Динамика релятивистских частиц

Движение релятивистских частиц в гравитационном поле в общем случае описывается уравнением.

(10).

— символы Кристоффеля второго рода. Символы Кристоффеля вычисляются в метрике (2) согласно.

(11).

Здесь индексы 0,1,2,3 соответствуют координатам .

Определим компоненты скорости согласно [27].

(12).

Здесь индексы.

Как известно, при движении частицы в постоянном поле сохраняется полная энергия [27].

(13).

гравитационный окружность сингулярность Система уравнений (10) решалась численно в работах [1, 6]. Для нахождения устойчивых орбит начальные данные задавались исходя из решения аналогичной задачи в метрике Шварцшильда. Как известно, радиус ближайшей к центру устойчивой круговой орбит в метрике Шварцшильда и ее момент определяются величиной гравитационного радиуса,, а энергия частицы на такой орбите не зависит от геометрических параметров, имеем [27]:

(14).

Здесь — масса частицы. Траектории частицы представляют собой навитые на центральное ядро кривые сильно вытянутые в плоскости ортогональной оси симметрии системы. Частица в своем движении удаляется от центра на значительно расстояние. Энергия частицы сохраняется в численных расчетах с точностью, а по величине превосходит энергию на устойчивых круговых орбитах в метрике Шварцшильда вычисленной согласно (14). Скорость частицы достигает величины [1].

В отличие от классической ограниченной задачи трех тел [33−35], в которой для упрощения задачи необходимо осуществить переход в неинерциальную систему координат, метрика (2) изначально является статической, а используемая система координат не является инерциальной по определению.

Более того, как это следует из выражений (7), у метрики Зильберштейна [10] нет нерелятивистского предела, поскольку потенциалы этой метрики содержат сингулярности. В метрике же (9), содержащей логарифмическое слагаемое, потенциалы имеют один порядок величины. Поэтому переход к теории Ньютона является проблематичным в указанных метриках. Тем не менее, такой переход был построен в [6] путем формального разложения уравнений по малому параметру .

Рассмотрим уравнения движения (10) c коэффициентами аффинной связности (11), в общем случае имеем:

(15).

Здесь. Построим формальное разложение уравнений (15) по малому параметру, в первом приближении имеем.

(16).

В нерелятивистской теории необходимо положить в уравнениях (16), а все тройные произведения положить равными нулю. В результате этих упрощений находим систему уравнений, описывающих динамику частицы во внешнем гравитационном поле в теории Ньютона.

(17).

Здесь мы можем восстановить размерность времени, полагая и учесть, что в нерелятивистском случае потенциал в (17) сводится к выражению, где — потенциал в теории гравитации Ньютона. Учитывая, что последнее уравнение (17) имеет первый интеграл, находим окончательно.

(18).

В классической механике систему уравнений (18) упрощают, оставляя только первое и последнее уравнения.

(19).

Таким образом, мы показали, что система уравнений (16), описывающих динамику релятивистских частиц в метрике (2) может быть сведена к стандартной модели классической механики (16), описывающей динамику нерелятивистских частиц в центрально-симметрическом поле. Однако при этом метрика (2) с потенциалами (6), (7) или (9) не сводится к галилеевой метрике, что обусловлено наличием сингулярностей [6, 12].

Основное свойство метрики (2) заключается в том, что система тел представляется как статическая система, что достигается за счет релятивистских эффектов, которые обеспечиваются вторым потенциалом системы (5), не имеющим аналогов в теории Ньютона. Используя это свойство метрики (2), можно сформулировать ограниченную задачу тел как движение одного тела в статической системе тел, обладающей, например, потенциалами (6). В этом случае постановка ограниченной задачи для тел в теории тяготения Ньютона сводится к решению системы уравнений (18) с потенциалом в форме (6).

Рассмотрим противоположный случай, когда [5]. Это, в частности, выполняется в случае системы состоящей из большого числа частиц, обладающих логарифмическим потенциалом [36]. В первом приближении положим в системе уравнений (15), тогда получим.

(20).

Здесь М — момент импульса частицы. Первое уравнение (20) может быть проинтегрировано, в результате находим. Отметим, что в частном случае движения в плоскости система уравнений (18) при замене переменных сводится к модели, описывающей плоское движение в 6D [36].

Рассмотрим решение второго уравнения (5), содержащее особенностей логарифмического типа [5].

(21).

При заданном потенциале (21) система уравнений (20) может быть решена численно [5]. Для отображения траектории движения введем координаты. На рис. 1 приведены типичные траектории движения релятивистских частиц в метрике (2) с потенциалами (20), вычисленные при начальных данных:

Рис. 1. Линии уровня потенциала системы при распределении особенностей логарифмического типа на окружности (вверху, слева) и траектории частиц в метрике (2), полученные путем численного решения системы уравнений (20) с потенциалом (21).

Траектория движения в логарифмическом потенциале (10) выглядит как тор покрытый игами — нижний левый рис. 1. В плоскости траектория выглядит как клубок спутанных ниток — верхний правый рис. 1, что является основным признаком хаотического поведения.

На рис. 2 представлены линии уровня и траектории движения релятивистских частиц в метрике (2) с потенциалами (6), вычисленные при начальных данных:

Для отображения траектории движения введены новые координаты. В этом случае, не смотря на большое число частиц, траектория не выглядит хаотической, что объясняется регулярность распределения сингулярностей одинаковой массы.