О фрактальной структуре нефтегазовых месторождений

В последнее время при изучении неупорядоченных систем весьма эффективно используются фрактально — геометрические методы [1], [2], основным для аппарата фрактальной математики является понятие дробной размерности, впервые введенное Хаусдорфом. На языке фрактальной математики в 1980 г. были сформулированы основные положения теории протекания. В частности, установлена фрактальная природа так называемых вязких пальцев в пористых средах, где сильно вязкая жидкость (нефть) вытесняется слабо вязкой жидкостью водой [ 1 ].

В работе [ 1] дается анализ фрактально — геометрических показателей в моделировании нефтегазносности и проводимости паровых коллекторов. Отмечено, что поведение нефтегазностнных коллекторов, представленных пористыми средами, в существенной мере определяется стохастическими факторами, включая хаотическое распределение зерен породы коллекторов по форме и размерам. нефтегазносность коллектор порода Электрическая проводимость пористых нефтегазосодержащих пластов, исследуемая при их электромагнитном каротаже, также имеет фрактальную структуру, характерную для перкуляционного кластера.

Фрактальные кластеры образуемые песчаными, имеют значении хаусдорфовой размерности, располагающиеся в интервале.

D=2,57+2,87.

В данной работе приток жидкости к скважине в трещиноватом деформируемом пласте, производится с помощью интегродифференциальных уравнений дробного порядка. В практике разработки нефтяных залежей существуют различные зависимости дебита от перепада давления. Отклонение рассматриваемых зависимостей от линейной объясняется причинами, основными из которых являются деформация коллектора и инерционные силы сопротивления, изменение свойства пласта и жидкости.

В области больших скоростей фильтрации (при забойной зоне пласта) нарушается линейный закон.

Существуют функциональная зависимость, учитывающая инерционные составляющего сопротивления движению жидкости [1].

(1).

где — градиент давления, — динамическая вязкость жидкости, — скорость фильтрации, модуль скорость фильтрации, — проницаемость среды, — скалярная величина, зависящая от модуля вектора скорости, — безразмерная функция, полученная согласно — теореме анализа размерности.

Теорема послужила основным толчком в применении фрактального анализа в данной области, поэтому подробно приведем здесь эту исключительно важную теорему и автору кажется, что это теорема будет в дальнейшем играть центральную роль при моделировании различных процессов.

Теорема (- теорема анализа размерности) [ 9].

Если дано физически значимое выражение: где— это n различных физических переменных и они выражаются через k независимых физических величин, то это выражение может быть переписано в виде: где — эти безразмерные параметры, полученные из при помощи выражений следующего вида: где показатели степеней— эти рациональные числа.

Допуская возможность разложения функции в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим.

(2).

Движение жидкости в чисто трещиноватом коллекторе гораздо точнее (чем закон Дарси) описывается двучленной зависимостью (2).

По формуле (2) первое слагаемое учитывает потери давления от трения между жидкостью и трещиноватой средой, второе — инерционную составляющую сопротивления жидкости, связанную с сужением и расширением элементарных стружек потока в трещинах, поворотами струей и т. д.

Из формулы (2) следует число при малых скоростях фильтрации квадратом модуля можно пренебречь и градиент давления будет зависеть только от первого слагаемого (вязости жидкости, проницаемости трещин и скорости фильтрации) т. е. движение будет безинерциональнным.

При больших скоростях фильтрации силы инерции будет преобладать над силами вязкости, поскольку в формуле (2) определяющим будет второе слагаемое. Может оказаться, что при достаточно больших скоростях фильтрации силы вязкости будут пренебрежимо малы по сравнению с силами инерции и следовательно, двучленная зависимость (2) будет зависеть в виде одночленного закона КраснопольскогоШеди, впервые установленное Краснопольским А. А. в 1912 г. 4].

Формула (2) впервые был предложен Форхгеймером [4]. В этой работе показано, что (2) совпадает с первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора функции .

С ростом градиента давления изменяется фильтрационная способность коллектора.

Это может быть связанно с изменением действующей толщины пласта, которая для каждого конкретного коллектора при различных градиентах давления (до критического значения) различна. С ростом градиента давления до критического значения в процессе фильтрация вовлекаются все более мелкие поры.

При этом одновременно увеличивается проницаемостьтрещин, пористых блоков и общая мощность трещиновато — пористого пласта.

При достижении действующая толщина пласта достигает максимального значения и остается неизменной при дальнейшем увеличении градиента давления.

Последующие изменения могут привести к сужению некоторых фильтрационных каналов и к уменьшению действующей толщины пласта.

При расширении движения жидкости в деформируемом пласте будет считать, что толщина пласта изменяется плавно, колеблясь около среднего значения [4]. За срединную поверхность приведенного пластового давления примем горизонтальную плоскость, находящуюся на одинаковом расстоянии от кровли и подошвы. Выбирая в этой плоскости направление координатных осей Ox, Oy, Oz проинтегрировав уравнение неразрывности по мощности пласта, получим.

(3).

Дифференцируя интеграл по параметру, преобразуем первое слагаемое уравнения (3).

При оси ассиметрической фильтрации течение жидкости на кровле и подошве практически отсутствует, следовательно последними двумя членами в полученном равенстве можно пренебречь, т. е.

(4).

Применяя теорему о среднем к интервалу с учетом получим:

(5).

Аналогично преобразуем второй интеграл в уравнении (3) т. е.

Третий интеграл в (3) равен нулю. Докажем это следующим образом.

Оценивая третий интеграл, имеем.

.

Так как-то и.

С учетом приведенных преобразований из уравнения (3) получим усредненное уравнение неразрывности:

(7).

Уравнение (7) описывает установившиеся течение жидкости в пласте с изменяющейся толщиной.

При выводе уравнения (7) операции индекс «ср.» правильность такой операции допустима. Далее, выразив из (2), имеем.

(8).

Подставим в уравнение (7) значение скорости фильтрации (8) при ниже критического, т. е. при изменяющейся толщине пласта. В случае ассимитрической фильтрации в полярных координатах уравнение неразрывности запишем в виде [4].

.

Постоянную интегрирования при условии и учитывая, что W дебит скважины радиусом взрывший пласт толщиной находим.

(9).

В промысловой практике принято считать.

(10).

где — толщина пласта при, — эмпирический коэффициент, характеризующий изменение действующей толщины пласта от градиента давления. В [ 8] было предложено (10) заменить, учитывая, что фильтрация идет в одном направлении.

Здесь — оператор дробного интегродифференцирования порядка в смысле Римана — Лиувилля. Из (8) и (9) следует, что.

(11).

Очевидно, что.

После несложных преобразований из (11) получим.

(12).

Уравнение (12) впервые предложено в работе.

В начале решим уравнение (12) с помощью степенных рядов специального вида.

Представим (12) в виде.

(13).

(14).

Решение уравнения 13 будем искать в виде ряда.

Продифференцировав это уравнение, получаем.

(15).

Поэтому наше уравнение (13) запишем в виде.

Последнее уравнение перепишем следующим образом.

(16).

то.

.

Уравнение (16) примет вид.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим:

• 1. Баренблатт Г. И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. — М.: Наука, 1972 — 287с.
• 2. Шаймуратов Р. С. Гидродинамика нефтяного трещинного пласта. — М.: Недра, 1980 — 223с.
• 3. Hausdovff F., «Math. Ann.» 1918, Bd 79, S. 157−179.
• 4. Krivonosov I.V., Balakirev V.A. Development, research and expenation ofa multilayerchinks/ Nedra, Russia 1975.
• 5. Bulygin B.Y., Hydrdynamics of an oil eayer, Neclva, Pussia, 1974.
• 6. Podlubny I, Tractional differential equations, Academic press, New York 1999.
• 7. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. — М.: Наука. 1966. — 677 с.
• 8. Алероев Т. С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дроб ными производными. Докторская диссертация. М.: МГУ, 2000.
• 9. Buckingham, E. (1914). «On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations». Phys. Rev. 4: 345—376.