Стационарные состояния квантовых и классических систем

Покажем, что для любой квантовой или классической системы, обладающей центральной симметрией и заданной энергией, существует такая метрика, что действие системы будет связано с некоторым решением уравнения (7). В случае линейного уравнения состояния доказательство было получено в явно виде — уравнение (17). В случае стационарных состояний действие системы можно представить в виде. Используя первое уравнение (11) и уравнение (22), находим.

(27).

Выразим из первого уравнения и подставим во второе, тогда получим.

(28).

Очевидно, что решения уравнения (28) при всех вещественных значениях параметров и метрики определены в комплексной плоскости. Действительно, уравнение (28) можно представить в виде.

(29).

Отсюда следует, что функция действия в общем случае либо является комплексной, либо движение ограничено условием.

(30).

Поскольку же метрика допускает любые движения, то отсюда следует, что функция действия является комплексной. Разрешая уравнение (29), находим в явном виде зависимость действия стационарных систем от метрики окружающего пространства.

(31).

Здесь логарифмическая функция определена в комплексной плоскости, — произвольная постоянная.

В случае решение уравнения (29) имеет вид.

(32).

Полученные зависимости (31)-(32) решают поставленную задачу. Таким образом, мы доказали, что действие любой механической системы — классической или квантовой, находящейся в стационарном состоянии, зависит от параметров, характеризующих движение и от метрики окружающего пространства. Следовательно, для каждого типа движения существует такое уравнение состояния, что движение полностью определяется метрикой и параметрами движения — энергией и угловым моментом, что и требовалось доказать.

На рис. 1 представлена зависимость от параметров при заданных значениях. Основной вывод, который следует из анализа выражения (31) и данных на рис. 1, это разделение действия бозонов и фермионов «стеной», имеющей особенность .

Рис. 1. Зависимость от параметров при заданном значении .

Отметим, что изменение действия вблизи некоторых особых линий происходит скачком, но оно не связано с изменением метрики, а обусловлено только изменением энергии системы. Эти скачки отчетливо наблюдаются на правом нижнем рис. 1, где отображена поверхность фазы действия. Следовательно, в природе существует такое движение фермионов и бозонов, при котором действие изменяется скачком. Такого типа процессы, как известно, называются квантовыми, а само их наличие приводит к квантовой механике.