Уравнения Янга-Миллса с группой симметрии SU (2)

В метрике Минковского и при отсутствии тока уравнения Янга-Миллса с группой симметрии SU(2) принимают особенно простой вид, что равносильно.

(7).

Здесь — константа связи, — единичный антисимметричный тензор третьего ранга.

Динамическая модель [19] следует из (7), если мы положим.

.

где — ортогональная матрица. Тогда система уравнений (7) приводится к виду.

(8).

Основные свойства системы уравнений (7) были изучены в работах [19−20] и других. Было установлено наличие областей стохастичности в фазовом пространстве динамической системы (7). Обзор результатов, полученных путем численного интегрирования системы уравнений (8), содержится в работе [17].

Уравнения Янга-Миллса с группой симметрии SU (3)

В случае SU(3) симметрии уравнения Янга-Миллса приводятся к виду [4, 10−18, 27−29].

(9).

Здесь — цветовые индексы (число цветовых полей равно восьми); - структурные константы калибровочной группы SU(3).

Проблему моделирования можно упростить, рассматривая некоторые средние параметры [10−13]. Усредняя лагранжиан системы, находим лагранжиан новой модели и систему динамических уравнений [10].

(10).

Здесь — цветовые индексы, по повторяющимся индексам осуществляется суммирование, — параметры модели.

Рассмотрим задачу о распаде начального состояния в системе (10) в плоскости, в ограниченной области пространства. Зададим все функции в начальный момент времени в виде, а их производные по времени равными нулю:

(11).

Параметры системы зададим в виде [11]:

.

Для удобства отображения данных введем обозначения Тогда в начальный момент времени имеем.

(12).

Задача (10)-(12) была исследована численными методами в работе [17]. Был обнаружен своеобразный механизм развития турбулентности, при котором есть две взаимодействующих подсистемы, в одной из которых преобладают крупномасштабные и низкочастотные моды колебаний, а в другой — высокочастотные колебания с малой длиной волны. Отметим, что такой механизм развития турбулентности является характерным в случае гидродинамической турбулентности. Однако есть и существенное различие между двумя механизмами турбулентности заключающееся в том, что в системе (10) нет турбулентной диффузии, поэтому цвета не перемешиваются до однородного состояния, но каждый цвет существует индивидуально в любом режиме колебаний [17]. Некоторые приложения модели (10) даны в работах [10−17, 27−29].