Методы нахождения неопределенных интегралов
Положим, и тогда при любом значении. Из уравнения находим: Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Подставив последовательно, запишем данный ряд в виде: Неопределенный интеграл дифференциальный Ответ. Г. Подставим значения и в заданное уравнение. Контрольная работа по высшей математике. Ситуационная (практическая) задача № 2. Ситуационная (практическая) задача № 1. Ответ… Читать ещё >
Методы нахождения неопределенных интегралов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Контрольная работа по высшей математике
Ситуационная (практическая) задача № 1
Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.
Решение.
Подставив последовательно, запишем данный ряд в виде:
Так как среди коэффициентов ряда нет коэффициентов равных нулю, находим радиус сходимости ряда по формуле
где ,
Следовательно, ряд сходится при
Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.
При данный ряд принимает вид. Сравним ряд с гармоническим рядом. Применим второй признак сравнения.
Так как полученный предел конечен и не равен нулю, а гармонический ряд расходится, то ряд также расходится по второму признаку сравнения положительных рядов.
При данный ряд принимает вид .
Последний ряд является знакочередующим рядом. По признаку Лейбница знакопеременный ряд сходится, если выполняются два условия:
1. 2.
т. е.
Выполняются два условия сходимости знакочередующего ряда, т. е. по признаку Лейбница ряд сходится. Но знакопеременный ряд сходится условно, так как расходится ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда .
Ответ. Область сходимости данного ряда
Ситуационная (практическая) задача № 2
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию
Решение.
Дано дифференциальное уравнение 1 порядка. Решаем его по методу Бернулли.
Заменим функцию произведением двух неизвестных функций и, положим. Тогда. Подстановка и в уравнение дает .
Преобразуем это уравнение:
Положим, и тогда при любом значении. Из уравнения находим:
При найденном значении линейное уравнение принимает вид:. Подставляем значение в уравнение, получим Зная, что и, находим
Проверка.
Подставим значения и в заданное уравнение
Получили тождество, следовательно, найденное решение уравнения правильно.
Находим частное решение при .
— частное решение при
Ответ: — общее решение уравнения.
— частное решение при
Тестовые задания
1. Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределённый интеграл
А., Б., В., Г. .
Ответ. А.
2. Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределённый интеграл
А., Б. ,
В. Г.
Ответ. А.
3. Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределённый интеграл
А., Б.
В. Г.
неопределенный интеграл дифференциальный Ответ. Г.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
.
А. 3/2; Б. 125/6; В. 9/2; Г. 9
Ответ. В. 9/2
5. Вычислить
А., Б., В., Г.
Ответ. В.
6. Выберите сходящийся ряд
А., Б., В. , Г.
Ответ. А. ,
7. Выберите абсолютно сходящийся ряд.
А., Б., В., Г.
Ответ. Г.
8. В точке ряд
А. расходится, Б. сходится абсолютно, В. сходится условно, Г. может, как сходиться, так и расходиться.
Ответ. А. расходится
9. При каком значении параметра функция является решением уравнения
А., Б., В., Г.
Ответ. А.
10. Найти общее решение уравнения
А., Б., В., Г. .
Ответ. А.