Анализ системы управления предприятием

Моделирование системы управления предприятием

Целью исследования структуры СУ является обнаружение критических структурных свойств, которые приводят к снижению эффективности функционирования СУ. Исследование проводят путем сравнительного структурного анализа. При сравнении в качестве эталона используют прототип СУ или стандартные структуры управления с заранее известными свойствами, например, такие как централизованная, иерархическая, несвязная, последовательная, кольцевая и др. Для исследования структуры в данном проекте использовался графоаналитический (теоретико-графовый) метод, который основан на теории графов.

Графом системы управления (ГСУ) называется граф, в котором множество вершин Х интерпретирует множество элементов СУ, а множество ребер U — множество связей между ними. Диаграмма графа построена в виде эллипсов с номерами внутри и соединяющими их дугами.

Матрицей инцидентности орграфа называют матрицу B=||b_ij||_nЧm, где b_ij=1, если вершина i смежна вершине j и направлена от нее, b_ij=-1, если вершина i смежна вершине j и направлена к ней и b_ij=0 в противном случае. Используя матрицу инцидентности можно определить полустепень исхода вершины i (сумма положительных единицы в строке i) и полустепень захода вершины (сумма отрицательные единицы в строке i). Важным свойством матрицы инцидентности является то, что даже вычеркнув одну строку, можно адекватно представить граф.

Матрицей основных контуров называется матрица С=||ET||, состоящая из подматрицы остовного дерева Т и подматрицы Е, порядок которой равен числу хорд остовного дерева.

Для построения данной матрицы необходимо построить остовное дерево. Основным деревом называется орграф, не имеющий контуров и полуконтуров. Контур — это замкнутая последовательность связанных элементов системы управления, в которой каждый предыдущий элемент является источником управляющих сигналов для следующего. Полуконтур — незамкнутая последовательность связанных элементов, в которой каждый предыдущий элемент является источником управляющих сигналов для следующего.

Единичная матрица по диагонали содержит единицы. Элемент подматрицы Т t_ij=1, если дуга остовного дерева входит в контур, образованный хордой i и совпадает с направлением обхода контура.

Элемент tij=-1, если дуга j входит в контур, образованный хордой i, но направлена по направлению, противоположному направлению обхода, в ином случае — элемент tij=0.

Матрицей расстояний орграфа называется матрица R, в которой элемент r_ij равен длине кратчайшего пути из вершины i в вершину j. Если такового пути нет, то соответствующий элемент равен бесконечности.

Матрица расстояний предназначена для определения надежности связей орграфа, следовательно, для надежности связей систем управления. Чем больше длина пути, тем меньше его надежность. Бесконечные связи показывают пары элементов систему управления, которые между собой не связаны.

Матрицей достижимости называется матрица D=||d_ij||_nЧm, в которой d_ij=1, если существует путь из вершины n в вершину m. Иначе этот элемент будет равняться 0. Матрицу достижимости можно построить используя матрицу расстояний, заменив в ней все знаки бесконечности на нули, а все числовые значения на единицы. После составления этой матрицы можно определить сильную компоненту графа.

Матрицей обхода называется матрица S=||s_ij||_nЧm, в которой s_ij равен длине наиболее длинного пути из вершины i в вершину j, если пути нет, s_ij=0.

Матрица обходов позволяет выявить предельную длину связей между элементами, то есть позволяет определить самые наихудшие способы искажения передаваемой информации. Так, мы видим, что наибольший путь передачи информации между секретарем и специалистами бухгалтерии и между юрисконсультом и ими же. Также вероятно искажение информации при передаче её мастерами в бухгалтерию. Однако необходимость в передаче такого рода сведений случается редко.

Для сравнения структурных свойств различных графов определяют их числовые характеристики (инварианты), которые выражаются числами или системами чисел, характеризуют определенные свойства и являются одинаковыми для изоморфных графов. Простейшими инвариантами графа являются числа его вершин n и дуг m.

Полустепенью исхода вершины называется число инцидентных дуг, исходящих из вершины, а полустепенью захода — число инцидентных дуг, входящих в вершину. Эти полустепени можно найти, используя матрицу смежности. Определили эти величины.

Вершину ГСУ, обладающую максимальной степенью можно рассматривать как наиболее загруженный (критический) элемент системы управления. Директора (1) можно интерпретировать, как наиболее загруженный элемент в структуре. Также сильно загружены исполнительный директор и главный бухгалтер (4), но их можно считать менее загруженными, чем директора. Остальные элементы являются слабо загруженными.

Диаметр L определяется как наибольшая длина кратчайшего пути в графе. В системе управления ООО «Креатив» L=4.

Ширина Н определяется как длина максимальной антицепи, то есть упорядоченной последовательности попарно несмежных вершин, длина антицепи на единицу меньше числа ее элементов. Ширина дает нижнюю оценку числа каналов управления. В системе ООО «Креатив» Н=7, а критическими вершинами являются .

Контуры управления определяют наиболее устойчивые, охваченные обратной связью функциональные подструктуры системы управления. Считается, что эффективность функционирования системы управления увеличивается с ростом числа контуров. Общее число контуров в ориентированном графе может быть значительным и может оцениваться как степенная функция от числа его вершин. Однако большая часть контуров является линейно зависимой. Число основных контуров определяется формулой.

Однако увеличение числа контуров может привести и к неприятным последствиям, например, к уменьшению степени централизации управления и снижению эффективности управления.

Длина путей между парами вершин характеризует длину канала управления между соответствующими вершинами. С увеличением длины канала увеличивается вероятность искажения передаваемой информации.

Длина пути между парами вершин измеряется числом дуг, составляющих путь. Для характеристики путей используют матрицу расстояний, достижимостей и обхода.

Максимальную длину равную 4 имеют пути между вершинами, ,, ,, ,, , .

Матрица достижимости показывает, что все вершины взаимно достижимы, значит, граф системы управления является сильно связным подграфом.

Из матрицы обхода следует, что наиболее длинный путь между любой парой вершин не превышает 7.

Характеристический многочлен представляет собой один из инвариантов графа, который позволяет сравнивать свойства различных графов по числу и степени вершины.

Ч определяется следующим выражением:

Для системы управления «Конструкторский отдел» характеристический многочлен имеет вид:

Связность является свойством, которое определяет такие критические особенности ГСУ как наличие несвязных компонент, висячих вершин и т. д. Связностью называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.

В нашем случае, так как для получения несвязного графа достаточно удалить всего две вершины.

Сильно связный подграф представляет собой подграф ГСУ, в котором любая пара вершин взаимно достижима. ГСУ может содержать несколько сильных компонент, которые выделяются с помощью алгоритма топологической декомпозиции структуры. Данная система управления является сильно связной, так как состоит из 1 сильной компоненты.

Если ГСУ связен, выполняется следующее условие.

Вершинную базу представляет собой минимальное по мощности подмножество вершин, из которого достижимы все вершины ГСУ. Качество управления системы управления характеризует удельная мощность вершинной базы в, которая определяется по формуле.

В данном случае, система управления — это одна сильная компонента. Удельная мощность вершинной базы имеет значение.

Величина удельной мощности достаточно высока, значит, и высоко качество управления в системе управления.

Структурная избыточность система управления характеризует превышение общего числа связей над минимально необходимым для обеспечения связности структуры.

Величину можно определить по формуле.

Для системы управления с минимальной структурной избыточностью, максимальную избыточность имеют структуры типа полного графа, для несвязных структур <0. Для системы управления ООО «Креатив» структурная избыточность имеет значение.

Полученный показатель означает, что данная система управления приближена к системе с минимальной структурной избыточностью. Это значит, что «ничего лишнего» нет.

Структурная компактность отражает близость элементов структуры системы управления между собой и оценивается выражением.

Для того, чтобы результат вычислений по формуле был определен, элементам матрицы расстояний R, равным бесконечности, присваивается конечная величина п, то есть вместо r_ij=? полагают r_ij=n. Максимальную структурную компактность =1 при этом имеют структуры систем управления полного типа, а минимальную =0 — структуры типа пустого графа. Структурная компактность систему управления «Конструкторский отдел» равна.

Полученный показатель означает, что система является компактной, а значит, все элементы довольно тесно взаимосвязаны.

Неравномерность связей в структуре характеризует однородность системы управления. Однородные структуры управления при прочих равных показателях обладает меньшими затратами на организацию управления и эксплуатацию систем управления. Неравномерность связей системы управления характеризуется выражением или нормированным выражением, где — средняя степень вершины системы управления, — ее среднее квадратическое отклонение. Указанные параметры определяются формулами.

Для однородных структур типа полного графа или контура управления неравномерность связей имеет нормированное значение, неравномерность связей системы управления имеет приближенное значение или нормированное значение .

Для системы управления ООО «Креатив» величина неравномерности связей имеет значение.

Данный показатель говорит о том, что данная система имеет вид полного графа или контура.

Степень централизации структуры управления характеризует близость ее типологии к стандартной централизованной структуре СУ.

Индекс централизации определятся только для связных неориентированных графов. Так как наш ГСУ задан как орграф, то мы преобразуем его в неориентированный орграф путем удаления кратных ребер и дезориентации дуг.

Степень централизации определяется по следующей формуле:

Таким образом, для системы управления ООО «Креатив» степень централизации приобретает значение.

При исследовании элементов системы управления важно определить ранги элементов. Ранги определяются номером уровня иерархии на которой расположен элемент. Наивысший ранг элемента равен 0. Задача расположения по уровням иерархии называется задачей ранжирования. Ранг определяется номером уровня иерархии, на котором расположен элемент. Ранжировать граф возможно, только если он является бесконтурным, поэтому преобразуем граф в бесконтурный.

Алгоритм ранжирования следующий:

• 1. В подмножество вершин нулевого уровня включается множество вершин, у которых множество левых инцидентности пусто, т. е. в эти вершины никогда дуга не входит;
• 2. В подмножество вершин первого уровня включаются все вершины, у которых множество левых инцидентности принадлежит нулевому уровню или те вершины, в которые ведут дуги из нулевого уровня;
• 3. В подмножество вершин второго уровня включаются те вершины, у которых множество левых инцидентности принадлежит либо нулевому.

Сравнительная оценка параметров системы управления

Анализ системы управления ООО «Креатив» позволил выявить, что данное предприятие более близко к иерархической (древовидной) структуре управления. Сопоставление со стандартными структурами управления проводилось по следующим параметра:

• — связность структуры;
• — удельная мощность вершинной базы;
• — структурная компактность;
• — структурная избыточность;
• — неравномерность связей в структуре;
• — степень централизации структуры.