Исследование цепей постоянного тока

R₁ = 30 Ом E₁ = 140 В.

R₂ = 80 Ом E₂ = 0 В J_k1 = -4 A.

R₃ = 70 Ом E₃ = 0 В J_k2 = 0 A.

R₄ = 90 Ом E₄ = 0 В J_k3 = 0 A.

R₅ = 20 Ом E₅ = -60 В.

R₆ = 80 Ом E₆ = 0 В.

Задание:

• 1) На основании законов Кирхгоффа составить систему уравнений для определения токов во всех ветвях.
• 2) Определить токи во всех ветвях методом контурных токов.
• 3) Определить токи во всех ветвях методом узловых потенциалов, приняв потенциал 4-го узла равным нулю.
• 4) Составить баланс мощностей.
• 5) Определить ток в первой ветви, используя метод эквивалентного генератора.
• 6) Начертить в масштабе потенциальную диаграмму для всех контуров, содержащих два ЭДС.
• 1. На основании 1-го закона Кирхгоффа составим систему уравнений для определения токов во всех ветвях:

Для 1-ого узла: I₁ + I₃ — I₄ = 0.

Для 2-ого узла: I₄ + I₅ + J_k1 — I₆ = 0.

Для 3-ого узла: I₅ + I₃ — I₂ = 0.

Для 4-ого узла: I₁ + I₂ +J_k1— I₆ = 0.

2. На основании 2-го закона Кирхгоффа составим систему уравнений для определения токов во всех ветвях:

Для 1-ого контура: I_1* R₁— I_3* R₃— I_2* R_{2 =} E₁ + J_k1

Для 2-ого контура: I_4* R₄— I_5* R₅+ I_3* R_{3 =} — E₅

Для 3-ого контура: I_2* R₂ + I_5* R₅ + I_6* R_{6 =} E₅

3. Расчет методом контурных токов

Рассчитаем собственные токи:

Рассчитаем собственные сопротивления контуров и сопротивления, находящиеся на границе контуров:

R₁₁ = R₃ + R₄ + R₅ = 70 + 90 + 20 = 180 Ом.

R₂₂ = R₁ + R₂ + R₃ = 30 + 80 + 70 = 180 Ом.

R₃₃ = R₂ + R₅ + R₆ = 80 + 20 + 80 = 180 Ом.

R₁₂ = R₂₁ = -R₃ = -70 Ом.

R₂₃ = R₃₂ = -R₂ = -80 Ом.

R₁₃ = R₃₁ = -R₅ = -20 Ом.

Рассчитаем полные Э.Д.С., действующих в контурах:

E_к1 = J_k1*R₄ — E₅ = (-4)*90 — (-60) = - 300 B.

E_к2 = J_k1*R₁ + E₁ = (-4)*30 +140 = 20 B.

E_к3 = E₅= -60 B.

Cоставим систему уравнений для трех контуров:

R_{11 *} I_{11 +} R_{12 *} I_{22 +} R_{13 *} I_{33 =} E_K1

R_21* I_{11 +} R_{22 *} I_{22 +} R_{23 *} I_{33 =} E_K2

R_31* I_{11 +} R_{32 *} I_{22 +} R_{33 *} I_{33 =} E_K3

Решив систему с помощью программы GAUSS, находим контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃: ток контур мощность кирхгофф.

I₁₁ = -2,304 А.

I₂₂ = -1,304 А.

I₃₃ = -1,169 А Находим токи в ветвях:

I₁ = I₂₂ = -1,304 А.

I₂ = -I₂₂ + I₃₃ = 1,304 + (-1,169) = 0,135 А.

I₃ = I₁₁ — I₂₂ = -2,304 — (-1,304) = -1 А.

I₄ = I₁₁ = -2,304 А.

I₅ = -I₁₁ + I₃₃ = 2,304 + (-1,169) = 1,135 А.

I₆ = I₃₃ = -1,169 А.

Скорректируем значения токов в ветвях в которые добавлены дополнительные ЭДС:

I₁ = -1,304 — (-4) = 2,696 А.

I₄ = -2,304 — (-4) = 1,696 А.

4. Расчет методом узловых потенциалов

Составим собственные, меж узловые проводимости и собственные токи узлов.

G₁₁ = 1/R₁ + 1/R₃ + 1/R₄ = 1/30 + 1/70 + 1/90 = 0.0587 1/Ом.

G₂₂ = 1/R₄ + 1/R₅ + 1/R₆ = 1/90 + 1/20 + 1/80 = 0.0736 1/Ом.

G₃₃ = 1/R₂ + 1/R₃ + 1/R₅ = 1/80 + 1/70 + 1/20 = 0.0768 1/Ом.

G₁₂ = G₂₁ = -1/R₄ = -0.0111 1/Ом.

G₂₃ = G₃₂ = -1/R₅ = -0.05 1/Ом.

G₁₃ = G₃₁ = -1/R₃ = -0.0143 1/Ом.

I_с1 = E₁/R₁ =140/30 = 4.666 А.

I_с2 = E₅/R₅ +J_k1= -60/20 +(-4) = -7 А.

I_с3 = -E₅/R₅ = 3 А.

Cоставим систему уравнений для трех узлов:

• 1*G_{11 + 2*G12 + 3*G13 = Iс1}
• 1*G_{21 + 2*G22 + 3*G23 = Iс2}
• 1*G_{31 + 2*G32 + 3*G33 = Iс3}

Решив систему с помощью программы GAUSS, находим величины потенциалов ₁, _{2, 3}:

₁ = 59,168 В ₂ = -93,531 В ₃ = -10,813 В Далее находим токи в ветвях, пользуясь законом Ома для участка цепи:

I₁ = (₄ — _{1 +} E₁)/R₁ = (0 — 59,168 + 140)/30 = 2,694A.

I₂ = (₄ — ₃)/R₂ = (0 + 10,813)/80 = 0,135 А.

I₃ = (₃ — ₁)/R₃ = (-10,813 — 59,168)/70 = -1 A.

I₄ = (₁ — ₂)/R₄ = (59,168 + 93,531)/90 = 1,697 A.

I₅ = (₃ — ₂ + E₅)/R₅ = (-10,813 + 93,531 — 60)/20 = 1,136 A.

I₆ = (₂ —₄)/R₆ = (-93,531 — 0)/80 = -1,169 A.

Проверка токов по 1-му закону Кирхгоффа:

Для 1-ого узла: I₁ + I₃ — I₄ = 2,694 + (-1) — 1,697 = -0,003 ~ 0.

Для 2-ого узла: I₄ + I₅ + J_k1 — I₆ = 1,697 + 1,136 + (-4) — (-1,169) = 0,002 ~ 0.

Для 3-ого узла: I₅ + I₃ — I₂ = 1,136 + (-1) — 0,135 = 0,001 ~ 0.

Для 4-ого узла: I₁ + I₂ +J_k1— I₆ = 2,694 + 0,135 + (-4) — (-1,169) = -0,002 ~ 0.

Таблица токов:

5. Баланс мощности

=.

=(2,695)²30 + (0,135)² 80 + (-1)² 70+(1,696)² 90+(1,135)² 20+(-1,169)² 80 = 683,316 Вт.

=.

U₂₄ = ₂ —₄

U₂₄ = -93,531 — 0 = -93,531 В.

=2,695*140 + 1,135*(-60) + (-4)*(-93,531) = 683,324 Вт.

6. Расчет I1 методом эквивалентного генератора.

Составим собственные, меж узловые проводимости и собственные токи узлов.

G`₁₁ = 1/R₃ + 1/R₄ = 1/70 + 1/90 = 0.0254 1/Ом.

G`₂₂ = 1/R₄ + 1/R₅ + 1/R₆ = 1/90 + 1/20 + 1/80 = 0.0736 1/Ом.

G`₃₃ = 1/R₂ + 1/R₃ + 1/R₅ = 1/80 + 1/70 + 1/20 = 0.0768 1/Ом.

G`<sub>12</sub> = G`₂₁ = -1/R₄ = -0.0111 1/Ом.

G`<sub>23</sub> = G`₃₂ = -1/R₅ = -0.05 1/Ом.

G`<sub>13</sub> = G`₃₁ = -1/R₃ = -0.0143 1/Ом.

I`_с1 = 0 A.

I`_с2 = E₅/R₅ +J_k1= -60/20 + (-4) = -7 А.

I`_с3 = -E₅/R₅ = 3 А.

Cоставим систему уравнений для трех узлов:

`<sub>1</sub>*G`₁₁ + `<sub>2</sub>*G`₁₂ + `<sub>3</sub>*G`₁₃ = I`_с1

`<sub>1</sub>*G`₂₁ + `<sub>2</sub>*G``<sub>22</sub> + `₃*G`<sub>23</sub> = I`_с2

`<sub>1</sub>*G`₃₁ + `<sub>2</sub>*G`₃₂ + `<sub>3</sub>*G`₃₃ = I`_с3

Решив систему с помощью программы GAUSS, находим величины потенциалов `<sub>1</sub>, `_2, `₃:

`<sub>1</sub> = -154.96 В `₂ = -200 В `₃ = -120 В.

U_14xx = `<sub>4</sub> — `_{1 +} E₁= E₁ — `₁

U_14xx = 140 — (-154.96) = 294.96 В Для определения внутреннего сопротивления удаляем из схемы все источники энергии:

Преобразуем треугольник в звезду:

R₃₄ = (R₃ R₄)/(R₃ +R₄ +R₅)= 35 Ом.

R₃₅ = (R₃ R₅)/(R₃ +R₄ +R₅)= 7,778 Ом.

R₄₅ = (R₄ R₅)/(R₃ +R₄ +R₅)= 10 Ом Далее R₄₅ и R₆ заменяем на эквивалентное R_а = R₆ + R₄₅

Далее R₃₅ и R₂ заменяем на эквивалентное R_b = R₂ + R₃₅

Далее R_a и R_b заменяем на эквивалентное R_c = R_a + R_b

Рассчитываем R_вн:

R_вн = R_c + R₃₄ = R₃₄ +((R₄₅ +R₆) (R₃₅ +R₂))/(R₂ +R₆ +R₃₅ + R₄₅) = 79,438 Ом Вычисляем ток I₁:

I₁ = U_14хх/(R_вн + R₁) = 154,96/(79,438 + 30) = 2,695 А.

7. Построение потенциальной диаграммы для всех контуров, содержащих два ЭДС

Начнем обход из 4-го узла по часовой стрелке:

_а = ₄ + E₁ = 140 В.

• 1 = _а — I₁* R₁ = 140 — 2,695*30 = 59.15 В
• 2 = ₁ — I₄* R₄ = 59.15 — 1,696*90 = -93.49 В

_b = ₂ — E₅ = -93.49 — (-60) = -33.49 В.

• 3 = _b + I₅* R₅ = -33.49 + 1.135*20 = -10.79 В
• 4 = ₃ + I₂* R₂ = -10.79 + 0.135*80 = 0.01 ~ 0 B