Частотные характеристики и операторные функции электрических цепей

Большинство электрических цепей служат средством связи для передачи сигналов от источника сигнала в нагрузку.

Он называется входным сигналом, или воздействием; y (t) — выходной сигнал, или отклик:

y (t) = F (x (t), a, b, c).

В общем случае связь между откликом и воздействием имеет вид дифференциального уравнения. Если цепь линейная, то уравнение линейное, где a, b, c — параметры элементов, входящих в цепь.

Если входной сигнал гармонический, то его представляют комплексной амплитудой.

> .

Если цепь линейная, то откликом такой цепи является гармонический сигнал с комплексной амплитудой.

.

Причем связь между комплексной амплитуды отклика и воздействия имеет вид линейного алгебраического уравнения:

,.

где H (a, b, c) — параметр электрической цепи (это комплексное число).

Параметр цепи есть отношение комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия.

Параметры двухполюсника.

Двухполюсником является цепь с двумя выводами. Его режим работы характеризуется двумя величинами.

1. Если воздействием считать амплитуду тока, то откликом будет являться напряжение на нем.

По закону Ома:

.

где Z — сопротивление двухполюсника. (Z = R+jX — комплексное число, где R и X — резистивная и реактивная составляющие сопротивления двухполюсника).

Обобщенная схема замещения двухполюсника приведена на рис. 5.3.

2. Если воздействием считаем амплитуду напряжения, тогда откликом будет амплитуда тока, связанная с напряжением:

; ,.

где Y — второй параметр двухполюсника, он называется комплексной проводимостью двухполюсника:

Y = G + jB,.

G и B — резистивная и реактивная составляющие проводимости двухполюсника.

Эти схемы замещения при определенном выборе параметров эквивалентны.

Четырехполюсник — это цепь с четырьмя выводами.

Параметры четырехполюсника можно разбить на четыре группы:

1. Входные параметры связывают и :

По отношению к источнику сигнала четырехполюсник является двухполюсником, а поэтому его входные параметры аналогичны параметрам двухполюсника:

,.

где Zвх — входное сопротивление четырехполюсника; Yвх — входная проводимость четырехполюсника.

2. Передаточные параметры характеризуют передачу сигнала с входа на выход, или, как говорят, передачу в прямом направлении. Передаточных параметров четыре:

;;; ,.

где Ku — коэффициент передачи по напряжению;

Ki — коэффициент передачи по току;

Kiu — сопротивление прямой передачи, или коэффициент преобразования ток — напряжение;

Kui — проводимость прямой передачи, или коэффициент преобразования напряжение — ток.

3. Выходные параметры:

а) Zвых = ,.

где Zвых — комплексное выходное сопротивление;

— комплексная амплитуда выходного напряжения в режиме холостого хода (х.х). Холостой ход — это режим, когда выполняются условия: Э2m = 0, Zн = ?;

— комплексная амплитуда выходного тока в режиме короткого замыкания (к.з). Короткое замыкание — это режим, когда Zн = 0.

• б) — комплексная выходная проводимость.
• 4. Параметры обратной передачи сигнала. Они характеризуют передачу сигнала с выхода на вход. Таких параметра четыре, и они аналогичны параметрам второй группы: (Ku, Ki, Kiu, Kui).

Частотные характеристики.

Поскольку сопротивления элементов цепей зависят от частоты, то параметры цепей оказываются частотно-зависимыми. Зависимости параметров цепей от частоты называют частотными характеристиками (ЧХ), или частотными функциями цепи.

Каждый параметр цепи имеет свою частотную характеристику. Название ЧХ дают в соответствии с названием параметра, например ЧХ входного сопротивления, ЧХ коэффициента передачи напряжения.

ЧХ есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия. Как всякую комплексную функцию ее можно записать в одной из трех форм записи: показательной, алгебраической и тригонометрической (применяется редко).

электрический колебательный контур частотный.

.

H (щ) = Ym/Xm — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), или ее называют модуль комплексной функции:

mod [H (jщ)] = H () = =.

АЧХ есть зависимость от частоты отношения амплитуды гармонического сигнала на выходе к амплитуде гармонического сигнала на входе (без учета начальных фаз).

() = y — x — фазочастотная характеристика (ФЧХ), или ее называют аргументом комплексной функции — arg[H (jщ)] = .

ФЧХ есть зависимость от частоты сдвига по фазе между выходным и входным сигналами.

 — реальная и мнимая составляющие ЧХ электрической цепи.

Резонансные цепи. Колебательные контуры.

Явление резкого возрастания амплитуды отклика при приближении частоты внешнего воздействия к определенному значению частоты называется резонансом. Такой резонанс имеет место в механике и называется амплитудным резонансом. Частота, на которой выполняется условие резонанса, называется резонансной частотой.

В электротехнике величины, характеризующие режим работы цепи на разных элементах, имеют амплитудный резонанс на разных, хотя и близких частотах. Поэтому в теории цепей под резонансом понимают фазовый резонанс. Под фазовым резонансом понимают условие, при котором цепь, содержащая реактивные элементы (L и C), имеет входное сопротивление резистивное, т. е. при резонансе ток и напряжение находятся в одной фазе, как и на любом резистивном элементе, а сдвиг по фазе равен нулю.

Электрические цепи, в которых имеет место явление резонанса, называются резонансными. Поскольку переходные характеристики резонансных цепей имеют колебательный характер, то резонансные цепи называют колебательными контурами.

Колебательные контуры используются для решения задач частотной избирательности. Под частотной избирательностью понимают способность цепи выделять сигналы узкого диапазона частот. К простейшим колебательным контурам относят последовательный и параллельный колебательный контур, также систему связанных контуров.

Последовательный колебательный контур.

Последовательный колебательный контур состоит из последовательного соединения индуктивности L и емкости C.

Для анализа процессов, протекающих в контуре, воспользуемся эквивалентной схемой замещения контура, в которой учтем резистивные сопротивления потерь реальных реактивных элементов.

Определим частотную характеристику входного сопротивления последовательного колебательного контура:

.

где R и — резистивная и реактивная составляющая сопротивления последовательного колебательного контура;

— обобщенная расстройка колебательного контура.

Характер входного сопротивления Zвх (jщ) зависит от частоты.

1) На низких частотах (НЧ); X < 0. Это означает, что сопротивление носит емкостной характер

2) На высоких частотах (ВЧ), Х > 0, сопротивление последовательного контура носит индуктивный характер (рис. 5.20, б).

3) На некоторой частоте, , Х = 0, сопротивление контура имеет резистивный характер, а его схема замещения состоит из резистора R.

Частота, на которой выполняется это условие, называется резонансной, она определятся как щ0 = (LC)-½.

Отметим свойства последовательного контура на резонансной частоте:

• 1) сопротивление имеет резистивный характер и минимально по сравнению с сопротивлением на других частотах.
• 2) Начальные фазы напряжения и тока на контуре одинаковы цu = цi, сдвиг по фазе равен ц = цu — цi = 0.

• 3) Амплитуда тока в контуре максимальна и равна .
• 4) Сопротивления реактивных элементов L и C одинаковы и равны — характеристическому сопротивлению контура, т. е.

.

5) Амплитуды напряжений на реактивных элементах контура одинаковы и в Q (добротность) раз больше (амплитуды напряжения на входе).

.

Q — добротность контура, .

Поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.

6) Амплитуды напряжений на реактивных элементах находятся в противофазах, а поэтому суммарное напряжение на реактивных элементах равно нулю: .

Резонансная характеристика последовательного колебательного контура Это есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуде тока к комплексной амплилитуде тока при резонансной частоте, т. е.

.

Отсюда АЧХ:

; ФЧХ: .

— обобщенная расстройка,.

На остальных частотах резонансная характеристика убывает.

Важным параметром колебательного контура является его полоса пропускания (S). Это диапазон частот, в котором резонансная характеристика превышает уровень, т. е., S = щв — щн, где щв, щн — верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания.

Параметры контура S, Q и щ0 связаны соотношением. Отсюда следует, что чем больше добротность, тем меньше полоса пропускания, тем лучше избирательные свойства колебательного контура.

Зависимость добротности контура Q от сопротивления источника сигнала (Ri) и сопротивления нагрузки (Rн).

Эквивалентное преобразование паралельной RC цепи в последовательную, где. Добротность контура с учетом добавочных элементов Ri, Rн называется эквивалентной и определяется из следующего выражения:

.

Она меньше собственной добротности контура Q. Для того чтобы, необходимо:

• 1). Это означает, что последовательный колебательный контур необходимо питать от источника ЭДС, т. е. источника с нулевым сопротивлением.
• 2). В этом случае нагрузка не будет влиять на добротность контура.