Интегральные и дифференциальные уравнения электродвигателя

Сила взаимодействия покоящихся точечных зарядов определяется законом Кулона, который позволяет ввести понятие электрического поля, задаваемого вектором напряженности E, E=F/q, т. е. вектор E равен силе, с которой электрическое поле действует в данный момент времени в точке наблюдения p в веществе на единичный положительный заряд. Единицей измерения E является вольт/м.

На движущийся в веществе со скоростью v заряд в магнитном поле действует сила Лоренца, где вектор B определен в каждой точке p и количественно описывает способность магнитного поля вызывать появление этой силы. Вектор B называется магнитной индукцией. Выражение F можно рассматривать как определение вектора B. Единицей B является тесла (Тл).

Поток вектора B через поверхность S называют магнитным потоком.

(1).

Единицей измерения магнитного потока является вебер (Вб).

Векторы E и B описывают проявления механических сил в ЭМ поле, их называют силовыми и основными векторами ЭМ поля.

На основе закона Кулона для электростатического поля доказывается закон Гаусса для вакуума. Он устанавливает связь потока вектора E через произвольную замкнутую поверхность S с алгебраической суммой q свободных электрических зарядов, заключенных в объеме V, ограниченном поверхностью S:

заряд кулон магнитный диэлектрический.

(2).

где фарад/м (Ф/м) — электрическая постоянная.

В диэлектрике под действием внешнего электростатического поля изменяются средние положения связанных зарядов, входящих в составы молекул. В неполярных молекулах положительные и отрицательные заряды смещаются в противоположные стороны, образуются упорядоченно направленные элементарные электрические диполи, обладающие электрическими моментами. В полярных молекулах, которые обладают в отсутствие внешнего поля некоторым электрическим моментом, во внешнем поле появляется направление преимущественной ориентации этих моментов. Появление упорядоченно ориентированных элементарных электрических моментов приводит к электрической поляризации диэлектрика, при этом электрический момент единицы объема диэлектрика отличается от нуля. Количественно поляризацию диэлектрика описывают вектором поляризованности P, численно равным электрическому моменту единицы объема диэлектрика в точке p. Замкнутая поверхность S в диэлектрике разделяет положительные и отрицательные заряды ориентированных диполей. В объеме V образуется связанный избыточный заряд влияющий на величину напряженности поля в точке p объема V. Поэтому для диэлектрика величину заряда в законе Гаусса для вакуума надо изменить, добавив к заряду q значение .

(3),.

(4).

(5).

(6).

— обобщенный закон Гаусса для зарядов в диэлектрике. Этот закон строго доказывается только для электростатических полей. Максвелл обобщил этот закон, постулировав его справедливость для произвольных веществ, зарядов и изменяющихся в пространстве и времени полей. В классической электродинамике этот закон — один из основных.

Вспомогательный вектор D называется вектором электрической индукции (электрического смещения). Его введение в теорию упрощает описание электрических полей в веществе, так как поля одних и тех же свободных зарядов в любых веществах (и в вакууме) описываются одними и теми же значениями вектора D. Поэтому наряду с силовым вектором E вектор D характеризует электрическое поле в точке p. Вектор D измеряется в кулонах/.

2. Классификация сред

Среды по макроскопическим параметрам делят на изотропные и анизотропные, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные.

Изотропной называют среду, физические свойства которой одинаковы по всем направлениям в каждой точке p. В среде, изотропной по отношению к электрическому полю, элементарные электрические моменты диполей ориентированы преимущественно параллельно напряженности электрического поля.

Линейной называют среду, физические свойства которой не зависят от величины векторов поля. В линейной и изотропной по отношению к электрическому полю среде вектор P пропорционален и параллелен вектору E:, где безразмерный коэффициент называют диэлектрической восприимчивостью, которая характеризует свойство вещества поляризоваться и зависит от физико-химических свойств вещества. К линейным изотропным средам относится большинство диэлектриков (фторопласт, полистирол и др.) Подставив значение, получим:

(7),.

где — абсолютная диэлектрическая проницаемость (диэлектрическая проницаемость) — параметр, характеризующий макроскопические электрические свойства вещества и измеряемый в единицах фарадах/м.

Нелинейной называют среду, физические свойства которой зависят от величины векторов поля. В нелинейной изотропной по электрическому полю среде вектор P нелинейно зависит от величины напряженности электрического поля и может иметь нелинейный гистерезисный характер. В последнем случае такие вещества называют ферроэлектриками или сегнетоэлектриками.

Анизотропной называют среду, физические свойства которой в точке p различны по различным направлениям. В анизотропной среде вектор P непараллелен векторам E и D. Поэтому в общем случае каждая составляющая вектора D зависит от трех составляющих вектора E:

(8).

где — компоненты тензора диэлектрической проницаемости. Примерами анизотропных сред являются плазма (ионизированный газ), находящаяся в постоянном магнитном поле, и намагниченный феррит.

Однородной называют среду, физические свойства которой одинаковы во всех точках p. В однородной изотропной линейной по электрическому по электрическому полю среде — постоянная величина, в неоднородной —, т. е. зависит от координат точки p.

Вещества по своим магнитным свойствам разделяются на изотропные и анизотропные, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные.

В изотропном магнетике под воздействием внешнего магнитного поля элементарные магнитные моменты ориентируются преимущественно параллельно вектору В. При этом вектор М и, значит, вектор Н параллельны вектору В. В линейном изотропном магнетике вектор М пропорционален и параллелен вектору В. Это выражение записывают в виде:

где — абсолютная магнитная проницаемость вещества (магнитная проницаемость) — параметр, характеризующий макроскопические магнитные свойства вещества и измеряемый в единицах генри/м (Гн/м).

Так как, где безразмерный коэффициент называется магнитной восприимчивостью вещества, то.

Изотропные линейные магнетики делятся на две группы — парамагнетики и диамагнетики. У парамагнетиков векторы М и Н примерно совпадают по направлению, поэтому > 0 и >; к ним относятся, например, алюминий, натрий, калий, магний, кислород (0₂) и др. У диамагнетиков вектор М направлен навстречу магнитному полю, поэтому < О и <; к ним относятся, например, вода, медь, серебро, ртуть, углерод, гелий и др. И парамагнетики и диамагнетики слабо проявляют магнитные свойства, т. е. «1, поэтому часто полагают для таких веществ .

К нелинейным магнетикам относятся ферромагнетики. Ферромагнетиками являются ферромагнитные металлы (железо, кобальт, кадмий и их сплавы между собой и с другими неферромагнитными элементами) и ферриты. У ферромагнетиков зависимости составляющих вектора М от соответствующих составляющих вектора Н имеют нелинейный гистерезисный характер. В ферромагнетике при уменьшении до нуля значения Н сохраняется остаточная намагниченность. Тело, сохраняющее длительное время остаточную намагниченность, называется постоянным магнитом.

В анизотропном линейном магнетике векторы М, Н и В не параллельны. Примером анизотропных магнетиков являются ферриты, находящиеся в постоянном магнитном поле, в них для переменного во времени ЭМ поля магнитная проницаемость становится тензором.

В магнитном поле векторные линии магнитной индукции B непрерывны, они не имеют ни начала, ни конца. Поэтому магнитный поток через любую замкнутую поверхность равны нулю (принцип непрерывности магнитного потока):

(9).

Причиной этого является отсутствие в природе магнитных зарядов, которые могли бы стать источниками магнитного поля аналогично тому, как электрические заряды являются источниками электрического поля. Магнитное поле порождается электрическими токами, а линии B замыкаются вокруг последних.

Опытным путем установлено, что вектор B и постоянные токи (протекающие по замкнутым контурам) в вакууме связаны с законом полного тока для вакуума

(10).

где L-произвольный замкнутый контур, -элемент длины контура, генри/м (Г/м) — магнитная постоянная, -ток через произвольную поверхность S, опирающуюся на контур L; направление обхода контура (направление) и направление орта n связаны правилом правого винта.

Магнитные поля, порождаемые одним и тем же проводником с одинаковым током, перемещенным в различные вещества, различаются. Объясняется это тем, что в любом веществе существуют замкнутые элементарные электрические токи, возникающие за счет вращения отрицательно заряженного электрона по орбите вокруг положительно заряженного ядра атома; за счет этого образуются элементарные рамки тока, обладающие магнитными моментами. Кроме этого, электрон вращается вокруг своей оси, образуя спиновый магнитный момент. При воздействии на вещество внешнего магнитного поля в ориентировке этих магнитных моментов возникает некоторая упорядоченность. В единице объема вещества появляется магнитный момент. Этот процесс называют намагничиванием, а вещества, способные намагничиваться, называют магнетиками. Магнитное состояние вещества при этом характеризуется с помощью вектора намагничивания M — магнитного момента, которым обладает единица объема вещества в точке p.

Применим выражение закона полного тока к магнетикам. Появление дополнительных токов в магнетиках должно учитываться в правой части этого выражения дополнительным слагаемым, определяемым лишь теми токами элементарных рамок, которые охватывают собой контур интегрирования (сцепляются с контуром L). Тогда.

Если обозначить здесь.

.

то получим закон полного тока, справедливый для любого вещества при постоянном во времени токе:

(11).

Вектор Н называют вектором напряженности магнитного поля. Он является разностью физически разнородных векторных величин: магнитной индукции (деленной на магнитную постоянную) и вектора намагниченности вещества. Но введение в теорию вспомогательного вектора Н упрощает описание магнитных полей в веществах: поля, порождаемые одними и теми же макроскопическими токами, описываются в любых веществах и вакууме одними и теми же значениями вектора Н. Поэтому вектор представляет основную величину, характеризующую магнитное поле в точке р. Единицей измерения вектора Н является ампер/м=А/м.

В общем случае ЭМ поле в среде наводит (индуцирует) токи проводимости — вторичные токи с плотностью. Опыт показывает, что в большинстве веществ определяется только напряженностью электрического поля, т. е. уравнение, связывающее и Е, имеет вид = (E).

Зависимость (функция) называется вольтамперной характеристикой вещества. Она устанавливается опытным путем для каждого вещества.

Имеем закон Ома в дифференциальной форме:

(12).

Величина называется удельной дифференциальной электропроводностью или удельной проводимостью (или просто проводимостью) вещества. Ее единицей является сименс/м = См/м.

В случае, когда не зависит от положения точки р, среда называется однородной в смысле электропроводности. Если среда анизотропна в смысле электропроводности, то для описания ее свойств вводится тензор электропроводности.

У всех веществ, а отлично от нуля. Но значения разных веществ весьма существенно отличаются. Например, у серебра = См/м, у латуни = См/м, у железа = См/м, у полистирола = См/м в диапазонах частот от ОНЧ до ОВЧ, у слюды = См/м в диапазонах частот от ОНЧ до СЧ.

8. Известно, что ток в цепи с омическим сопротивлением сопровождается выделением джоулева тепла. Чтобы поддерживать ток, необходимо ввести в цепь сторонний источник.

Наличие приводит к появлению тока проводимости. Опытные данные показывают, что токи в проводящей среде могут быть вызваны не только электрическим полем, но и другими причинами. Например, при соприкосновении двух тел разного химического состава. Сторонние силы действуют в аккумуляторах, термопарах, гальванических элементах и др. Во всех случаях причина, вызывающая ток, может быть описана дополнительным полем сторонних сил. Обобщенный закон Ома в дифференциальной форме имеет вид.

(13),.

гдеудельная проводимость источника.

Если здесь величину определить как сторонний ток, то тогда.

; (14).

Закон Ома (13), или (14), считают справедливым и в нестационарном случае.

Как материальный объект ЭМ поле может быть охарактеризовано совокупностью четырех векторов E (p, t) и В (p, t), D (p, t) и Н (p, t), являющихся непрерывными функциями положения обыкновенной точки наблюдения р и времени t. Обыкновенной точкой р считают такую точку, в окрестности которой физические свойства среды непрерывны. При переходе точки наблюдения р через поверхность, ограничивающую материальное тело, векторы поля и их производные могут иметь разрывы. При этом точки р относятся к особым точкам. Характер разрывов устанавливается при изучении граничных условий. Пока граничные условия не изучены, особые точки из рассмотрения нами исключаются.

В линейных изотропных средах векторы Е, D и В, Н связаны выражениями:

(15).

Вторичный ток: (16).

Выражения (15) и (16) называют материальными уравнениями (уравнениями состояния) линейной изотропной среды.

В вакууме отсутствуют частицы вещества, поэтому и Р = М = 0. Поэтому.

(17).

т.е. диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума равны соответственно электрической и магнитной постоянным и .

На практике часто пользуются безразмерными относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями, (18).