Лекция №1 элементы кинематики

Учение о механическом движении и причинах, вызывающих или изменяющих это движение, называют механикой.

Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей в пространстве.

Механика состоит из трех разделов:

Кинематика изучает движение тел без учета причин, его вызывающих.

Динамика исследует законы и причины, вызывающие движение тел.

В статике исследуются условия равновесия системы тел.

В ньютоновской классической механике изучают механическое движение макроскопических тел, происходящее со скоростью, много меньше скорости света в вакууме (с= 3 * 108 м/с).

В релятивистской механике (теории относительности) изучают механическое движение макроскопических тел (частиц), происходящее со скоростью, сравнимой со скоростью света в вакууме.

В квантовой механике изучают механическое движение микроскопических тел, т. е. отдельных атомов и элементарных частиц.

Система отсчета

Для описания механического движения необходимо указать тело (или систему неподвижных друг относительно друга тел), относительно которого рассматривается движение. Это тело называют телом отсчета.

С телом отсчета связывается система координат. Простейшей системой координат является прямоугольная декартова система х, у, z.

Движение происходит не только в пространстве, но и во времени; следовательно, для определения моментов времени, которым соответствуют различные положения движущегося тела, необходимо иметь часы, отсчитывающие промежутки времени от произвольно выбираемого начального момента.

Совокупность тела отсчета и связанной с ним системы координат и синхронизованных между собой часов образуют систему отсчета (рис. 1).

Рисунок 1 Система отсчета.

В классической механике пространству и времени приписывают абсолютный характер, линейные масштабы и промежутки времени остаются неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, т. е. не зависят от выбора системы отсчета.

В релятивистской механике линейные масштабы и промежутки времени зависят от выбора системы отсчета и в разных системах отсчета будут разными.

Материальная точка. Абсолютно твердое тело.

Материальной точкой называют тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь и считая при этом, что вся его масса сосредоточена в этой точке.

Абсолютно твердое тело — это система материальных точек, расстояние между которыми не изменяется в процессе движения.

Любое движение твердого тела можно представить как результат сложения поступательного и вращательного движений.

Движение тела называют поступательным, если любая прямая, соединяющая две любые его точки, остается все время параллельной самой себе.

При вращательном движении твердого тела все его точки описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой — оси вращения.

Траектория. Уравнение движения точки При движении материальной точки М конец радиуса-вектора описывает в пространстве некоторую линию, называемую траекторией. При движении точки ее радиус-вектор в общем случае изменяется как по модулю, так и по направлению.

Радиус-вектор зависит от времени:

Векторному уравнению эквивалентна система скалярных уравнений:

x=x (t),

y=y (t),

z=z (t)

Эти уравнения называют уравнениями движения материальной точки.

Исключая время из уравнений движения, получим уравнение траектории движения материальной точки.

По форме траектории механические движения классифицируются на прямолинейные и криволинейные.

Траектория данного механического движения в различных системах отсчета может иметь разную форму.

Скорость. Ускорение Перемещение точки от А до В за промежуток времени t изображается вектором r. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой за время t, называется длиной пути s и является скалярной функцией времени (рис. 2а).

Рисунок 2. а Перемещение и длина пути; б. Скорость.

На участке траектории АВ вектор средней скорости равен =r/t и направлен вдоль хорды АВ в ту же сторону, что и вектор перемещения r. Выражение для скорости v в точке А (мгновенной скорости) имеет вид (рис. 2б).

Так как модуль вектора равен длине ds малого участка траектории (пути ds), то.

модуль скорости равен первой производной пути по времени.

Скорость движения может изменяться как по модулю, так и по направлению. Быстрота изменения скорости характеризуется вектором ускорения а. Изменение скорости на участке АВ траектории за время t равно v=v1 - v, где v — скорость в точке А, v1 — скорость в точке В. Отношение изменения скорости v к промежутку времени t, в течение которого произошло это изменение — выражает среднее ускорение.

Вектор среднего ускорения совпадает по направлению с вектором изменения скорости.

Выражение для ускорения в точке А (мгновенного ускорения) можно получить как предел вектора <а> при t0:

Полное ускорение, а имеет две взаимно перпендикулярные составляющие: а — тангенциальное, а_n - нормальное или центростремительное.

Тангенциальное ускорение направленное по касательной, определяет быстроту изменения модуля скорости.

Модуль тангенциального ускорения равен производной модуля скорости по времени:

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и совпадает с нормалью к траектории к центру ее кривизны. Расчеты показывают, что модуль нормального ускорения.

где R — радиус кривизны траектории.

Угловая скорость. Угловое ускорение При вращательном движении твердого тела его точки, находящиеся на разных расстояниях r от оси вращения, за равные промежутки времени проходят разные пути; следовательно, они имеют разные скорости и ускорения. Пусть радиус окружности, описываемой некоторой точкой, равен r, а ее линейное перемещение — ds. Тогда угловое перемещение d (угол поворота радиуса-вектора):

Кинематическими характеристиками вращательного движения так же являются угловая скорость и угловое ускорение е.

Если за промежуток времени t тело поворачивается на угол, то быстрота его вращения характеризуется угловой скоростью

Угловая скорость равна первой производной от угла поворота радиуса-вектора по времени

Направление вектора вдоль оси вращения, можно определить, пользуясь правилом правого винта: если направление вращения винта совпадает с вращением тела, то конец винта укажет направление вектора .

Если =const, то вращательное движение называют равномерным.

Время одного полного поворота тела вокруг оси вращения называют периодом обращения Т, а величину, обратную периоду — частотой:

Связь между линейными и угловыми характеристиками движущейся точки.

За один период угол поворота радиуса-вектора точки равен 2 рад, поэтому 2 =Т, или.

Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением.

Угловое ускорение равно первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота радиуса-вектора по времени.

Единица углового ускорения —радиан на секунду в квадрате (рад/с²).

Формулы поступательного и вращательного движения

Равномерное движение.

1. Поступательное:

2. Вращательное:

Равнопеременное движение.

1. Поступательное:

2. Вращательное: