Волновое уравнение в 5-мерном пространстве и квантовая механика

Для описания движения материи с учетом ее волновых свойств, предположим, что уравнение 5-эйконала (1), как и аналогичное уравнение геометрической оптики, является следствием волнового уравнения в 5-мерном пространстве. Это уравнение в общем случае можно записать в виде:

(21).

Здесь — определитель метрического тензора , — волновая функция, описывающая, согласно (21), безмассовое скалярное поле в пятимерном пространстве.

Отметим, что в работе /12/ в правой части уравнения (21) фигурирует член, пропорциональный затравочной массе. Такое слагаемое в настоящей теории является излишним, так как скалярное поле приобретает массу в четырехмерном пространстве по механизму захвата материи, описанному в той же работе /12/. Действительно, в плоском пространстве в отсутствии внешних полей метрический тензор, согласно выражению (2), имеет вид диагональной матрицы с диагональю и с определителем .

В этом случае уравнение (21) существенно упрощается, в результате находим.

(22).

Рассмотрим решение уравнения (22), которое описывает скопление материи вблизи четырехмерной гиперповерхности в 5-мерном пространстве (аналогом такого скопления в трехмерном пространстве является стенка мыльного пузыря):

(23).

Подставляя выражение (23) в уравнение (22), получим окончательно.

(24).

Таким образом, в случае плоского пространства и в отсутствии внешних полей уравнение (21) приводится в четырехмерном пространстве к виду уравнения Клейна-Гордона.

Уравнение (24) интересно тем, что из него, путем простого обобщения, можно вывести все основные модели квантовой механики /16/, включая уравнение Дирака, а в нерелятивистском случае это уравнение сводится к уравнению Шредингера.

Отметим, что если пятая координата является времени-подобной, то материя в форме безмассового скалярного поля может накапливаться вблизи гиперповерхности. С другой стороны, в работе /12/ было показано, что в метрике (5) материя в форме скалярного поля также может накапливаться вблизи гиперповерхности, хотя в этом случае пятая координата является пространственно-подобной.

Рассмотрим поведение решений уравнения (21) в исследованной выше метрике (11). Чтобы вычислить контравариантный тензор, используем общее выражение в форме /6/.

(25).

Вычисляя контравариантные компоненты четырехмерного метрического тензора и векторного потенциала, согласно (9), находим, что.

(26).

Отсюда, вычисляя контравариантный тензор по уравнению (25), получим.

(27).

Здесь обозначено. Отметим, что контравариантные компоненты векторного потенциала и метрического тензора в 4-х и 5-мерном пространстве, пропорциональные параметру а, имеют особенность в точке, что соответствует гравитационному радиусу. Определитель метрического тензора равен обратной величине определителя контравариантного тензора, который легко вычисляется для матрицы (27), имеем в результате (см. /7/).

(28).

Далее заметим, что в исследуемой метрике, зависящей только от радиальной координаты, выполняется следующее соотношение.

(29).

С учетом выражений (27)-(29) запишем волновое уравнение (21) в виде.

(30).

Отметим, что, согласно (28)-(29), последнее слагаемое в уравнении (30) имеет порядок. Следовательно, это слагаемое можно отбросить в задачах, характерный масштаб которых значительно меньше, чем максимальный масштаб из таблицы 1.

пространство метрический тензор материя.