О методе конечных элементов (МКЭ)

Этот метод относится к разряду проекционно-разностных методов. Изначально был разработан в приложении к задачам механической прочности. Потом он был обобщен на математическую теорию, и стал широко применяться для решения разнообразных задач.

МКЭ имеет сложную реализацию, но при этом он очень гибок к геометрической форме. Одинаковым, универсальным способом реализует любые геометрические сложности области. Поэтому, для реализации МКЭ требуются значительные затраты труда, но готовый программный продукт обладает высокой гибкостью и универсальностью. Как следствие, распространенные программные пакеты основаны на МКЭ.

Метод конечных элементов основан на том, что некоторое искомое решение заменяется на приближенные функции простого вида. Кроме того, расчетная область разбивается на некоторое количество частей простой формы, которые называются конечными элементами. Для приближенного решения в каждом конечном элементе задается своя функция, однако все функции во всех элементах, различаясь по конкретной величине, имеют общий вид. Отличаются они только числовыми параметрами. Такая модификация метода называется h-метод. Она применяется в программном пакете COMSOL. Часто в виде приближенной функции на элементе используются линейные функции. Есть вариант метода, когда на элементах задаются функции более сложные, например полиномы некоторой выбранной степени. Эта модификация называется p-метод.

МКЭ ставится так, что вместо искомой функции u ищутся некоторые значения в точках, и вместо исходной дифференциальной задачи (где L — некоторый дифференциальный оператор, f — известная функция) формируется система линейных алгебраических уравнений.

(где A — матрица, u, f — векторы). Задача становится алгебраической, решается она численными методами. Поскольку размерность задачи высокая, то применяются преимущественно итерационные методы.