Основные задачи теории электрических цепей

Основных задач две.

• 1
• 1) Задача анализа электрической цепи состоит в отыскании откликов y_i(t), т. е. токов и напряжений на интересующих нас участках цепи по заданной схеме и воздействиям x_j(t). Схематично задача анализа показана на рис. 4.25.

Задача анализа имеет единственное решение (она однозначна).

• 2) Задача синтеза электрической цепи состоит в отыскании схемы цепи (структуры цепи) и параметров ее элементов по заданным откликам и воздействиям. Схематично задача синтеза показана на рис. 4.26.
• 1

Задача синтеза сложнее задачи анализа и обычно неоднозначна, т. е. можно создать ряд схем с одной и той же функцией цепи. Окончательный вариант схемы выбирается на основе дополнительных требований к ней.

Например:

• 1) Синтезировать схему при минимальной стоимости ее деталей;
• 2) синтезировать пассивную схему, используя только элементы R и C.

Методы анализа (расчета) линейных цепей при гармоническом воздействии

в общем случае расчет (анализ) электрических цепей сводится к отысканию токов во всех ветвях схемы. При гармоническом воздействии в основу всех методов расчета линейных цепей положен метод комплексных амплитуд (МКА). Возможность применения МКА основана на том, что в линейных цепях новых гармонических составляющих не возникает, а потому расчет цепей сводится к расчету амплитуд и начальных фаз токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, в то время как частота в любой точке цепи равна частоте входного сигнала.

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

• 1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:
  • а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 4.27.
  • б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т. е. х(t) = X_m cos (₀t — _x) X_m = X_m e-^jx.

Рис. 4.27.

• 2) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т. е. Y_m = Y_m e-^jy.
• 3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т. е.

Y_m =Y_m e —^jy y(t) = Y_m cos (₀t — _y).

Основными методами анализа (расчета) являются:

• 1. Метод токов ветвей (МТВ).
• 2. Метод контурных токов (МКТ).
• 3. Метод узловых потенциалов (МУП).
• 4. Метод наложения.

Название метода дается в соответствии с тем, какая величина при составлении уравнений состояния принимается за неизвестную в данном методе расчета. Рассмотрим подробнее эти методы.

Метод токов ветвей (МТВ) Данный метод основан на применении 1-го и 2-го законов Кирхгофа. За неизвестные величины в этом методе принимаются искомые токи во всех ветвях схемы. Для того чтобы задача имела однозначное решение для схемы, состоящей из b ветвей (b = N), необходимо составить N независимых уравнений.

Порядок решения данным методом.

• 1) Проводится топологический анализ схемы.
• а) Во всех ветвях стрелками показывают положительное направление токов и нумеруют их I₁, I₂, …, I_N. Отсюда определяют число ветвей b = N.
• б) Подсчитывают число узлов у и определяют число независимых узлов N_у = у — 1.
• в) Подсчитывают число независимых контуров по формуле N_k = b — у + 1. На схеме независимые контуры выделяют дугами. Стрелкой на дуге показывают положительное направление обходов элементов контуров. Эти контуры нумеруют. За положительное направление принимают направление по часовой стрелке.
• 2) По 1-му и 2-му законам Кирхгофа относительно токов ветвей записывают уравнения. Общее число уравнений составляет N_y + N_k = b, это означает, что записанная система относительно токов ветвей имеет однозначное решение. В общем случае для схемы из b = N ветвей составленные уравнения образуют систему линейных алгебраических уравнений N-го порядка:

где x_i — искомые токи ветвей; a_ji — постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; в_i — постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.

3) Токи в ветвях находят по правилу Крамера.

x_i=; ,.

где — главный определитель системы; _i — определитель, получается из главного путем замены i-го столбца на столбец свободных членов в_i.

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.28). Определить токи во всех ветвях схемы.

• 1
• 1) Проведем топологический анализ.
• а) b = 3; б) y = 2, N_у =1; в) N_k = b — y + 1 = 2.
• 2. Запишем систему уравнений, составленную по методу токов ветвей.

I₁ — I₂ — I₃ = -I для узла 1;

Z₁I₁+ Z₂ I₂ + 0 I₃ = E₁ — E₂ для контура 1;

0 I₁+ Z₂ I₂ + Z₃ I₃ = E₂ для контура 2.

Метод контурных токов (МКТ) Метод основан на 2-м законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют источниками ЭДС (рис. 4.29).

Эта схема эквивалентна, если.

• а) E = IZ_i^I;
• б) Z_i^II = Z_i^I.
• 1) Топологический анализ схемы.
• а) Как и в предыдущем методе, определяют число ветвей b.
• б) Определяют число узлов у.
• в) Подсчитывают число независимых контуров N_k = b — y + 1.

Все независимые контуры обозначены дугами со стрелками на них, которые показывают положительное направление обхода.

Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: I_k1; I_k2; I_kNk.

За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.

2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений N_k = N_k порядка:

где I_ki — контурный ток i-го контура;

Z_ii — собственное сопротивление i-го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих в i-й контур;

Z_ji — сопротивление смежных ветвей между i-м и j-м контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «-», если они направлены встречно;

E_ki — контурная ЭДС i-ого контура. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в i-й контур. Контурная ЭДС E_ki берется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «-», если они направлены встречно.

• 3) По правилу Крамера находят контурные токи I_ki=.
• 4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. В алгебраической сумме контурные токи берутся со знаком «+», если ток ветви и совпадает с контурным током и «-» если не совпадает.

Если токи ветви оказались положительными, то выбранное направление тока совпадает с истинным и наоборот.

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.30). Определить токи во всех ветвях.

Проводим топологический анализ.

• а) b = 6; б) y = 4; в) N_k = 6 — 4 + 1=3.
• 2) Составим систему уравнений по методу МКТ

где.

E₁₁= E₁; E₂₂ = 0; E₃₃ = 0.

• 3) По методу Крамера находим контурные токи I_ki = .
• 4) Находим токи в ветвях: I₁ = I_k1; I₂ = = I_k1 — I_k2; I₃ = I_k1 — I_k3; I₄ = -I_k2 + I_k3; I₅ = I_k2; I₆ = I_k3.

Метод узловых потенциалов (МУП) Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. По закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы.

Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме, заменяют источниками тока (рис. 4.31).

• 1
• а) I = E/ZiI;
• б) Z_i^II = Z_i^I.
• 1) Топологический анализ.
• а) Подсчитывают число ветвей b и число узлов y. Определяется количество независимых узлов N_y = y — 1.
• б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где — потенциал нулевого узла.
• 2) По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для N узлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов:

.

где Y_ii — собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в i-м узле, все они берутся со знаком «+»;

Y_ij — межузловая проводимость между i-м и j-м узлами. Проводимости всех узлов берутся со знаком «-»;

I_ii — алгебраическая сумма токов источников тока, сходящихся в i-м узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие — со знаком «-».

3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера.

.

4) Токи в ветвях находят по закону Ома.

I = (₁ — ₂)/Z.

Пример. Дана электрическая цепь (рис. 4.32). Рассчитать токи во всех ветвях.

Предварительно преобразуем все источники напряжения (рис. 4.32) в источники тока (рис. 4.33).

Рис. 4.32 Рис. 4.33

Проведем топологический анализ.

• а) число ветвей b = 4;
• б) число независимых узлов N_у = 2, их потенциалы: ц₁ и ц₂ (рис. 4.33).

Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов:

;

.

По методу Крамера найдем потенциалы узлов.

.

По закону Ома найдем токи во всех ветвях схемы:

.

Контрольные вопросы

• 1. каковы основные свойства линейных цепей?
• 2. Какие узлы и контуры называются независимыми?
• 1
• 3. Записать закон Ома в комплексной форме.
• 4. На каком законе основаны методы контурных токов и узловых потенциалов.
• 5. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы на рис. 4.34.
• 1
• 6. Записать уравнение по методу узловых потенциалов для узла А схемы на рис. 4.35.
• 7. Записать второй закон Кирхгофа (для контура J₁ на рис. 4.35).
• 8. Записать уравнение по методу узловых потенциалов для узла А схемы на рис. 4.35.
• 9. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы на рис. 4.35.
• 10. Для независимых узлов схемы на рис. 4.35 записать уравнения по 1-му закону Кирхгофа.