют и в ПНС удобно определять углами, которые нормали к главным площадкам составляют с осью. Их легко определить из условия отсутствия на главных площадках касательных напряжений. Подставляя и в (12.9) получим.

откуда.

(12.11).

Из (12.11) получим два значения, одно, другое, которые определяют две взаимно ортогональные главные площадки. и откладывать от оси против хода часовой стрелки.

Чтобы не выяснять, на каких площадках действуют и, надо подставить и в формулу (12.8), большая величина, а меньшая. Эти величины и должно быть равны величинам, вычисленным по (12.10).

3. Экстремальные касательные напряжения.

Рис.с Вырежем из тела, испытывающего ПНС, прямоугольный элемент с главными площадками, на которых действуют и. Выделим наклонную площадку ab, нормаль к которой с направлением составляет угол. Напряжения и на этой площадке найдем по зависимостям (12.8) и (12.9), полагая .

(16).

Из второй формулы (16) видно, что при.

(12.12).

Подставляя сюда и из формулы (12.10), получим.

(12.13).

Итак, экстремальные касательные напряжения действуют на площадках под углом 45 к главным и определяются по формулам (12.12) или (12.13).

Нормальные напряжения на этих площадках найдем по первой формуле (16), подставляя ().

(17).

напряжение деформированный тело касательный.

Здесь учтено, что .

4. Чистый сдвиг

Рассмотрим частный случай ПНС, когда главные напряжения .

В этом случае экстремальные найдем по (12.12), а нормальные напряжения на этих площадках по (17). Итак Такой случай носит название чистый сдвиг.

Рис. d Вырежем из тела прямоугольный элемент, испытывающий чистый сдвиг, т. е. по его граням действуют только. Найдем нормальное напряжение и касательное на наклонной площадке под углом (рис. d). Используя формулы (12.8) и (12.9), подставляя в них:,. Получим.

(12.14).

Из этих формул видно, что при, а это как известно, характеристики главной площадки.

Итак, при чистом сдвиге главные площадки расположены под углом 45 к площадкам чистого сдвига, а главные напряжения на них:

(при).