Модель распространения и ветвления стримера в проводящей среде

Как известно, стримеры относятся к числу макроскопических наблюдаемых явлений, которые легко могут быть зарегистрированы в экспериментах с газовыми разрядами, включая атмосферные разряды [20−31]. Обычно наблюдаются стримеры, вызванные распространением электронов в нейтральной среде, которая подвержена ионизации. Стандартный набор физических процессов, используемых в моделях стримеров — это ионизация, диффузия и движение зарядов в электрическом поле [20−31].

Предполагается, что высоковольтный разряд относится к электростатическим явлениям, следовательно, генерируемые электрические поля являются потенциальными [20−29]. В тоже время сам разряд является быстропротекающим процессом, что указывает на наличие вихревых полей [18−19]. Рассмотрим распространение стримера в газовой среде в однородном электрическом поле. Используем стандартную модель стримера в газовых разрядах [20−24], которую модифицируем с учетом диффузии электрического поля и ионов, имеем [18−19].

(1).

Здесь обозначено — плотность электронов, ионов и электрического поля соответственно, — коэффициенты диффузии, — параметр подвижности ионов. В качестве параметра длины в модели (1) используется длина свободного пробега электронов в азоте при нормальном давлении — (2.3 мкм).

Масштаб времени составляет 3 пикосекунды, а масштаб электрического поля — [14].

Характерный масштаб плотности электронов составляет в таком случае.

.

масштаб скорости км/с.

Поясним происхождение третьего уравнения (3). Выражение в скобках в случае электростатического поля тождественно обращается в ноль. Однако при наличии вихревой составляющей поля в случае длинных волн, из уравнений Максвелла и закона Ома следует уравнение диффузии векторного потенциала.

(2).

Сравнивая (2) с третьим уравнением (1), находим .

Модель (1) тестировалась на плоских и трехмерных задачах моделирования стримеров Саффмана-Тейлора [23, 35] в однородном электрическом поле [18−19].

Задача для системы (1) решалась численно, в прямоугольной области, с нулевыми начальными данными и с граничными условиями:

(3).

В случае решения плоской задачи полагаем в условиях (3) и исключаем граничные условия при .

Основные результаты расчетов электронной плотности по модели (1), (3) были получены при следующих параметрах задачи:

. (4).

Из полученных результатов [18−19] следует, что распределение плотности электронов в 2D и 3D моделях отличается несущественно, что объясняется специфической геометрией стримера Саффмана-Тейлора.

Линия раздела плотности в теории [35] описывается уравнением:

(5).

Как было установлено в экспериментах [35], параметр, хотя в теории стримеров этот параметр может принимать любое значение в зависимости от скорости [18−19, 23].

Геометрия стримера в модели (1) не совпадает в деталях с геометрией стримера Саффмана-Тейлора [35], хотя при некоторых значениях параметров наблюдается практически идеальное совпадение кривой (5) с линиями уровня плотности электронов — левый рис. 1.

Рассмотрим аналитическую модель распространения стримера в заданном внешнем поле.

Положим в уравнениях (1) все величины зависящими от переменных, тогда система (1) приводится к виду.

(6).

Здесь оператор. Стример Саффмана-Тейлора это плоское линейное решение первого уравнения (6). Полагая в этом уравнении электрическое поле постоянным, ищем решение в виде.

(7).

Подставляя (7) в первое уравнение (6), находим дисперсионное соотношение.

(8).

Предполагая, что линия раздела электронной плотности определяется из уравнения, находим из первого уравнения путем логарифмирования уравнение линии раздела плотности.

(9).

Из уравнения (8) следует, что скорость стримера зависит от параметра диффузии и от скорости ионизации. Ранее аналогичные результаты были получены в работе [23], в которой модель стримера Саффмана-Тейлора была использована для нахождения режимов движения с постоянной скоростью и ветвления в 2D. В работе [18] аналогичная задача была решена в трехмерном случае.

Рассмотрим стример как бегущую с постоянной скоростью волну. Положим в уравнениях (1) все величины зависящими от переменных, тогда справедлива система уравнений (6). Для решения системы уравнений (6) используем теорию пограничного слоя. Будем считать, что изменение параметров по сечению стримера значительно превосходит изменение параметров вдоль направления его распространения. Это условие заведомо не выполняется на головке стримера. В остальной же области для описания стримера имеем систему уравнений параболического типа.

(10).

Здесь операторы,. В рамках модели (10) может быть поставлена и решена задача о ветвлении стримера в трехмерном случае. Для этого предположим, что в плоскости в интервале задано распределение плотности электронов вида (7), а в плоскости задано совместное с ним распределение, имеем.

(11).

Во всей остальной области и на границах используем нулевые начальные данные. Тогда в области имеем отрыв стримера от плоскости — рис. 2, что соответствует ветвлению, поскольку плоскость является плоскостью симметрии.

Рис. 2. Распределение плотности электронов при ветвлении стримера для двух значений скорости и напряженности внешнего поля: вверху, внизу .

На рис. 2 представлены данные по распределению плотности электронов при ветвлении стримера, рассчитанные по модели (10)-(11) при следующих значениях параметров:

. (12).

Отметим, что волновые числа, коэффициент диффузии электронов, напряженность электрического поля и скорость стримера связаны уравнение (8). Разрешая уравнение (8), находим продольный масштаб стримера в зависимости от параметров модели в виде.

(13).

Из уравнения (13) следует, что при уменьшении скорости точка ветвления смещается к началу координат. Тот же эффект наблюдается при увеличении коэффициента диффузии или напряженности электрического поля — рис. 2.

Интересной особенностью данной постановки задачи является то, что рассматривается ветвление трехмерного стримера — рис. 2, а не плоского стримера или, что важно, не коническое раскрытие стримера, как в работах [21−23]. Ранее этот вопрос обсуждался в работе [29], где была выведена приближенная модель разделения головки стримера. Линейная теория устойчивости поверхности стримера с учетом токов смещения развита в [30]. Численные модели ветвления стримеров были развиты в работах [18−28] и других.