Затухание звуковых волн

Одной из главных причин затухания звуковых волн в газе, является наличие вязкости и теплопроводности, приводящее к диссипации энергии звуковых волн, в связи с чем звук поглощается, т. е. его интенсивность постепенно уменьшается. Выведем формулу использующуюся в данной работе для расчета коэффициента затухания звука, учитывающую диссипацию энергии за счет молекулярной вязкости и теплопроводности.

Для вычисления диссипируемой в единицу времени энергии Е_мех воспользуемся следующими общими соображениями. Механическая энергия представляет собой не что иное, как максимальную работу, которую можно получить при переходе из данного неравновесного состояния в состояние термодинамического равновесия. Как известно из термодинамики, максимальная работа совершается, если переход происходит обратным образом (т.е. без изменения энтропии), и равна соответственно этому:

Е_мех = Е₀-Е (S),

Где Е₀ есть заданное начальное значение энергии тела в состоянии равновесия с той же энтропией S, которую тело имело вначале. Дифференцируя по времени, получаем:

Е_мех = - Е (S) = - S.

Производная от энергии по энтропии есть температура. Поэтому.

— температура, которую имело бы тело, если бы оно находилось в состоянии термодинамического равновесия (с заданным значением энтропии). Обозначая эту температуру как Т₀ имеем, следовательно:

Е_мех = Т₀ S.

Воспользуемся для S выражением:

(14).

включающим в себя возрастание энтропии, обусловленное как теплопроводностью, так и вязкостью. Поскольку температура Т мало меняется вдоль жидкости и мало отличается от Т₀, то можно вынести ее из-под знака интеграла и писать Т вместо Т₀:

Эта формула представляет собой обобщение формулы.

на случай сжимаемой жидкости и наличия теплопроводности.

Пусть ось х совпадает с направлением распространения звуковой волны. Тогда.

Два последних члена в (14) дают.

.

Нас, конечно, интересует среднее по времени значение величин; усреднение дает.

.

(V₀ — объем жидкости).

Далее, вычислим первый член в (14). Отклонение Т? температуры в звуковой волне от своего равновесного значения связано со скоростью формулой.

так что градиент температуры равен.

.

Для среднего по времени значения от первого члена в (14) получаем:

.

С помощью известных термодинамических формул.

(15).

можно переписать выражение в виде.

.

Собирая полученные выражения, находим среднее значение диссипации энергии в виде.

(16).

Полная же энергия звуковой волны равна.

. (17).

Для звука имеем дело с задачей, в которой звуковая волна распространяется вдоль жидкости и ее интенсивность падает с увеличением пройденного расстояния x. Очевидно, что это уменьшение будет происходить по закону, а для амплитуды как —, где коэффициент поглощения г определяется посредством.

. (18).

Подставляем сюда (16) и (17), находим, таким образом, следующее выражение для коэффициента поглощения звука[10]:

(19).

которое используется для расчёта объёмного эффекта затухания звуковых волн при верификации.