Давление жидкости на криволинейные поверхности

Рассмотрим некоторую криволинейную твердую бесконечно тонкую поверхность, находящуюся на некоторой глубине покоящейся жидкости (рис. 2.15). Координатные плоскости расположены, как показано на рисунке. Плоскость хОу лежит и пределах свободной поверхности жидкости. Ось Oz направлена вниз. На поверхности действуют две силы R и R', равные между собой и направленные навстречу друг другу.

Рис. 2.15. К определению результирующей силы давления

Любую из этих сил можно разложить на три составляющие. Например, для силы R' это R'_x, R'_y, R'_z (рис. 2.14, а). Тогда искомая сила.

(2.15).

Определим сначала силу R_z. Для этого через контур поверхности вертикально вверх проведем цилиндрическую поверхность до пересечения со свободной поверхностью жидкости (рис. 2.16).

Рис. 2.16. К определению вертикальной составляющей силы давления

Для того чтобы выделенный жидкий цилиндр находился в равновесии, должны выполняться следующие условия:;; .

Но так как сила входит только в третье уравнение, рассмотрим это уравнение: .

Из поверхностных сил будем рассматривать силы избыточного давления, т. е. исключим из рассмотрения. Получаем.

.

где — вес жидкости в объеме цилиндра, ограниченного свободной поверхностью жидкости и криволинейной поверхностью. Отсюда.

(2.16).

где — объем цилиндра.

В результате получим, что вертикальная составляющая давления жидкости на криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеме вертикального цилиндра, нижним основанием которого является сама криволинейная поверхность, а верхним основанием — свободная поверхность жидкости. Выделенный объем жидкого цилиндра называют телом давления ().

Определим горизонтальные составляющие силы, т. е. и . Для определения выполним построение горизонтального цилиндра, ограниченного с одной стороны поверхностью, и с другой стороны — координатной плоскостью (рис. 2.17).

Рис. 2.17. К определению горизонтальной составляющей силы давления

Аналогично предыдущим рассуждениям силы, в проекции на ось обращаются в ноль. В рассмотрении остается уравнение .

.

где — сила давления на поверхность, образованную пересечением координатной плоскости и цилиндрической поверхности. Обозначим площадь этой плоской поверхности и обратим внимание на то, что является проекцией криволинейной поверхности на вертикальную плоскость, параллельную .

.

где — глубина погружения центра тяжести площади под уровень свободной поверхности жидкости.

В результате получим .

. (2.17).

Так как составляющая горизонтальна, аналогичные рассуждения приводят к равенству.

(2.18).

где.

— площадь проекции криволинейной поверхности на вертикальную плоскость, параллельную координатной плоскости; - глубина погружения центра тяжести под уровень свободной поверхности жидкости.

Таким образом, три составляющие для определения результирующей силы давления жидкости на криволинейную поверхность будут:

;; .

Сила находится по формуле (2.15), а направление силы определяется по углам, , между силой и соответствующей проекцией силы (см. рис. 2.18, а):

. (2.19).

Рассмотрим два примера определения силы давления жидкости на цилиндрические поверхности.

1. Жидкость действует на выпуклую цилиндрическую стенку АВ кругового очертания (рис. 2.18). Эпюра давления, результирующая сила давления и ее составляющие и показаны на рис. 2.18, а. Третья составляющая отсутствует, так как поверхность АВ перпендикулярна координатной плоскости хОу, ее длина в этом направлении равна .

Рис. 2.18. Схемы действия результирующей силы и ее проекций на цилиндрическую поверхность

Горизонтальная составляющая силы давления на поверхность АВ определяется как сила давления на плоскую проекцию А’В' поверхности АВ на вертикальную плоскость (рис. 2.18, б):

.

Вертикальная составляющая равна весу жидкости в объеме тела давления и показана на рис. 2.18, в:

где.

В рассматриваемом случае телом давления является жидкое тело, ограниченное вертикальной призмой, восстановленной по контуру цилиндрической поверхности.

Сила проходит по линии действия силы тяжести (веса). Тогда.

(2.20).

а угол наклона силы определится из соотношения для угла :

2. Жидкость действует на вогнутую цилиндрическую поверхность АВ кругового очертания (рис. 2.19). Результирующая сила давления на поверхности АВ и ее составляющие и показаны на рис. 2.19, а. Значение определяется аналогично предыдущему случаю и равно.

.

Вертикальная составляющая определяется как вес жидкости в объеме тела давления. Но в данном случае, если восстановить вертикальную призму через контур цилиндрической поверхности до пересечения с продолжением свободной поверхности жидкости (рис. 2.19, б), в теле призмы жидкости нет. Для того чтобы определить, мы как бы (фиктивно) помещаем в тело давления жидкость. Сила будет направлена в сторону, противоположную направлению оси Oz. Такой прием используется каждый раз, когда определяется вертикальная составляющая давления жидкости, находящейся снизу от криволинейной поверхности:

где — объем фиктивного тела давления.

Рис. 2.19. Схема действия на вогнутую со стороны жидкости цилиндрическую поверхность

Результирующая сила давления R определится по формуле (2.20):

.

Определение толщины стенок цилиндрических резервуаров и труб Рассмотрим действие давления со стороны жидкости на трубу круглого поперечного сечения (рис. 2.20).

Пусть ось трубы расположена горизонтально, т. е. перпендикулярно плоскости чертежа. Длина трубы, ее внутренний диаметp, а толщина стенки, которую требуется определить,. По всей длине трубы находится жидкость под давлением .

Горизонтальная сила, стремящаяся разорвать трубу в плоскости yOz (ось Оу перпендикулярна плоскости чертежа), определяется согласно формуле (2.17):

.

где — площадь прямоугольника высотой и длиной .

Рис. 2.20. Действие давления со стороны жидкости на стенки цилиндрической трубы

Сила, возникающая в материале трубы в сечении yOz, уравновешивается силами сопротивления. Эти силы распределены по площади сечения трубы; тогда растягивающее напряжение, возникающее в материале стенок трубы, определится по формуле.

Отсюда толщина стенок трубы или цилиндрического резервуара равна.

где — допускаемое напряжение на растяжение для рассматриваемого материала трубы или резервуара.