Основы метрологии, стандартизации и сертификации

В ста измеренных эталонах фиксировались ошибки измерительных приборов данного типа. Результаты измерения сведены в таблицу:

Содержание работы:

• 1. Используя табличные значения необходимо найти математическое ожидание и дисперсию (Mx, Dx).
• 2. Найти доверительный интервал для Mx, Dx, соответствующий доверительной вероятности (1 -)=0,85.
• 3. Оценить вероятность попадания случайной величины X в интервал (0,8 1,1) .
• 4. Для этой вероятности (3) найти интервал, соответствующий коэффициенту доверия (1 —)=0,8.
• 5. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.
• 6. Найти и построить доверительные области для f (x), соответствующую коэффициенту доверия (1-)=0,85; и F (x), соответствующую коэффициенту доверия (1-)=0,9.
• 7. Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.
• 8. Используя критерий согласия и критерий Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при уровне значимости =0,01.

Решение:

Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100.

Выборочное среднее:

Выборочная дисперсия: интервал вероятность распределение.

Исправленная дисперсия:

Рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, предварительно задав доверительную вероятность (1-б)=0,95. Тогда по формуле:

По таблице Лапласа находим еб=1,96.

Доверительный интервал для математического ожидания:

Mx1 = 53,22 — 1,96 М Mx2=53,22 + 1,96 М.

Доверительный интервал для дисперсии:

Dx1 = = 2544,00 Dx2= = 4463,74.

следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

• 41,98 MX 64,44 2544,00 DX 4463,74
• 3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал. Т.к. в этот интервал попало m=10 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:

4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р (х), оцененной в предыдущем пункте. Пусть в этом случае доверительная вероятность равна (1-б)=0,9. Тогда еб=1,65, а искомый интервал имеет вид:

• 5. Построим гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.
• 1) Для построения гистограммы Г (х) заключаем все экспериментальные данные в интервал (0; 316) и разбиваем его на 8 равных разрядов, каждый из которых длинной 39.5.

Значение гистограммы Г (x) находим по формуле:

.

где — число экспериментальных точек, попавших в этот разряд ;

— его длина.

величина интервала:

количество разрядов: k = 8.

величина разряда:

Затем рассчитываем следующую таблицу:

График гистограммы представлен на рис.1:

2) Построение эмпирической функции распределения случайной величины.

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле:

где — число экспериментальных точек, лежащих левее Х.

Таблица значений F (x):

График эмпирической функции распределения случайной величины представлен на рис. 2:

• 6. Находим доверительные области для распределения f (х) и функции распределения F (х).
• 1) Построение доверительной области для плотности распределения f (x) соответствующей заданной доверительной вероятности (1-)=0,85

— для каждого разряда находим частоту попадания случайной величины Х,.

где ni — число экспериментальных точек, попавших в i-ый разряд Это было определено в (5) пункте.

• — находим доверительную вероятность (1-б1) для построения доверительной области на каждом разряде:
• (1-б1) = 1 — б/r,

r = 10 — число разрядов, включая полубесконечные.

• (1- б)=0,85 б=0,15
• (1-б1) = 1 — б/r=1−0,15/10=0,995
• — находим величину еб из условия:
  • 2Ц (еб) = 1 — б1, Ц (еб) — функция Лапласа

Ц (еб) = (1 — б1)/2 = 0,995/2=0.4975.

По таблице для функции Лапласа находим еб = 2,81.

• — для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для вероятности попадания случайной величины в этот разряд по формулам в (4) пункте.
• — для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для плотности распределения:

и.

(для полубесконечных разрядов считаем, что они лежат в доверительной области).

Рассчитываем и строим следующую таблицу.

Гистограмма с доверительной областью изображена на рис. 3:

• 2) Построение доверительной области для функции распределения F (x):
  • — (1 — б) = 0,80 по таблице Колмогорова = 1,08
  • — максимальное расхождение D истинной функции распределения и эмпирической функции:

D =.

— искомая область выражается следующим образом:

F (x).

Функция распределения является вероятностью, следовательно, доверительная область для нее не может распространяться ниже нуля и выше единицы.

Рассчитываем доверительную область для функции распределения F (х).

Таблица доверительных границ для F (x):

График эмпирической функции распределения F (x) с доверительной областью представлен на рис.4:

7. Сглаживание гистограммы и эмпирической функции распределения подходящим законом распределения.

Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией:

где Ф (u) — функция Лапласа.

и с плотностью:

где — исправленная дисперсия.

1) Определим Fг (Х) для каждого Х, полученные результаты занесем в таблицу:

i.
	— 1,9283.	— 0,473.	0,027.
	— 1,2115.	— 0,387.	0,113.
	— 0,4946.	— 0,191.	0,309.
	0,22 228.	0,087.	0,587.
	0,93 915.	0,326.	0,826.
	1,65 602.	0,45.	0,95.
	2,37 289.	0,48 827.	0,98 827.
	3,8 976.	0,49 865.	0,99 865.
	— 1,9283.	— 0,473.	0,027.

Эмпирическая F (X) и гипотетическая Fг (Х) функции распределения представлены на рис.5:

2) Определим fг (x) для каждого Х.

График для плотности распределения представлен на рисунке 6:

Используя критерии согласия ч2 и Колмогорова проверим правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного распределения с истинным законом при заданном уровне значимости =0,01.

1) Для проверки гипотезы H0: F (x)=FГ (х) выбираем например уровень значимости б=0,01 и используем вначале критерий согласия ч2. Его экспериментальное значение, согласно формуле:

i.
	0,02.	— 1,9283.	— 0,473.	— 2,6452.	— 0,498.	0,025.	0,001.
	0,1.	— 1,2115.	— 0,387.	— 1,9283.	— 0,473.	0,086.	0,228.
	0,17.	— 0,4946.	— 0,191.	— 1,2115.	— 0,387.	0,196.	0,345.
	0,27.	0,22 228.	0,087.	— 0,4946.	— 0,191.	0,278.	0,23.
	0,24.	0,93 915.	0,326.	0,22 228.	0,087.	0,239.	4,2E-06.
	0,17.	1,65 602.	0,45.	0,93 915.	0,326.	0,124.	0,1 706.
	0,02.	2,37 289.	0,48 827.	1,65 602.	0,45.	0,3 827.	0,872.
	0,01.	3,8 976.	0,49 865.	2,37 289.	0,48 827.	0,1 038.

ч2э= 3,27 629.

А его гипотетическое значение при выбранном уровне значимости б=0,01 и числе степеней свободы s=10−1-2=7 согласно условию равно ч2б=12,017. Таким образом, и, следовательно, гипотеза Н 0 по критерию согласия ч2 является правдоподобной.

2) Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно (см. рис. 5).

откуда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:

Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости б=0,01 (см. табл. Колмогорова) равно лб=1,63. Таким образом и, следовательно, гипотеза Н 0 является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.