Синтез наблюдателя неизмеряемых параметров эталонной модели

Рассмотрим модель подвижного объекта на базе уравнений кинематики и динамики твердого тела [17]:

(1).

где — вектор линейных и угловых положений подвижного объекта во внешней системе координат; - вектор линейных и угловых скоростей подвижного объекта в связанной системе координат; - матрица кинематики; - матрица инерционных параметров; - вектор управляющих сил и моментов; - вектор прочих сил и моментов, действующих на подвижный объект.

Наряду с моделью (1) рассмотрим эталонный подвижный объект вида:

(2).

где — вектор линейных и угловых положений эталонного подвижного объекта во внешней системе координат; - вектор линейных и угловых скоростей эталонного подвижного объекта в связанной системе координат; - матрица кинематики эталонного подвижного объекта; - вектор управляющих сил и моментов эталонного подвижного объекта; - вектор прочих сил и моментов, действующих на номинальную модель.

Матрица и вектор совпадают по структуре с матрицей и вектором соответственно.

Для оценивания неизмеряемых параметров и действующих возмущений на эталонный подвижный объект воспользуемся методом оценивания [14, 15]. В случае влияния некоторого неизмеряемого воздействия вектор прочих сил и моментов модели (2) примет вид:

(3).

Введем ошибку наблюдения, как разницу между реальным значением воздействия и его оценкой :

(4).

В соответствии с процедурой синтеза редуцированных наблюдателей [15] определим уравнение оценки наблюдений следующим образом:

где — неизвестная вектор-функция, подлежащая определению, — вектор новых переменных.

Тогда ошибку наблюдения (4) с учетом (5) можно записать, как:

(6).

Производная от ошибки примет вид:

(7).

Для обеспечения асимптотической сходимости оценки, потребуем, чтобы ошибка удовлетворяла эталонному дифференциальному уровнению:

(8).

Подставив (4) — (7) в уравнение (8), получим:

(9).

Определение неизвестной функции необходимо производить из расчета, чтобы уравнение (9) не зависело от неизмеряемого воздействия, таким образом, уравнение (9) будет описывать асимптотический наблюдатель. При этом оценка неизмеряемой величины будет определяться в соответствии с (5). Чтобы (9) не зависило от, все слагаемые, содержащие этот множитель, приравняем к нулю и определим :

(10).

(11).

(12).

Перепишем (9) и (6) с учетом (11), (12) и выразим производную вектора новых переменных и оценку :

(13).

(14).

(15).

Уравнения (14), (15) являются искомыми уравнениями наблюдателя, применение которого в процессе синтеза регулятора позволит компенсировать влияние неизмеряемых воздействий на устойчивость всей системы.

Для синтеза управления объектом (2) воспользуемся процедурой, описанной в [12, 17]. Определим ошибку позиционирования в виде:

(16).

где — матрица и вектор постоянных коэффициентов, отражающих требования к точке позиционирования.

Потребуем, чтобы ошибка удовлетворяла эталонному дифференциальному уравнению (17) и определим первую и вторую производную по времени от ошибки позиционирования:

(17).

(18).

(19).

Из (17), с учетом (18), (19) определим вектор управляющих сил и моментов:

(20).

Модель эталонного подвижного объекта (2) с учетом (20), (14), (15) примет вид:

(21).

Синтез контура управления подвижным объектом (1) произведем в соответствии с [17], где вводятся ошибки позиционирования объекта управления в виде.

,.

где — векторы дополнительных переменных; , — матрицы произвольных коэффициентов настройки регулятора.

Таким образом, вектор управляющих сил и моментов примет следующий вид:

(22).

Контур управления подвижным объектом (1), с учетом (22), описывается следующей системой уравнений:

(23).

Устойчивость полученной замкнутой системы исследована в [17], где доказано, что система асимптотически устойчива по Ляпунову.