Обзор экономико-математических моделей оптимизации производства

• — Общие понятия оптимизации (задачи)
• — Общее постановка задачи линейного программирования
• — Производственная задача

Временем рождения линейного программирования принято считать 1939 г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича «Математические методы организации и планирования производства». Поскольку методы, изложенные Л. В. Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л. В. Канторовича осталась почти не замеченной. Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение линейным программированием, вызвавшее в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л. В. Канторович и американец профессор Т. Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за «вклад в разработку теории и оптимального использования ресурсов в экономике». Было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.

Американский математик А. Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в течении пяти шести лет получили грандиозное распространение в мире, и имена Купманса и Данцига стали повсюду широко известны. Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам линейного программирования.

На практике постоянно встречаются такие ситуации, когда достичь какого-то результата можно не одним, а многими различными способами. В подобной ситуации может оказаться и отдельно взятый человек, например, когда он решает вопрос о распределении своих расходов, и целое предприятие или даже отрасль, если необходимо определить, как использовать имеющиеся в их распоряжении ресурсы, чтобы добиться максимального выхода продукции и, наконец, народное хозяйство в целом. Естественно, при большом количестве решений должно быть выбрано наилучшее.

Успешность решения подавляющего большинства экономических задач зависит от наивыгоднейшего способа использования ресурсов. И от того, как будут распределены эти, как правило, ограниченные ресурсы, будет зависеть конечный результат деятельности.

Суть методов оптимизации (оптимального программирования) заключается в том, чтобы, исходя из наличия определенных ресурсов, выбрать такой способ их использования (распределения), при котором будет обеспечен максимум или минимум интересующего показателя.

Оптимизация в информатике — модификация системы для улучшения её эффективности. Система может быть одиночной компьютерной программой набором компьютеров или даже целой сетью, такой как Интернет.

Оптимизация — в математике, информатике и исследование операций задач нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных или нелинейных равенств и неравенств.

Теорию и методы решения задачи оптимизации изучает математическое программирование.

Математическое программирование — это область математики, разрабатывающая теорию, численные методы решения многомерных задач с ограничениями. В отличие от классической математики, математическое программирование занимается математическими методами решения задач нахождения наилучших вариантов из всех возможных.

Линейное программирование — раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования. Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений.

Любое предприятие производит продукты, затрачивая ресурсы. Продукт — результат производства, то, что выходит из производства. Это может быть материальный продукт (хлеб, машина, кирпич, дом, книга, видеокассета), либо услуга (транспортная, парикмахерская, предоставление в аренду жилья). Ресурс — то, что используется в производстве (труд, земля, сырье, техника). Причем ресурс — это не сам человек, земля или машина, а время использования их в производстве. Продукты и ресурсы в совокупности называются ингредиентами, под которыми понимается все, что имеет отношение к производству: ресурсы входят в производство, затрачиваются, продукты выходят из производства, создаются, порождаются.

Технологический способ — это обособленная, выделенная часть производства, использующая определенные ресурсы и производящая определенные продукты. Каждый технологический способ имеет идентификатор (имя или номер) и единицу измерения его мощности (интенсивности). Технологическим способом может быть отдельная технологическая линия, напр., конвейер по сборке автомашин, но это необязательно. Универсальное оборудование может выпускать различную продукцию, тогда технологическим способом будет производство на данном оборудовании какого-либо продукта, или целой группы продуктов, если они производятся вместе.

Не может быть так, чтобы некоторым технологическим способом производилась продукция и не затрачивались никакие ресурсы.

С каждым технологическим способом связан интерес человека, занятого планированием. Две противоположные постановки проблемы планирования:

• а) при заданном наличии ресурсов произвести как можно больше продукции;
• б) произвести заданное количество продуктов при наименьшем расходе ресурсов.

В просторечии задачу производства иногда формулируют следующим образом: произвести как можно больше продукции при наименьшем расходе ресурсов (максимизировать продукцию при минимальных издержках). Такая постановка проблемы невозможна, т. к. можно максимизировать или минимизировать только одну величину при ограничениях на остальные.

В канонической форме задача является задачей на максимум (минимум) некоторой линейной функции F, ее система ограничений состоит только из равенств (уравнений). При этом переменные задачи х₁, х₂,…, х_nявляются неотрицательными:

Линейная производственная задача - это задача о рациональном использовании имеющихся ресурсов, для решения которой применяют методы линейного программирования. В общем виде задача может быть сформулирована следующим образом:

Предположим, предприятие или цех может выпускать n видов продукции, используя m видов ресурсов. При этом известно количество каждого вида ресурса, расход каждого вида ресурса на выпуск каждого вида продукции, прибыль, получаемая с единицы выпущенной продукции. Требуется составить такой план производства продукции, при котором прибыль, получаемая предприятием, была бы наибольшей.

Примем следующие обозначения:

Таким образом, математическая модель задачи состоит в том, чтобы найти производственную программу максимизирующую прибыль:

max.

При этом, какова бы ни была производственная программа, ее компоненты должны удовлетворять условию, что суммарное использование данного вида ресурса, при производстве всех видов продукции не должно превышать имеющееся количество данного вида ресурса, т. е.

где.

А так как компоненты программы - количество изделий, то они не могут быть выражены отрицательными числами, следовательно, добавляется еще одно условие:

где.

Моделирование затрат. Оптимизация производства Будем считать, что производственная система функционирует в условиях совершенной конкуренции. Это означает, что цены на товары - факторы производства - определяются рыночными условиями и не могут изменяться производителем. Другими словами, цены труда, капитальных ресурсов и продукции являются экзогенными переменными в условии рассматриваемой задачи.

Назовем затратами производства стоимость набора факторов производства. Для определения затрат необходимо знать стоимость единицы труда W и стоимость единицы капитальных ресурсов R. Стоимость C набора факторов производства, состоящего из K единиц капитала и L единиц труда, находится по формуле.

C = R * K+ W *L. (3.1).

Пусть цена единицы продукта равна P. Количество (объем) произведенного товара - Y (K, L). Доходом R или - выручкой производителя за некоторый период времени назовем стоимость произведенного продукта.

R = P*Y (K, L). (3.2).

Прибыль производителя П равна разности между его доходом R и затратами C:

П=К-С=P*Y (K, L)-R*K-W*L. (3.3).

Нахождение оптимального производственного процесса возможно только при выборе критерия оптимальности или цели производственной системы. В неоклассической экономике полагается, что цель производителя заключается в максимизации прибыли путем наилучшего выбора набора используемых факторов производства.

Возможны две постановки задачи оптимизации производственного процесса:

• 1) максимизация выпуска продукции при заданном уровне затрат;
• 2) минимизация затрат производства при заданном уровне выпуска продукции.

Указанные задачи оптимизации являются двойственными и дают одинаковое оптимальное решение.

Рассмотрим более подробно вопросы оптимального поведения производителя и методы минимизации затрат в производственных процессах.