Применение муравьиных алгоритмов при решении задач оптимизации

Применение муравьиных алгоритмов для задачи коммивояжёра

Задача формулируется как задача поиска минимального по стоимости замкнутого маршрута по всем вершинам без повторений на полном взвешенном графе с n вершинами. Содержательно вершины графа являются городами, которые должен посетить коммивояжёр, а веса рёбер отражают расстояния (длины) или стоимости проезда. Эта задача является NP-трудной, и точный переборный алгоритм её решения имеет факториальную сложность.

Моделирование поведения муравьёв связано с распределением феромона на тропе — ребре графа в задаче коммивояжёра. При этом вероятность включения ребра в маршрут отдельного муравья пропорциональна количеству феромона на этом ребре, а количество откладываемого феромона пропорционально длине маршрута. Чем короче маршрут, тем больше феромона будет отложено на его рёбрах, следовательно, большее количество муравьёв будет включать его в синтез собственных маршрутов. Моделирование такого подхода, использующего только положительную обратную связь, приводит к преждевременной сходимости — большинство муравьёв двигается по локально оптимальному маршруту. Избежать этого можно, моделируя отрицательную обратную связь в виде испарения феромона. При этом если феромон испаряется быстро, то это приводит к потере памяти колонии и забыванию хороших решений, с другой стороны, большое время испарения может привести к получению устойчивого локального оптимального решения. [1].

Теперь с учётом особенностей задачи коммивояжёра, мы можем описать локальные правила поведения муравьёв при выборе пути.

1. Муравьи имеют собственную «память». Поскольку каждый город может быть посещён только один раз, то у каждого муравья есть список уже посещённых городов — список запретов. Обозначим через J i, k список городов, которые необходимо посетить муравью k, находящемуся в городе i. 2. Муравьи обладают «зрением» — видимость есть эвристическое желание посетить город j, если муравей находится в городе i. Будем считать, что видимость обратно пропорциональна расстоянию между городами.

3. Муравьи обладают «обонянием» — они могут улавливать след феромона, подтверждающий желание посетить город j из города i на основании опыта других муравьёв. Количество феромона на ребре (i, j) в момент времени t обозначим через.

На этом основании мы можем сформулировать вероятностно-пропорциональное правило, определяющее вероятность перехода k-ого муравья из города i в город j:

(1).

Где б, в — параметры, задающие веса следа феромона. При б =0 алгоритм вырождается до жадного алгоритма (будет выбран ближайший город). Заметим, что выбор города является вероятностным, правило (1) лишь определяет ширину зоны города j; в общую зону всех городов бросается случайное число, которое и определяет выбор муравья. Правило (1) не изменяется в ходе алгоритма, но у двух разных муравьёв значение вероятности перехода будут отличаться, т.к. они имеют разный список разрешённых городов.

5. Пройдя ребро (i, j), муравей откладывает на нём некоторое количество феромона, которое должно быть связано с оптимальностью сделанного выбора. Пусть Tk (t) есть маршрут, пройденный муравьём k к моменту времени t, Lk (t) — длина этого маршрута, а Q — параметр, имеющий значение порядка длины оптимального пути. Тогда откладываемое количество феромона может быть задано в виде.

Правила внешней среды определяют, в первую очередь, испарение феромона. Пусть есть коэффициент испарения, тогда правило испарения имеет вид.

где m — количество муравьёв в колонии.

В начале алгоритма количества феромона на рёбрах принимается равным небольшому положительному числу. Общее количество муравьёв остаётся постоянным и равным количеству городов, каждый муравей начинает маршрут из своего города.

Дополнительная модификация алгоритма может состоять в ведении так называемых «элитных» муравьёв, которые усиливают рёбра наилучшего маршрута, найденного с начала работы алгоритма. Обозначим через T* наилучший текущий маршрут, через L* — его длину. Тогда если в колонии есть e элитных муравьёв, то рёбра маршрута получат дополнительное количество феромона.

(3).