Разработка методики изучения предела функции в высшей школе и электронного пособия по данной теме

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение

§ 1. Психолого-педагогические аспекты студенческого возраста

§ 2. Тематическое планирование по лекционному материалу

§ 3. Методические рекомендации по проведению лекционных занятий

§ 4. Фондовые лекции

§ 5. Тематическое планирование по практическим занятиям

§ 6. Методические рекомендации по проведению практических занятий

§ 7. Разработка практических занятий

§ 8. Электронное пособие по теме «Предел функции в точке, на бесконечности, слева и справа, бесконечный предел» и методические рекомендации по его использованию Заключение Литература Приложение

Введение

В настоящее время учебный процесс в высшей школе стал более сложным по своим задачам, интенсивности и содержанию. Объем знаний, необходимых современному специалисту, возрастает, в то время как срок обучения в узе ограничен несколькими годами. Поэтому необходимо интенсифицировать учебный процесс за счет обновления всех его сторон — содержания, форм, методов, — и внедрения новейших педагогических и информационных технологий. Реформа российского математического образования высшей школы заключается в том, что к традиционно изучаемым курсам в математике добавляются новые. Это ведет к сокращению аудиторных часов, предназначенных для изучения базовых дисциплин математического блока — в том числе математического анализа.

Потребности современного образования ставят перед методикой преподавания математики новые задачи. Особенно остро встает вопрос о методике изучения математического анализа в вузе. Несмотря на то, что число публикаций по всему курсу математического анализа все возрастает, ощущается острая нехватка обобщающих материалов по отдельным вопросам и разделам математики, где делалась бы попытка систематизировать уже полученные результаты. Изучение и анализ соответствующей литературы показали, что ни один источник не может представить целостной системы теории предела функции.

Поэтому теоретические и практические исследования по данной теме являются актуальными и обусловлены потребностями вузов педагогической специальности.

Итак, объектом исследования выпускной квалификационной работы является процесс организации учебной деятельности при изучении дисциплины «Математический анализ» в педагогическом вузе.

В качестве предмета исследования выступает методика изучения раздела математического анализа «Предел функции в точке, на бесконечности, слева и справа, бесконечный предел «в вузе педагогической направленности.

Научная проблема исследования состоит в поиске наиболее оптимальных закономерностей при изучении вышеуказанного вопроса.

Цель исследования данной работы можно сформулировать так: разработка методики изучения предела функции в высшей школе и электронного пособия по данной теме.

Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач, а именно:

1) обосновать и разработать содержание и методику изучения темы «Предел функции в точке, на бесконечности, слева и справа, бесконечный предел» в высшей школе с учетом возрастных особенностей студентов;

2) создать электронное пособие по данной теме для студентов I курса физико-математических факультетов педагогических вузов.

В соответствии с этим гипотеза исследования заключается в том, что разработанная методика изучения раздела «Предел функции в точке, на бесконечности, слева и справа, бесконечный предел» с использованием новых педагогических и информационных технологий, будет способствовать более успешному формированию знаний, умений и навыков по дисциплине «Математический анализ» у студентов педагогических вузов.

Для достижения цели и выполнения поставленных задач были привлечены следующие методы: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы, учебных пособий и периодических изданий, работ по истории математики, учебных программ.

Практическая значимость исследования определяется тем, что в нем разработаны и проверены:

1) учебные материалы для изучения темы «Предел функции в точке, на бесконечности, слева и справа, бесконечный предел» в высшем учебном заведении педагогической направленности;

2) электронное пособие по данной теме;

3) методические рекомендации для преподавателей вузов педагогического профиля по организации процесса обучения соответствующего раздела математического анализа.

§ 1.Психолого-педагогические аспекты студенческого возраста

В настоящее время нет, пожалуй, более спорной проблемы в педагогике и психологии высшей школы, чем проблема воспитания студентов. «Надо ли воспитывать взрослых людей?», «Стоит ли и корректно ли это делать?» Ответ на эти вопросы зависит от того, как понимать воспитание. Если его понимать как воздействие на личность с целью формирования нужных воспитателю, вузу, обществу качеств, то ответ может быть только отрицательным. Если как создание условий для саморазвития личности в ходе вузовского обучения, то ответ должен быть однозначно положительным.

Зачем нужен преподаватель в вузе, только ли как носитель и «передатчик» информации? Но как раз в этом качестве он значительно уступает многим другим источникам информации, таким, например, как книги и компьютеры. Вуз служит не только и может быть не столько для передачи специальных знаний, сколько для развития и воспроизведения особого культурного слоя, важнейшим элементом которого является и сам специалист. Специалиста как представителя определенной культуры характеризует не только специфический набор знаний и умений, но и определенное мировоззрение, жизненные установки и ценности, особенности профессионального поведения и т. п. Поэтому он не только передает студенту знания и профессиональные умения, а приобщает его к определенной культуре, и чтобы эта культура развивалась и воспроизводилась, необходимы живые люди, живое человеческое общение.

Воспитывать — это в значительной степени означает строить систему взаимоотношений между людьми. В современной педагогике (и еще более явно в психологии) начинает преобладать подход к воспитанию не как к целенаправленному формированию личности, в соответствии с выбранным идеалом, а как к созданию условий для саморазвития личности.

Положения гуманистической психологии запрещают любые прямые воздействия на личность какие бы цели (воспитательные или терапевтические) они не преследовали. Мы не имеем также права заранее решать за человека, каким ему быть, ибо каждый имеет право и должен сам прожить свою жизнь, не перекладывая на других ответственность за тот выбор, за те решения, которые ему приходится принимать. Уникальность и неповторимость каждой личности составляют богатство всего общества, и всякое искусственное ограничение свободного проявления и развития личности подрывает ее творческие потенции.

Сам способ существования личности есть постоянный выход за пределы самой себя, стремление к росту и развитию, направление которого воспитатель не может предугадать заранее и он не имеет права принимать сколько-нибудь ответственные решения за воспитуемого, какими бы само собой разумеющимися эти решения не казались ему. Самый главный прием воспитания — это принятие человека таким, какой он есть, без прямых оценок и наставлений. Только в этом случае будет ее сохраняться у воспитателя контакт с воспитуемым, что является естественным условием плодотворного взаимодействия обоих участников воспитательного процесса.

Означает ли это, что воспитатель должен занимать пассивную позицию в отношении тех выборов и принципиальных решений, которые принимает его воспитанник? Разумеется, нет. Главная задача воспитателя — раскрыть перед воспитуемым широкое поле выборов, которое часто не открывается самим ребенком, подростком, юношей из-за его ограниченного жизненного опыта, недостатка знаний и неосвоенности всего богатства культуры. Раскрывая такое поле выборов, воспитатель не должен, да и не может скрыть своего оценочного отношения к тому или иному выбору. Следует избегать только слишком однозначных и директивных способов выражения этих оценок, всегда сохраняя за воспитанником право на самостоятельное принятие решения, в противном случае ответственность за любые последствия принятых решений он с себя снимет и переложит на воспитателя.

Другое принципиальное требование к организации процесса воспитания состоит в неизменно уважительном отношении к личности воспитуемого как полноценного и равноправного партнера любой совместной деятельности. Идея равенства, партнерства и взаимного уважения друг к другу лежит в основе, так называемой педагогики сотрудничества, принципы которой совершенно неоспоримы в вузовском обучении. Как утверждают многие крупные ученые и педагоги, основатели больших научных школ, наибольший учебный и воспитательный эффект достигается в таких ситуациях, когда учитель и ученик вместе решают задачу, ответ на которую не знает ни тот ни другой. В этом случае феномен партнерства и сотрудничества выражен максимально.

Другая важнейшая задача воспитания — помощь воспитуемому в выработке индивидуального стиля жизни, индивидуального стиля деятельности и общения. Для решения такой задачи преподавателю необходимо владеть некоторыми навыками и методиками психодиагностики, а также вооружить студентов приемами самопознания. Важнейшее значение имеет знание психологических и психофизиологических особенностей студентов, определяемых их социальным статусом, возрастом и характером основной деятельности.

Свою способность знать и понимать студентов, адекватно оценивать их личностные качества и состояния, преподаватели справедливо считают одним из важнейших профессиональных качеств и ставят ее на второе место после знания предмета, который они преподают. Но преподаватели, как правило, прикладывают очень мало усилий, чтобы повысить свою подготовку в этой области, хотя постоянно стремятся обновить и пополнить свои специальные (предметные) знания.

Часто преподаватели руководствуются индифферентными представлениями о студентах как об устройствах по переработке информации, которые слушают лекции, читают учебники, выполняют задания и, когда это требуется, демонстрируют эти знания на зачетах и экзаменах. Иногда это приводит к безличным и неадекватным требованиям, с которыми студенты просто не могут справиться. Для того, чтобы при построении программы учесть возможности и потребности студентов, нужно хорошо их знать. Успешная учебная деятельность студента зависит не только от степени владения приемами интеллектуальной деятельности; она обусловлена также личностными параметрами учебной деятельности — устойчивой системой отношений студента к окружающему миру и к самому себе.

На какие же вопросы следует обращать внимание в связи с необходимостью учета возрастных особенностей и индивидуальных различий студентов в воспитательно-образовательном процессе вуза? Современные студенты — это прежде всего молодые люди в возрасте 18 — 25 лет. Этот возраст определяется как поздняя юность или ранняя зрелость. Отсутствие единого термина уже говорит о сложности, неоднозначности психологических характеристик этого периода жизни. Очень важно иметь в виду, что человек непрерывно эволюционирует как единое целое, так что ни одну сторону его жизни нельзя понять в отрыве от других сторон. Возьмем, например, такой, казалось бы, не имеющий отношения к педагогической ситуации параметр, как физическое развитие молодых людей. Студенческий возраст характеризуется наивысшим уровнем таких показателей, как мышечная сила, быстрота реакции, моторная ловкость, скоростная выносливость и др. Как принято говорить — это возраст физического совершенства человека. Большинство спортивных рекордов установлено именно в этом возрасте. Однако, как свидетельствуют данные Всемирной организации здравоохранения, именно студенты характеризуются худшими показателями физиологических функций в своей возрастной группе. Они лидируют по числу больных гипертонией, тахикардией, диабетом, нервно-психическими нарушениями. Причины этого, как показывают исследования, кроются в том, что в процессе вузовского обучения студенты испытывают сильное психическое напряжение, часто разрушительное для здоровья.

Преподаватель должен учитывать, что эти нагрузки особенно велики в периоды контроля и оценивания. Но именно здесь часто совершается одна из грубейших педагогических ошибок: негативную оценку результатов усвоения учебной программы преподаватель переносит на оценку личности студента в целом, давая студенту знать с помощью мимики, жестов, а то и в словесной форме, что он неумен, ленив, безответствен и т. п. Заставляя студента переживать негативные эмоции, преподаватель оказывает прямое влияние на физическое состояние и здоровье студента.

Учеба в вузе требует больших затрат времени и энергии, что обуславливает некоторую задержку социального становления студентов по сравнению с другими группами молодежи. Этот факт часто порождает у преподавателей ошибочное представление о студентах как социально незрелых личностях, нуждающихся в постоянной опеке, снисходительном отношении. Сам того не осознавая преподаватель в этом случае как бы ставит планку, ограничивает уровень, до которого студент, по его представлению, может развить свои личные качества, в данном случае ответственность, инициативность, самостоятельность. Воспитуемый (в данном случае студент) неосознанно воспринимает такую программу и, что особенно огорчительно, внутренне принимает ее. Человеку свойственно легко адаптироваться к заниженным требованиям: в этих условиях способности студента не только не развиваются, но и часто деградируют.

Отношение же педагога к студенту как к социально зрелой личности, напротив, как бы отодвигает планку, раскрывает новые горизонты, тем самым не ограничивая возможности развития личности, а усиливая их своей верой, внутренней поддержкой.

Как правило, именно в студенческом возрасте достигают максимума в своем развитии не только физические, но и психологические свойства, и высшие психические функции: восприятие, внимание, память, мышление, речь, эмоции и чувства. Этот факт позволил Б. Г. Ананьеву сделать вывод о том, что данный период жизни максимально благоприятен для обучения и профессиональной подготовки. В этот период происходит активное формирование индивидуального стиля деятельности. Преобладающее значение в познавательной деятельности начинает приобретать абстрактное мышление, формируется обобщенная картина мира, устанавливаются глубинные взаимосвязи между различными областями изучаемой реальности.

Если преподаватель не развивает именно эти способности, у студента может закрепиться навык полумеханического запоминания изучаемого материала, что ведет к росту показной эрудиции, но тормозит развитие интеллекта. Результаты специальных обследований показывают, что у большинства студентов уровень развития таких интеллектуальных операций, как сравнение, классификация, определение весьма невысок. Преподавателю зачастую приходится прилагать большие усилия, чтобы преодолеть школярское отношение к учебе: ориентацию только на результат интеллектуальной деятельности и равнодушие к самому процессу движения мысли.

Лишь немного более половины студентов повышают показатели интеллектуального развития от первого курса к пятому, и как правило такое повышение наблюдается у слабых и средних студентов, а лучшие студенты часто уходят из вуза с тем же уровнем интеллектуальных способностей, с которым пришли.

Важнейшая способность, которую должен приобрести студент в вузе, — это собственно способность учиться, которая радикальным образом скажется на его профессиональном становлении, ибо определяет его возможности в послевузовском непрерывном образовании. Научиться учиться важнее, чем усвоить конкретный набор знаний, которые в наше время быстро устаревают. Еще важнее способность самостоятельного добывания знаний, основанная на творческом мышлении.

Особенно бурно в период вузовского обучения идет развитие специальных способностей. Студент впервые сталкивается со многими видами деятельности, являющимися компонентами его будущей профессии, поэтому на старших курсах необходимо уделять особое внимание диалоговым формам общения со студентами, в частности, в процессе выполнения ими курсовых и дипломного проектов, прохождения практик и т. п.

Передача «личностного знания» возможна, как правило, только в диаде «учитель-ученик».

Эмоциональная сфера в студенческом возрасте приходит к некоторому уравновешенному состоянию, «успокаиваясь» после своего бурного развития и брожения в подростковый период. Но определенные отголоски прошедших «бурь» иногда дают себя знать, особенно у студентов с задержками личностного развития, т. е. страдающих инфантилизмом. Часто может наблюдаться гипертрофированная и несколько абстрактная неудовлетворенность жизнью, собой и другими людьми. При неадекватном педагогическом воздействии такие состояния могут стать причиной деструктивных тенденций в поведении. Но при обращении энергии этого эмоционального состояния на решение сложной и значимой для студента задачи неудовлетворенность может стать стимулом к конструктивной и плодотворной работе.

Выраженный и часто подчеркнутый рационализм в обращении преподавателей со студентами негативно сказывается на развитии их эмоциональной сферы в целом. Поэтому преподавателю необходимо сознательно следить за тем, не переходит ли опасную черту почти неизбежный дисбаланс рационального и эмоционального в стиле его общения со студентами. В этом случае без некоторой, пусть порой даже искусственно добавляемой, эмоциональной теплоты, эффективность его работы со студентами может сильно снизиться даже при ее очень высоком содержательном уровне. Без принятия таких мер у преподавателя самого могут возникнуть эмоциональные перегрузки, еще более усиливающие трудности нахождения верного эмоционального тона в общении со студентами.

Самая главная особенность юношеского возраста (включая и позднюю юность) состоит в осознании человеком своей индивидуальности, неповторимости, в становлении самосознания и формировании «образа Я». Образ «Я», — это социальная установка, отношение личности к себе, включающее три взаимосвязанных компонента: познавательный, эмоциональный и поведенческий. За последние десятилетия произошел сдвиг пика становления самосознания с возраста 17−19 лет на 23−25 лет. Становление самосознания актуализирует проявление важнейших и часто противоречивых потребностей юношеского возраста — в общении, уединении, в достижениях и др.

Потребность в достижении, если она не находит своего удовлетворения в основной для студента учебной деятельности, закономерно смещается на другие сферы жизни — в спорт, бизнес, общественную деятельность, хобби, или в сферу интимных отношений. Но человек обязательно должен найти для себя область успешного самоутверждения, в противном случае ему грозит уход в болезнь, невротизация или уход в криминальную жизнь.

И здесь ответственна роль преподавателя как первого эксперта, дающего студенту «обратную связь» о результатах его исследовательской работы. Своими оценками он может неосторожно убить у студента всякую надежду и, соответственно, желание утверждаться на ниве науки и подтолкнуть его к выбору других сфер жизни для самоутверждения и удовлетворения потребности в достижении.

Благоприятное положение студента в окружающей его среде содействует нормальному развитию его личности. Не должно быть существенного расхождения между самооценкой и оценкой, получаемой студентом от значимых для него людей (референтной группы), к которым обязательно должен относиться и преподаватель. В этом случае он может помочь студенту в преодолении неблагоприятного соотношения самооценки, ожидаемой оценки и оценки, исходящей от референтной группы. Это можно сделать, целенаправленно, организовав такую педагогическую ситуацию, чтобы студент предстал перед значимыми для него «другими» в выгодном свете и получил положительную оценку, что приведет к повышению ожидаемой оценки, улучшит его психологическое состояние и сделает более благоприятной позицию личности в целом.

Заключая разговор об условиях успешной воспитательной работы, следует напомнить изложенные в начале параграфа общие положения о сущности воспитания как о создании благоприятных условий для самовоспитания человека путем раскрытия перед ним поля возможных выборов и их последствий, при том, что окончательное решение всегда должен принимать сам воспитуемый. Важнейшим условием внимания студента к тому, что раскрывает перед ним преподаватель выступает безусловное принятие студента преподавателем и признания за ним права на любой выбор без того, чтобы быть отвергнутым.

§2. Тематическое планирование по лекционному материалу

1.Тематический план по теме «Предел функции» курса «Математический анализ» факультета математики и информатики по специальности «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика»

2.Тематический план по теме «Предел функции» курса «Математический анализ» факультета математики и информатики по специальности «Информатика» с дополнительной специальностью «Математика».

Основными учебниками для изучения данной темы в педагогическом вузе являются учебные пособия Фихтенгольца Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», Шипачёва В. С. «Высшая математика», Кудрявцева Л. Д. «Курс математического анализа». Помимо этих учебников для более полного приобретения и усвоения знаний можно пользоваться другими пособиями, указанными в литературе.

§ 3. Методические рекомендации по проведению лекционных занятий

Среди разнообразных методов и средств совершенствования процесса обучения в высшей школе, интенсификации и повышения эффективности учебной деятельности важное место отводится умелому и рациональному использованию технических средств обучения (ТСО).

Меры, которые были приняты для улучшения подготовки специалистов с высшим образованием, научно-технический прогресс, бурное развитие вычислительной техники — всё это способствовало развитию интереса к использованию ТСО.

ТСО — это совокупность технических устройств и дидактических материалов, используемых в учебном процессе в качестве средства повышения эффективности обучения. Ни отдельное устройство, ни дидактический материал, взятые сами по себе, не могут выступать как технические средства обучения, становятся таковыми в результате их «соединения».

На лекционных занятиях целесообразно использовать технические средства предъявления информации (ТСПИ). К таким ТСПИ относятся следующие технические устройства: графопроектор, видеопроектор, учебное телевидение (телевизор, компьютер), ПО ЭВМ.

Вся вышеперечисленная аппаратура составляет материально-техническую базу факультета математики и информатики СГПИ и является доступной для преподавателей факультета.

Но не только свободный доступ к данным средствам обучения обуславливает их использование в учебном процессе. Каждое из них имеет свои технические характеристики, позволяющие с разной степенью эффективности предъявлять информацию. Преимущества и недостатки графопроектора и видеопроектора были выявлены преподавателями вуза при проведении лекций в течение длительного срока. Их опыт, описанный ниже, может быть использован при подготовке и проведении лекций по изучению предела функции.

Идея использовать ПО ЭВМ как средство предъявления информации при подключении к нему телевидения появилась совсем недавно в связи с бурным развитием научно-технического прогресса. Поэтому его эффективность необходимо было подтвердить экспериментально. В связи с этим с помощью данных средств обучения были проведены лекции по изучению предела функции, в ходе которых установлены преимущества и недостатки использования новых технологий.

Рассмотрим полученные характеристики каждого из данных средств обучения.

Графопроекторы (или кодоскопы) имеют важные достоинства с дидактической точки зрения. Они компактны, просты в обращении, обладают очень большим световым потоком (около 2000 лм), что позволяет демонстрировать изображение в освещённой комнате без существенного снижения контраста. Размеры кадрового окна обычно 24Ч24 см. Дидактический материал чаще всего готовится заранее в виде отдельных листов прозрачной плёнки — фолий с нанесёнными надписями и рисунками. По мере надобности фолии накладываются на кадровое окно, и изображение проецируется на экран.

Фолии можно накладывать одна на другую, чем создаётся возможность последовательно «выстраивать» окончательную картину из частичных изображений, в том числе окрашенных в разные цвета. Используются также фолии с подвижными элементами, что позволяет демонстрировать разнообразные динамические процессы. Необходимый для учебных занятий материал можно готовить заранее или выполнять в ходе занятий на непрерывной ленте с постепенной перемоткой ленты с подающей кассеты на приёмную. При создании фолий могут возникнуть трудности в подборе пары «плёнка — пишущие приспособления «(карандаши). При отсутствии фломастеров, специально приспособленных для работы с графопректором, лучшие результаты достигаются, когда применяется гидрофильная (например, триацетатная) плёнка и тушь (в том числе цветная), которая наносится с помощью плакатных перьев, трубочек, рапидографа. При использовании фломастеров типа «projector pen» можно получить сочные рисунки и надписи на любой плёнке.

Опыт показывает, что преподаватели очень охотно работают с графопроекторами, поскольку они всё время обращены лицом к учащимся, не теряют контакта с ними и ведут занятия в освещённой аудитории, что благоприятно сказывается на учебной деятельности.

Видеопроектор — это аппарат динамической проекции, который обеспечивает проекцию на экран видеоизображения, записанного на носитель информации, как в аналоговой, так и в цифровой форме. Видеопроекторы различных моделей имеют разнообразные технические и эксплуатационные характеристики. Они производятся различными фирмами, имеющими мировую известность: Philips, InFocuS, Toshiba, Hitachi и т. д.

Видеопроекторы, являясь современными мультимедийными аппаратами, обеспечивают идеальное качество изображения в любом видеоформате (NTSC/PAL/SECAM). Для видеопроекторов разработаны специальные лампы с повышенной светоотдачей. При создаваемом световом потоке до 3500 лм, лампа может работать до 1000 часов без потери яркости. Несмотря на то, что лампа обеспечивается принудительным охлаждением, вентилятор работает практически бесшумно, что удовлетворяет санитарно-гигиеническим нормам при использовании ТСО.

Универсальность использования видеопроектора на лекциях также обеспечивается ещё и тем, что размер изображения на экране может варьироваться от 1,0 м Ч 1,5 м до 3,5 м Ч 6,0 м.

Настройки видеопроектора можно изменять с помощью пульта дистанционного управления.

Видеопроектор InFocuS LP 290, имеющийся в наличии материальной базы института, обеспечивает возможность проецирования на экран динамического и статического изображения, подаваемого на его вход как в аналоговой, так и в цифровой форме с видеовыхода телевизора, видеомагнитофона или компьютера.

Очевидные преимущества видеопроектора — яркость изображения, бесшумность работы, варьирование изображения на экране, возможность хранить информацию на различных носителях (видеокассета, дискета, диск) — делают его настоящей находкой для преподавателя и одним из наиболее эффективных средств обучения.

Как показывает эксперимент, по качеству обучения с видеопроектором может сравниться комплекс, состоящий из ПО ЭВМ и подключённых к ней телевизоров.

Экспериментальные лекции проводились у студентов первого курса факультета математики и информатики в2003 году. Лекция проходила в аудитории № 28 корпуса М СГПИ. Аудитория рассчитана на 120 человек, на лекции присутствовало 112 студентов. Для визуализации лекций в таких условиях оказалось достаточно двух телевизоров. Поэтому комплекс ТСО включал в себя два телевизора Samsung с диагональю 72 см, подключённых к компьютеру P-III в комплектности с дисководом и CD-ROM-ом.

Для осуществления эксперимента проводилась подготовка: за несколько дней до лекции проверялась исправность и рабочее состояние аппаратуры, демонстрация лекции на экране, корректировался масштаб текста. Перед началом лекции подключалась аппаратура и активизировалась дискета; проверялась видимость текста на экранах телевизоров из разных мест в аудитории и в соответствии с этим определялось максимальное расположение телевизоров по отношения к зрителям, подбиралось нужное освещение.

По окончании лекции производилось завершение работы компьютера и отключение всей аппаратуры.

Подключение телевизоров к компьютеру позволяет выводить на экраны телевизоров изображение с экрана дисплея. Таким образом, информация, предъявляемая на лекциях, может храниться на дискетах и дисках. Это создаёт большие преимущества компьютеру перед другими средствами обучения — огромная информационная ёмкость видеодиска, высокое качество воспроизведения на экране телевизоров, возможность организации управления выводом нужных кадров, малое время поиска кадров.

В ходе эксперимента были выявлены и другие достоинства использования данного комплекса ТСПИ при проведении лекций: преподаватель видит лекции перед собой на экране дисплея компьютера и с помощью мышки или клавиатуры может передвигаться вверх и вниз страницы, в начало и в конец лекции с нужным темпом; преподаватель обращён лицом к аудитории — поддерживается контакт со студентами, появляется возможность подробных комментарий, а также постоянного контроля дисциплины; студенты, не успевающие записывать лекцию со слов преподавателя, могут переписывать лекционный материал с экранов телевизоров, не переспрашивая и не отвлекая вопросами преподавателя от хода его мыслей — тем самым экономится время (до 50%), которое может быть использовано для контроля знаний; студенты, пропустившие лекции по уважительной причине, могут попросить преподавателя скопировать нужные лекции на их дискеты и затем распечатать их; хорошая освещённость аудитории также создаёт благоприятные условия для обучения.

Эксперимент прошёл удачно — удалось избежать «накладок».

Таким образом, при хорошей подготовке использование в лекции даже простых технических средств предъявления информации может существенно повысить её привлекательность для студентов, дидактическую эффективность, а также снизить нагрузку на голосовой аппарат преподавателя.

§ 4. Фондовые лекции На лекционный курс по теме «Предел функции в точке, на бесконечности, слева и справа, бесконечный предел» отводиться 8 часов. Поэтому необходимо внедрять информационные технологии (электронный учебник) и средства ТСО (мультимедийный проектор, графопроектор) для более продуктивной работы.

В ходе составления лекционного материала были проанализированы различные учебники для студентов Вузов, а именно:

· Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. СПб: «Лань», 1997. — 800 с.

· Виленкин Н. Я. и др. Математический анализ: Интегральное исчисление. М.: Просвещение, 1988. — 192 с.

· Бохан К. А. и др. Курс математического анализа. Т. 1. — М.: Просвещение, 1965. — 435 с.

· Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. — М.: Высш. шк., 1970. — 592 с.

В силу сложности и абстрактности изложения теоретического материала в вышеперечисленных книгах, он был систематизирован в соответствии с программой курса математического анализа.

§ 4.1 Определение предела функции по Гейне

Пусть дана функция, определённая на некотором множестве. Пусть. Возьмём из множества последовательность значений аргумента:. Пусть эта последовательность сходится к некоторому числу. Найдём соответствующие значения функции в точках последовательности аргумента: .

Определение 1. Число называется пределом функции, определённой на множестве в точке, если для любой последовательности значений аргумента, сходящейся к, соответствующая последовательность значений функции сходится числу. Обозначается: .

Из определения следует, что функция будет иметь предел в точке, равный, если существует последовательность значений аргумента, сходящаяся к при, , и соответствующая последовательность значений функции сходится к при, то есть и .

Пример № 1. Доказать, что функция имеет в каждой точке числовой прямой предел равный .

Доказательство. Возьмём произвольную точку на числовой прямой. Составим последовательность значений аргумента, сходящуюся к. Тогда соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид:. С учётом того, что при, соответствующая последовательность значений функции примет вид: Следовательно, предел такой последовательности будет равен, т. е.. На основании предела функции в точке по Гейне имеем: или. Так как точка была выбрана произвольно, то функция имеет предел, равный в любой точке числовой прямой. ч.т.д.

Пример № 2. Доказать, что функция имеет в каждой точке числовой прямой предел равный, т. е. .

Доказательство. Выберем произвольную точку числовой прямой. Составим последовательность значений аргумента, сходящуюся к при. Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид:. Так как задана функция, то соответствующая последовательность значений функции примет вид. Очевидно, что последовательность значения функции будет сходиться к при. На основании определения предела функции в точке по Гейне, следует, что и сама функция будет сходиться к при, , т. е.. Так как — произвольное число, то сказанное справедливо для любой точки числовой прямой.

ч.т.д.

Пример № 3. Функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке числовой прямой.

Доказательство. Составим последовательность значений аргумента для рациональных значений аргумента функции Дирихле, сходящуюся к. Тогда соответствующая последовательность значений функции будет сходиться к, то есть. Составим последовательность значений аргумента для иррациональных значений аргумента функции Дирихле, сходящуюся к. Тогда соответствующая последовательность значений функции будет сходиться к, то есть .Так как в одном случае предел функции сходится к 1, а в другом случае к 0, то функция Дирихле не имеет предела в точке. Но точка выбиралась произвольно на числовой прямой. Значит, функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке числовой прямой.

§ 4.2 Определение предела функции в точке по Коши или на языке ««

Определение 2. Число называется пределом функции в точке, если

или .

Геометрический смысл предела функции в точке

Неравенство равносильно следующему двойному неравенству. Интервал есть — окрестность точки. Обозначается. Неравенство равносильно следующему двойному неравенству <. Интервал есть — окрестность точки. Обозначается .

Если выполняется равенство, то значение функции находятся в полосе шириной, для любого значения, находящегося от не далее, чем на .

§ 4.3 Эквивалентность двух определений предела функции в точке

Теорема. Первое и второе определение предела функции в данной точке эквивалентны.

Доказательство. I. Пусть число — предел функции в точке согласно определения 1. Требуется доказать, что число будет являться пределом функции в точке на основании определения 6. Доказательство проведём методом от противного, то есть, предположим, что число не является пределом функции согласно определения 6. Это значит, что не можно указать такое, что из неравенства следовало бы неравенство. То есть, существует такое, для которого какое бы мы не взяли, найдётся хоть одна точка, что вслед за неравенством будет выполняться неравенство .

Возьмём в качестве последовательно такие числа:

Тогда а) для найдётся такое;

б) для найдётся такое;

в) для найдётся такое;

для найдётся такое .

В результате получим последовательность значений аргумента. Причём, эта последовательность сходится к при. Согласно определению предела последовательности в точке по Гейне, соответствующая последовательность значений функции должна сходиться к числу, то есть,. (1)

На основании определения предела последовательности выражение (1) можно переписать по-другому:. (2) Сравним неравенства (1) и (2). Получим противоречие. Значит, наше предположение о том, что число не является пределом функции в точке на основании определения по Коши неверно.

II. Пусть — предел функции в точке согласно определения. Требуется доказать, что является пределом функции в той же точке в соответствии с определением предела функции по Гейне. Согласно определения 2:. Возьмём последовательность точек из множества, на котором определена функция. Пусть эта последовательность сходится к. Пусть. В соответствии с определением предела последовательности для данного значения соответствующего некоторому, будет. Последнее неравенство выполнимо благодаря определению 6, то есть,. Это равносильно тому, что последовательность значений функции сходится к при. Таким образом, для произвольной последовательности значений аргумента сходящейся к при, , соответствующая последовательность значений функции сходится к. Поэтому на основании определения 1 функция сходится к при .

Замечание к теореме. Теорема показывает, что определения эквивалентны и в зависимости от типа задачи можно использовать любое из них. Но сами эти определения не позволяют найти предел функции, а лишь в редких случаях установить будет ли иметь предел функция в точке.

§ 4.4 Односторонние пределы

Определение. Число называется правым пределом (пределом справа) функции в точке, если для любой, сходящейся к последовательности значений аргумента, все элементы которой больше, соответствующая последовательность значений функции сходится к

Это определение можно записать иначе:

а) стремится к справа;

б), следовательно, или .

Определение. Число называется левым пределом (пределом слева) функции в точке, если для любой, сходящейся к, последовательности значений аргумента, все элементы которой меньше, соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Это определение можно записать иначе а) стремится к слева;

б), следовательно, или .

Определение (на языке ««). Число называется левым пределом (пределом слева) функции в точке, если. (рис. 2.).

Определение (на языке ««). Число называется правым пределом (пределом справа) функции в точке, если. (рис. 3.).

Определение. Левые и правые пределы функции в точке называются односторонними пределами функции в точке, в отличие от предела функции в точке, который называется двусторонним[14].

Геометрическая иллюстрация

Пример.5 Функция имеет левый и правый пределы в точке. (рис. 4.).

Замечание. Записи или не употребляют, а пишут или .

Теорема о связи односторонних пределов функции в точке и пределов функции в точке

Теорема. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый, так и левый пределы функции и они равны между собой.

Доказательство. 1. Пусть левый предел функции равен правому в точке, то есть. Нужно доказать, что. Так как существуют конечные левый и правый пределы функции в точке, то на основании определений правого и левого пределов функции в точке на языке ««, можно записать .

Выберем, тогда. Два последних записанных двойных неравенства можно записать в виде одного: .

2. Пусть. Необходимо доказать, что. В соответствии с определением предела функции в точке по Коши можно записать:. Неравенство можно записать в виде. Это неравенство можно расписать на два двойных неравенства: .

.

Замечание. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, то предел функции в точке тоже не существует[5].

§ 4.5 Предел функции на бесконечности Предел функции при

Определение. Число называется пределом функции при, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

а) ббп, ;

б) ;

.

Определение. Число называется пределом функции при, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

а) ббп, при ;

б);

Определение (на языке ««). Число называется пределом функции при, если. Обозначается: ()[1].

Геометрическая интерпретация

1.Кривая при не ограничено приближается к прямой, то есть какое бы мы не взяли, должно найтись такое число, что кривая для будет находиться в полосе шириной (между).

2. .Кривая при не ограничено приближается к прямой, то есть какое бы мы не взяли, должно найтись такое число, что кривая для будет находиться в полосе шириной (между)[2].

Пример 6. Доказать, что функция имеет предел равный при .

Доказательство. Пусть — произвольная бесконечно большая последовательность значений аргумента. Ей будет соответствовать такая последовательность значений функции: или. В соответствии с теоремой о связи ббп с бмп, если — ббп, то при — бмп. Если — бмп при, то. На основании определения предела функции на бесконечности имеем при, то есть .

§ 4.6 Горизонтальные асимптоты Для вычерчивания графиков функции особенно важное значение представляют собой случаи, когда график асимптотически (неограниченно) приближается к некоторым прямым, называемым асимптотами графика функции.

Определение. График функции имеет горизонтальную асимптоту при (), если существует конечный предел (). В этом случае уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: .

Определение. Функция имеет горизонтальную асимптоту, если аргумент одновременно стремится к и к.

§ 4.7 Бесконечный предел функции Определение. Функция имеет в точке бесконечный предел, если для любой последовательности значений функции сходящейся к предел соответствующей последовательности значений функции равен .

Символически это обозначается так: или при .

Определение (на языке ««). Функция имеет в точке бесконечный предел, если Геометрическая интерпретация

§ 4.8 Вертикальные асимптоты Определение. График функции будет иметь вертикальную асимптоту при, если существует предел функции равный при. Тогда уравнение вертикальной асимптоты будет иметь вид: .

Пример. Функция имеет вертикальную асимптоту.

§ 4.9 Свойства функции, имеющей предел в точке

Теорема № 1. Если у функции в заданной точке существует конечный предел, то в некоторой проколотой — окрестности этой точки данная функция будет ограничена.

Доказательство. Пусть у функции существует предел. Требуется доказать, что функция ограничена в. На основании определения предела функции в точке на языке «» можно записать: ,. Из последнего неравенства следует, что ограничена в .

ч.т.д.

Теорема № 2. Если у функции существует конечный предел не равный нулю, то в некоторой проколотой — окрестности функция имеет тот же знак, что и предел функции.

Доказательство. Данная теорема будет верна только при .

I.

Пусть функция имеет конечный предел в точке. Пусть для определённости. Требуется доказать, что в некоторой проколотой окрестности значение функции положительно, т. е.. Согласно определению предела функции в точке по Коши можно записать: .

Из левой части двойного неравенства следует, что значение функции положительно. Аналогично можно показать для случая .

II.

Пусть функция имеет конечный предел в точке,. Пусть для определённости. Требуется доказать, что в некоторой значение функции отрицательно, т. е.. Согласно определению предела функции в точке по Каши можно записать:. Из правой части двойного неравенства следует, что значение функции отрицательно.

ч.т.д.

§ 4.10 Свойства пределов функции

Лемма. Если и, то одновременно выполняются неравенства: и .

Доказательство. Пусть и. Требуется доказать, что:. На основании определения предела функции на бесконечности можно записать Выберем, тогда: и .

ч.т.д.

Теорема. Функция не может иметь более одного предела. Если, , то .

Доказательство.

I. Пусть. Пусть, т. е. доказательство проведем методом от противного. Рассмотрим две и и пусть они не пересекаются на основании леммы о существовании непересекающихся окрестностей. Согласно только что доказанной лемме можно найти такое число: и. Исходя из записи двух неравенств следует, что значение функции одновременно принадлежат двум — окрестностям и. Очевидно, что получено противоречие, так как окрестности не пересекаются, следовательно, наше предположение не верно, т. е. .

ч.т.д.

II. Пустьи. Пусть. Рассмотрим две окрестности и и пусть они не пересекаются на основании леммы о существовании непересекающихся окрестностей.

Согласно только что доказанной лемме можно найти такое число, что: и. Исходя из записи двух неравенств следует, что значение функции одновременно принадлежат двумокрестностям и. Очевидно, что получено противоречие, так как окрестности не пересекаются, следовательно, наше предположение не верно, т. е. .

Замечание. Лемма и теорема остаются верными, в случае, когда или, или ,.

§ 4.11 Переход к пределам функций в неравенстве

Теорема № 1. Если и, то :.

Доказательство. Пусть выполняется условие теоремы. Требуется доказать, что :. Возьмем две непересекающиеся окрестности. Значение, а значение. Возьмем такое число, что: и или и. Исходя из записанного неравенства, можно записать, .

ч.т.д.

Теорема № 2. Если и: , тогда.

Доказательство. Пусть выполняются все условия теоремы. Требуется доказать, что. Доказательство проведем методом от противного, т. е. при выполнении всех условий теоремы якобы выполняется. На основании только что доказанной теоремы должно выполняться, а это противоречит теореме № 2, наше предположение не верно, следовательно, при всех условиях теоремы[16].

ч.т.д.

§ 4.12 Теорема о пределе сжатой переменной (или теорема о пределе промежуточной функции)

Теорема. Если и: , тогда .

Доказательство. Пусть выполняются все условия теоремы. Требуется доказать, что предел. Так как по условию теоремы при то на основании определения предела функции на бесконечности: и и. Так как по условию теоремы выполняется неравенство, то :;

ч.т.д.

Замечание. Теорема остается верной в случае, когда .

§ 4.13 Предел суммы, произведение и частного функций, имеющих предел в точке Теорема. Если существует конечные пределы функций в точке, то существуют конечные пределы причем они соответственно равны Доказательство. Данная теорема доказывается при помощи соответствующих утверждений относительно последовательностей и на основании определения предела функции в точке по Гейне. Пусть — произвольная последовательность значений аргумента для, сходящихся к при условии, что. Соответствующие последовательности значений функций будут иметь вид и, и они по условию теоремы будут иметь конечный предел. В силу теоремы о пределе суммы, произведения, частного двух сходящихся последовательностей можно записать:

причем это конечные пределы. На основании определения предела функции в точке по Гейне существуют и конечные пределы у соответствующих функций в точке

ч.т.д.

Следствие № 1. Если существует конечный предел функции в точке, то справедливо утверждение .

Следствие № 2 Если существует конечный предел функции в точке и, то справедливо утверждение.

§ 4.14 Предел сложной функции Теорема. Пусть существуют конечные (или бесконечные) пределы функции и, причем, , кроме того, пусть в некоторой определена функция, т.к.. Тогда в точке существует предел сложной функции .

Доказательство. По условию теоремы существует две проколотые окрестности и. Так как функция определена на проколотой окрестности или, а функция определена на проколотой окрестности или, то функция определена на проколотой окрестности. Таким образом, множество значений функции являются областью определения функции. Поэтому можно записать следующим образом: функция определена Выберем произвольную последовательность значения аргумента. Очевидно, что все элементы этой последовательности принадлежат или. Тогда соответствующая последовательность значений функций будет иметь вид:. Так как по условию теоремы, то на основании определения предела функции в точке по Гейне:. Очевидно, что все элементы, так как. По условию теоремы существует предел функции. Так как, то. Таким образом, последнюю запись можно представить в виде: или. Так как ей соответствует, то на основании определения предела функции в точке по Гейне или.

ч.т.д.

§ 5. Тематическое планирование по практическим занятиям

1.Тематический план по теме «Предел функции» курса «Математический анализ» факультета математики и информатики по специальности «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика»