Стабилизация решений волнового уравнения в областях с бесконечными границами

Пусть Q С Rn, п > 2 — неограниченная область с границей Г € С2. Рассмотрим первую смешанную задачу для волнового уравнения ua (t, х) — A u{t, х) = 0, (t, x) eQ = (t> 0) х П, (0.1) u (0,x) = f (x), ut (0,x)=g (x), (0.2) u (t, x) r = 0, i>0. (0.3).

Начальные функции будем предполагать вещественнозначными, гладкими в iI, согласованными с граничным условием (0.3) и обладающими конечным интегралом.

I (}х) + |V/(a-)|2 + g2{x))dx < оо. (0.4) о.

Известно, что для решения задачи (0.1)—(0.3) справедлив закон сохранения энергии.

En{t) = f |grad M (i, a-)|2cte = Bn (0), t> 0, (0.5) n grad u (t, x) = (ut (t, x), Wxu (t, x)) G Rn+1.

Одним из основных вопросов, изучаемых в диссертации, является вопрос об убывании локальной энергии решения задачи (0.1)—(0.3), т. е. о справедливости соотношения.

Ew (t) = J |grad u (t, x)2dx ->• 0, t oo, (0.6) zv для произвольной ограниченной области Q' С О.

Сформулируем известные результаты. Рассмотрим вначале случай ограниченной Г. В [1] показано, что при п = 3 и произвольной ограниченной Г локальная энергия решений задачи (0.1)—(0.3) с финитными начальными функциями стремится к нулю. В монографии [2] этот результат установлен для всех п > 2.

Если поверхность Г неограниченна, то убывание локальной энергии получено при дополнительных условиях на Г. А именно, в работах [3] (при п > 3) и [4] (при п = 2) соотношение (0.6) доказано в предположении, что поверхность Г звездна относительно начала координат, т. е. п и, х) — J2 VjXj <0, хег, (0.7) i=i где (и 1,., ип) = и — единичный вектор внешней относительно Q нормали к Г, а начальные функции принадлежат весовому пространству Соболева. В [5] исследован случай, когда условие (0.7) выполнено вне некоторого круга (п = 2). В предположении, что граница Г приближается к сторонам угла V со степенной скоростью, т. е. dist (x, F) < С{ +г)-{Ш хеГ, г — |х|, (0.8) s > о, для решений задачи (0.1)—(0.3) доказано убывание локальной энергии. Из результатов работы [6], посвященной построению операторов рассеяния, следует, что соотношение (0.6) для решений задачи (0.1)—(0.3) выполнено в классе областей О, С Rn, п> 2, таких, что v, x)<0, xem{r>Ro}, (0.9) и удовлетворяющих условию dist (x, V) < С{ 1 + г) Й, х € Г, 0 < o < 1, где V — некоторый конус. В работе [7] установлено, что при п > 2 соотношение (0.6) выполнено в областях, удовлетворяющих условию (0.7) без дополнительных условий на поведение поверхности Г на бесконечности. В работе [8] были рассмотрены области с незвездными границами. А именно, в [8] убывание локальной энергии решений задачи (0.1)—(0.3) получено для областей VL С Rn, п > 3, удовлетворяющих условиям.

71— 1 Y1 uix3 + uriXn <0, X € Г п {г > До}, (0.10).

3 = 1.

Y.U3X3> X егп{г > Но}, (0.11).

3 = 1 diam (ii П {xn = M" < CMa, M > О, С > 0. (0.12).

Обзор результатов в данном направлении содержится в [9] и [10].

Удобно изучать решения задачи (0.1)—(0.3) из энергетического класса. Для ограниченных областей этот класс решений определен в [11]. В § 1.1 диссертации определяется энергетический класс решений задачи (0.1)—(0.3) в случае неограниченной области II, т. е. функции u (t, x), t > 0, х е С1, такие, что u (t, x) е С ([0, +оо) — ut (t, x) е.

С ([0, +оо) — L2(ii)), удовлетворяющие соответствующему интегральному тождеству и закону сохранения энергии (0.5). В этом же параграфе доказаны существование и единственность такого решения.

Чтобы изучить поведение функции E^{t) при i —>¦ сю, представим решение задачи (0.1)—(0.3) в виде интеграла по спектральной мере соответствующего стационарного оператора.

Пусть L0 — минимальный оператор, порожденный в L2(I2) дифференциальным выражением —Л, L — самосопряженное расширение Lo, соответствующее однородному граничному условию Дирихле. Существование замыкания Ь0 и самосопряженного расширения L при Г? С2 устанавливается в § 1.2. Так как L неотрицателен, то o{L) = ap (L) U< Л < +оо, спектральное семейство ортогональных проекторов, соответствующее оператору L. В § 1.2 доказывается, что при всех f (x) € D{y/L) = W^i®), д{х) € Н = интеграл Бохнера-Стилтьеса оо u (t, х) = J eos y/t dE (X)f+ о г sin /~Xt ,. .

1 —j=~dE ()g (0.13) сходится в D (y/L) равномерно по t € [0, Т], а его производная по t представляется интегралом, сходящимся в Я равномерно по te [0,Т]. В лемме 1.2.1 показано, что определяемая соотношением (0.13) функция u (t, x) является обобщенным решением задачи (0.1)—(0.3) из энергетического класса.

Поведение функции Епри < оо определяется спектральными свойствами оператора Ь. Соответствующие утверждения доказаны в первой главе диссертации. Следующая теорема устанавливает, что стремление к нулю локальной энергии даже при финитных начальных функциях возможно лишь при спектральной непрерывности оператора Ь.

Теорема 1.^.1. Если ар (Ь) ^ 0, то существуют такие начальные функции /(ж) € д (х) € и ограниченная область П0 С Г2, что.

Ит ЕПо (1) > 0. (0.14) оо.

Изучим поведение при? —> оо временных средних локальной энергии.

1 Г.

— у ЕП'(Т)(1Т. о.

Теорема 1.3.2. Если оператор Ь спектрально непрерывен, то для любых начальных функций /(х) € И^Ч^)? ^ Ьг (^) «произвольной ограниченной области С Г2 выполнено соотношение I Е"{т)<1Т = 0. (0.15) о.

Теорема 1.3.2 усиливает результат работы [2], где показано, что в случае оР (Ь) = 0 для решения задачи (0.1)—(0.3) и произвольной ограниченной области С П выполнено равенство.

ИтЯП'(*)=0. (0.16).

Рассмотрим множества.

Ме = {? > 0: Еп>{г)>е},? > 0.

Из теоремыо1.3.2 следует, что, если оператор Ь спектрально непрерывен, /(х) € И¹ (П), д (х) е ¿-г (^) и О' С Г2 — произвольная ограниченная область, то для любых положительных чисел е и 6 существует положительное число Г0, такое, что тей (МЕ П[0,Т) <8Т, Т>Т0.

Отметим, что поведение при t оо временных средних от решений задачи Коши и второй смешанной задачи для гиперболических уравнений второго порядка в неограниченных областях (квазиасимптотика) изучалось в работах [12]—[14]. Обзор результатов в этом направлении содержится в [15].

Установим теперь достаточное условие стремления к нулю самой локальной энергии решения Для этого сузим класс спектрально непрерывных операторов Ь и будем рассматривать спектрально абсолютно непрерывные операторы. Подпространство Нас С Н называется подпространством абсолютной непрерывности оператора если функция (Е (Х)к, К) н абсолютно непрерывна по Л для всех /г? Нас (см., например, [16]). В случае Нас = Н оператор Ь называется спектрально абсолютно непрерывным, а его спектр сг (Ь) = аас (Ь) — абсолютно непрерывным. Подпространство Нас замкнуто в Я ([16], С. 640, Т. 1.5).

Теорема 1.4.1. Если оператор Ь спектрально абсолютно непрерывен, то для любых начальных функций ¡-(х) € Й¹^), д (х) € Ьг (^), «произвольной ограниченной области О,' С О, выполнено соотношение (0.6).

В главе 3 диссертации устанавливаются условия на область О, обеспечивающие спектральную непрерывность оператора Ь.

Известно, что при произвольной ограниченной Г оператор Ь спектрально непрерывен [17]. В случае неограниченной Г первый результат в этом направлении получен в работе «[17]. А именно, в работе [17] рассмотрен класс областей Г2, границы которых удовлетворяют условию е&bdquo-) < 0, хеГ, (0.17) где еп — координатный вектор оси Охп, и таких, что сИат (Г2 П {а-п < М}) < оо при всех М > 0. Для областей из этого класса, каждая из которых содержит некоторый полуцилиндр, в [17] доказана спектральная непрерывность Ь. Из результатов работы [18] следует, что Ь спектрально непрерывен, если поверхность Г звездна относительно начала координат, т. е. выполнено условие (0.7) (область в этом случае содержит конус). Нарушение условия (0.7) внутри некоторого шара не изменяет спектральной, непрерывности Ь ([5],[83]), а невыполнение (0.17) на сколь угодно малом участке Г может привести к появлению собственного значения у Ь [17]. В работе [19] был определен класс областей О, удовлетворяющих условиям (0.10) и (0.12). Для областей из этого класса в [19] доказана спектральная непрерывность оператора Ь. Исследованные в [19] области содержат некоторый параболоид и по минимальной скорости расширения на бесконечности занимают промежуточное положение между областями, удовлетворяющими условию (0.17) и областями со звездными границами (0.7). Подробный обзор результатов по спектральной непрерывности эллиптических операторов второго порядка содержится в [82].

В диссертации рассматриваются области, границы которых звездны относительно некоторого класса векторных полей.

Пусть <�р (х) — положительная квадратичная форма на Л&trade-. Будем счип тать, что <�р (х) =? 0 < «х < а2 <. < ат < ат+1 —. = ап — з=1.

1. Предположим также, что начало координат содержится в Я" .

Определение 0.1. Область называется областью класса Др, если.

Определение 0.2. Область О, называется областью класса Г)^, если существует число /?0 > 0, такое, что.

Геометрически условия (0.18) и (0.19) означают звездность поверхности Г (ГП {г > Я0}) относительно векторного поля У<^(ж). В частности, при 1 из (0.18) ((0.19)) следует звездность поверхности Г (Г П {г > Д0}) относительно начала координат. Классы областей Др были определены в работе [20], а классы Др — в работах [7], [21].

Теорема 3.3.1. Если п > 2 и О, е то оператор Ь спектрально непрерывен и его спектр заполняет всю положительную полуось.

Из теорем 1.3.2 и 3.3.1 следует стремление к нулю временных средних локальной энергии решений смешанной задачи для областей из классов V.

Теорема 3.4.1. Если п > 2 и О,? Др, то для любых начальных функций /(х) е д{х)? и произвольной ограниченной области О,' С & выполнено соотношение (0.15).

В четвертой главе диссертации устанавливаются условия на область П, обеспечивающие спектральную абсолютную непрерывность оператора Ь. о, хеТ.

0.18) и, 4<�р (х)) < 0, х е ГП {г > До}.

0.19).

Основным приемом спектрального анализа, позволяющим устанавливать спектральную абсолютную непрерывность оператора, является формула обращения Стилтьеса (см., например, [22], приложение 2, или [23], добавление 2). Впервые формула обращения Стилтьеса была применена > для исследования функции (Е (Х)к, Ь) н в случае обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на полуоси [24]. Позднее появилось соответствующее утверждение для операторнозначной функции Е (А), — оо < А < +оо (теорема Стоуна, см., например, [25], и [16], стр. 446—452). В работе [26] формула обращения Стилтьеса применялась при исследовании спектральной меры полуограниченного снизу оператора Шредингера в Ь2{Я3). Подобное изложение содержится в работе* [27] (см. также обзор результатов в этом направлении в монографии [28]). Результаты работы [27] были уточнены в [29], [30]. В работе [30], кроме того, были рассмотрены области Q, являющиеся внешностью компакта в R3. В работе [5] формула обращения Стилтьеса применена для изучения спектральной функции оператора Шредингера в двумерной области с бесконечной границей, удовлетворяющей условиям (0.8), (0.9). Работа [31] содержит формулировки теоремы Стилтьеса для спектральной функции абстрактного оператора и применение этих результатов в случае полигармонического оператора в L2(?2), гДе ^ — внешность компакта в Дпп> 2.

ОО.

Обозначим через R{z) = (zI-L)~l = f z = C+ir? {т = 0, f > о z.

0} — резольвенту оператора L. В диссертации используется следующая форма теоремы Стилтьеса.

Лемма 4.1.1. Пусть для любой функции h (x) G С°°(0) функция .

7/(0 = Иш ((Д (£ + гт) — Я (£ - ir))h, h) H т—>+и непрерывна при —со < C < +оо и при всех, А > 0 выполнено соотношение, а л.

Дт I ((Д (£ + ir) — - ir))h, h) HdC = I r)(C)dC. (0.20) о о.

Тогда оператор L спектрально абсолютно непрерывен.

Таким образом, доказательство спектральной абсолютной непрерывности оператора L сводится к обоснованию принципа предельного поглощения для первой краевой задачи для уравнения Гельмгольца.

Ау + к2у = Цх), хеП, (0.21) к — и> + щ, —оо < ш < +оо, ц, > 0, А — к2, уг = о, (0.22) т. е. к исследованию поведения решения задачи (0.21), (0.22) при, А —> А0 6 а (Ь) для Д е 6°°(П).

В четвертой главе диссертации устанавливаются условия на область обеспечивающие справедливость принципа предельного поглощения для задачи (0.21), (0.22). Приведем известные достаточные условия справедливости принципа предельного поглощения, не конкретизируя пространств, в которых изучается предел решения задачи (0.21), (0.22). В [32] показано, что принцип предельного поглощения выполнен при п > 2 и произвольной ограниченной Г. Если поверхность Г неограниченна, то справедливость принципа предельного поглощения доказана при дополнительных условиях на Г. А именно, в работах [5], [33], [34] принцип предельного поглощения обоснован в двумерном случае в предположении, что поверхность Г удовлетворяет условиям (0.8), (0.9). В работах [35], [36] изучался принцип предельного поглощения при п > 2 в областях, удовлетворяющих условию (0.9) и устанавливалось существование предела решения задачи (0.21), (0.22) при, А —> А0 € о (Ь) {0}. В работе [8] при п >2 для областей с незвездными границами, удовлетворяющим условиям (0.10), (0.12) (этот класс областей был определен в работе [19]) обосновывалось существование предела решения задачи (0.21), (0.22) при А-+Ао€а (Ь){0).

В четвертой главе диссертации изучаются спектральная абсолютная непрерывность оператора Ь и принцип предельного поглощения для задачи (0.21), (0.22) в классах областей, С Др, расширяющихся на бесконечности не быстрее некоторого параболоида. Вначале определим классы областей б, и в случае «1 = 1, полагая = и = Д^,. Пусть теперь, а < 1.

Определение 0.3. Область ЧЛ е Цр называется областью класса если, существует постоянная С > 0, такая, что т п.

Е х])ат> (0.23).

7 = 1 .7=771+1.

Определение 0.4. Область П е Д<, называется областью класса С?^, если существует постоянная С > 0, такая, что т п сх{? ж2)<*" ж € п П {г > До}. (0.24) j=l j=m+1.

Например, область.

О! = {х: [х +х)1ъ > 1 + Схх" } С В3, 0 < а < 1, С > О, принадлежит классу с (р = аж2 + ж2 + ж2, область.

0.2 = {х: х3 > 1 + С{х 2 + С Я3, принадлежит классу с = а (ж2 + Ж2) +?3. Классы областей и были определены в работах [7] и [37].

Теорема 4.5.1. Если п > 2 и О, 6 то оператор Ь спектрально абсолютно непрерывен.

Из теорем 1.4.1 и 4.5.1 следует убывание локальной энергии решений задачи (0.1)—(0.3) в областях из классов.

0 Теорема 4.5.2. Если п > 2 и О? то для любых /(ж) € И¹^), д (х) € Ь2(0) и произвольной ограниченной области О,' с выполнено соотношение (0.6).

Доказательство теоремы 4.5.1 основано на использовании леммы 4.1.1 и принципа предельного поглощения для областей из классов С^,.

Сформулируем вначале принцип предельного поглощения для задачи (0.21), (0.22) для областей из классов с с^ = 1.

Теорема 4.5.5. Пусть п > 2, а1 = 1"Г2е Тогда для любого.

N > 0 функция ь (х, к) удовлетворяет неравенству р

J (|"г — ШУ|2 |Угг-|2 + 2 ^ 2(?)йх < п Г С (Л0 I г2п21! гНЧх, = |Уг-|2 — |г>г|2, (0.25) {1т к > 0, к < Щ, д = 1 при п = 2 и д = 0 при п > 3, и равномерно непрерывна на К^ в норме С — произвольная ограниченная область. Для каждого и е (—сю, +оо) выполнено соотношение.

Ит \у (х, ш+ г/л) — у^х^ш)^^ =0, (0.26) где функция ь (х, ш) € И^^') является решением задачи.

Ау= к (х), хеП, (0.27) и|г = 0, (0.28) и удовлетворяет неравенству (0.25).

Отметим, что существование предела (0.26) в классе областей О е Су, = 1, при ш ф 0 следует из результатов работы [36].

Изучим вопрос о единственности решения предельной задачи (0-.27), (0.28). Из (0.25) следует, что для всех —оо < ш < +оо существует решение задачи (0.27), (0.28), удовлетворяющее условию у|2.

Теорема 4.4.2. Пусть п > 2, а = 1 и € Тогда решение задачи (0.27), (0.28), (0.29), — оо < и> < +оо единственно. Рассмотрим теперь случай ах < 1. Теорема 4.4.7. Пусть п > 2, ?1 е и.

7 е (тах{1−2а1,2ат-1}, 1). (0.30).

Тогда для любого N > 0 функция у (х, к) удовлетворяет неравенству.

У<^| 2^р 1 11 г2а™'гч п.

5 = 2 тах{ат + 7,1 — 7}, С (7, ЛГ) / |Л|2г^, |УТ<-|2 = |- (0.31) и равномерно непрерывна на К ¡-у в норме ^ ' С! Г2 — произвольная ограниченная область. Для каждого со? (—оо, +оо) выполнено соотношение (0.26), где функция ь (х, со) € является решением.

0.27), (0.28) и удовлетворяет неравенству (0.31).

Отметим, что существование предела (0.26) в классе областей п" 1.

V5 = а X) хз + 0 < а < 1, (определенного в [19]), следует из результатов работы [8].

Изучим вопрос о единственности решения предельной задачи (0.27), (0.28) («1 < 1). Из (0.31) следует, что для всехоо < со < +оо существует решение задачи (0.27), (0.28), удовлетворяющее условию оо, (0.32) п где число 7 определено соотношением (0.30).

Теорема 4.4.6. Пусть п > 2, 0 < «i < 1 и Q. € G^. Тогда решение задачи (0.27), (0.28), (0.32), -оо < со < +ооединственно.

Изучим классы единственности решения задачи (0.27), (0.28) при ш ф 0 (условия излучения). Сформулируем вначале результаты, относящиеся к случаю ограниченной Г. В работе [38] А. Зоммерфельдом для п = 3 впервые были предложены (без доказательства) следующие условия, обеспечивающие единственность решения задачи (0.27), (0.28) sup vr — icov| = o (i), R oo, SR = Q, П {r = R}, (0.33) xesR ft sup |u| = 0(4), R-> oo, (0.34) x&SR ft.

В работе [39] был рассмотрен случай п = 2 и доказано, что и без условия (0.34) решение задачи (0.27), (0.28), (0.33) единственно. В [40] показано, что условие (0.33) можно ослабить, потребовав выполнения соотношения sup vr — icov| = o (-j=). R —> oo. xesR v R.

В [41] была установлена единственность решения задачи (0.27), (0.28), (0.33) при п = 3. В работах [42], [17] был исследован случай п > 2 и доказано, что классом единственности для задачи (0.27), (0.28) является множество функций, удовлетворяющих условию sup vr — itov| = R oo, (0.35) xesR.

В работе [43] предложена интегральная форма условий излучения, а именно, показано, что классом единственности решения задачи (0.27), (0.28) будет множество функций, удовлетворяющих соотношению lim / vr — iu>v2ds = 0. A—> oo J Sr.

Случай неограниченной Г был впервые рассмотрен в работе [17]. В этой работе в классе областей, удовлетворяющих (0.17), и таких, что diam П {хп < М}) < со, М > 0, (этот класс содержит, в частности, полуцилиндры) установлено условие единственности решения задачи (0.27), (0.28) lim / vXn — iu>v2ds = 0. (0.36).

R->oo J.

ПП {xn = R}.

В работах [44], [45], и [30] были рассмотрены классы единственности решений задачи (0.27), (0.28) в цилиндрических областях с ограниченным сечением. Было установлено, что решение таких задач единственно в классе функций, удовлетворяющих конечному числу условийэто число определяется параметром и> (парциальные условия излучения). В работе [46] для областей с бесконечной границей, удовлетворяющих (0.7), было доказано, что решение задачи (0.27), (0.28) единственно при условии.

У vr — iuiv2dx < oo. n.

Далее, в работе [5] при п = 2 для областей, удовлетворяющих условию (0.9), устанавливалось условие излучения вида г. l2dx vT — icovI — < oo. n Г.

Во второй главе диссертации устанавливаются условия излучения для задачи (0.27), (0.28) в классах областей Цр и Следуя терминологии работы [42], будем далее называть решения уравнения.

Ау + ш2у = 0, х <Е. О., ш ф 0, метагармоническими функциями.

Теорема 2.3.1. Пусть п > 2, € В^, у (х, ш) — метагармони-ческая функция, равная нулю на Г и удовлетворяющая условию п где.

Г, ', < оо, 0.37.

2^ 1 г-у к >

2"1.

7 < —. (0.38).

Тогда у (х, и) = 0 е.

В областях € неравенство (0.38) можно ослабить. Теорема 2.4.1. Пусть п > 2, П € и у (х, со) — метагармони-ческая функция, равная нулю на Г и удовлетворяющая условию (0.37), где 7 < 1. Тогда у (х, и>) = 0 в.

Доказательства теорем 2.3.1 и 3.3.1 используют поведение на бесконечности метагармонических функций в областях 6 Ц^.

Лемма 2.1.3. Если п > 2,. О € Д^, и у (х, и>)⁰ — метагармони-ческая функция, равная нулю на Г, то для любого.

8>

1 + <*1.

Цш.Л'/^У+Н')д, = со. (0.39).

Доказательство теоремы 2.4.1 использует поведение на бесконечности метагармонических функций в областях ?

Лемма 2.2.1. Если п > 2, € и ь (х, и>) — метагармо-ническая функция, равная нулю на Г, то для любого 8 > 0 выполнено соотношение (0.39).

Изучим теперь распределение плотности энергии grad х)2 в области к, в частности, скорость убывания при Ь —" со локальной энергии Еп>(¿-). Приведем вначале известные результаты об убывании Е в случае ограниченной Г. При п = 3 для областей удовлетворяющих условию (0.7), в случае финитных начальных функций в работе [47] установлена оценка.

Еп>(г) < у. (0.40).

В [48] оценка (0.40) усилена в классе областей со звездными границами, а именно, доказано, что < (0.41).

В [49] при тех же предположениях показано, что.

Е№(г) <�Се~а1. (0.42).

В [2] было установлено, что при звездной Г и финитных начальных функциях оценка (0.42) справедлива при всех нечетных п > 3. Величина постоянной, а в (0.42) исследовалась в работе [50]. Для = {г > Д0}> п = 3, и в [50] получена оценка < Се до и доказано, что она является точной. В работах [51], [52] рассмотрены области, границы которых удовлетворяют условиям, обобщающим условие звездности, и для нечетных п > 3 получено получено экспоненциальное убывание функции Ео'(£). В работе [53] сформулировано условие на Г в терминах геометрической оптики. Покзано, что при невыполнении этого условия локальная энергия может убывать сколь угодно медленно при финитных начальных фукн-циях. Если приведенное в [53] условие выполнено, то локальная энергия при четных п убывает степенным образом, а при нечетных п — экспоненциально [54]. Случай п = 2 рассмотрен в работе [55]. Для связной кривой Г с положительной кривизной в [55] получена оценка < (0.43).

В работе [55], кроме того, установлены разложения решения задачи (0.1)—(0.3) в асимптотические ряды при? —> оо. Из этих разложений следует, что оценка (0.43) является точной.

Рассмотрим случай неограниченной Г. Для поверхности Г, удовлетворяющей условию (0.7) и начальных функций из некоторого весового пространства при п > 3 в работе [3] доказана оценка (0.41), а при п = 2 в [4] получено неравентство (0.40) и установлена сходимость интеграла оо.

1 + £)1-(5сЙ < С, 6 > 0. В случае бесконечной звездной поверхо ности Г получить оценку (0.42), вообще говоря, нельзя. Как показано в работе [56], для области С1, являющейся внутренностью двугранного угла в Я3 с раствором ] = 1,2,., найдутся финитные начальные функции /(х), д (х) и ограниченная область С О, такие, что т п.

В работе [7] в классе областей О € <7^, ?р (х) = а ]? х2 + X) при.

3 —1 .7=771+1 некоторых ограничениях на п и а0(т, п) < а < 1 для начальных функций из весового пространства Соболева установлена сходимость интеграла оо.

I Сй < С. о.

Приведем известные результаты о распределении плотности энергии ^гас!(£, ж)|2 в области С}. При п = 3 и звездной Г в [3] установлено, что для любого е > 0 найдутся такие Т > 0 и Я > 0, что имеет место оценка.

I ^гас1(£, х)2с1х < ?, (0.44) п1-я = Пп{г <г — я}, г>т.

При п — 2 для ограниченной связной Г, имеющей положительную кривизну, неравенство (0.44) доказано в работе [55].

В [4] показано, что при п > 2 для звездной Г справедлива оценка.

I ((иг + щ)2 + |7и|2 — и2)(1 + 1)1~6(И йх < С, ?>0. Я.

Распределение плотности энергии для областей € изучалось в [37]. В этой работе при тех же ограничениях на п и а, что и в [7], установлено неравенство.

Обозначим через = € = -оо <

0 < +оо, семейство поверхностей в Я&trade-" 1, gradп м (£, ж) = grad и (?, ж) — (1, -¿-у!)/^! + — единичный вектор нормали к П^го, и^ = щ-. Для Р > О положим.

Л) = I (л2 + |+ (АД)2) тЧх. п.

Теорема 6.2.1. Яг/сть п> 2, | < а^ < 1 ц 2ат — 1 < 7 < 1. Тогда существует постоянная С > 0, такая, что для всех областей О е с С < Со справедлива оценка.

Г (., ,., 9 и2(?, ж) сИс1х.

1 [дгайпч{1,х)? + -^) — <

3 4 7.

С (п, аьага, 7)(ад)+^(А/) + ^(р)), (0.45).

3 = 2 таж{ат + 7,1 — 7}.

Геометрически условие ах > | означает, что область е расширяется быстрее квадратичного параболоида.

Пусть Г2 — произвольная область в Ип. Справедлива следующая оценка снизу плотности энергии решения задачи (0.1)—(0.3).

Теорема 6.1.2. Пусть 0 < 7 < 1 и Еп (0) > 0. Тогда.

У дгайи{1,х)2^- = ж. (0.46) Я.

Таким образом, для области П е в случае | < «1 < 1, 2ат -1 < 7 < 1 при С < С0 и 0 < ?/?(/) + ?/з (А/) + < оо выполнено соотношение о / СЙбЬ <2.

Из неравенства (0.45) следует также оценка скорости убывания локальной энергии при i —" со.

Теорема 6.2.3. Пусть | < аг < 1 и 2ат — 1 < у < 1. Тогда существует постоянная Со > 0, такая, что для всех областей О, G G^ с С < Со справедлива оценка оо.

У E№(t)dt < C (n, ai, am, j) о.

Доказательство теоремы 6.2.1 использует оценки решения задачи (0.21), (0.22) при больших значениях спектрального параметра в замкнутой верхней полуплоскости {Im к > 0}. Приведем некоторые известные результаты. Будем считать, что функция h (x) в (0.21) быстро убывает на бесконечности. Наиболее полно исследован случай, когда п = 2 и Г ограничена. В работах [60], [61] были установлены оценки решения задачи (0.27), (0.28) для связного контура Г, имеющего положительную кривизну. Из полученных в [60], [61] результатов следует неравенство u (x, w)||L2(n') < С, -сю < и < +оо, (0.47) где О! С О- — произвольная ограниченная область. В работах [52], [62] оценка (0.47) доказана при п > 2 для ограниченной звездной поверхности Г. Оценки решений других краевых задач содержатся в [63]—[65]. О’бзор результатов для областей с компактными границами содержится в [85], [10]. Случай неограниченной звездной поверхности Г рассмотрен в [4]. В работе [4] при п > 2 для звездной поверхности Г установлена следующая оценка решения задачи (0.27), (0.28) оо.

J (\vT{x, U)) — iuv{x, u-)\lm + -00 \VTv{x, u)\lm)du> <С, x.

VTv = Vv—vr. r.

В диссертации получены оценки решений задачи (0.21), (0.22) в областях с бесконёчными границами из классов (7^,. Рассмотрим случай области со звездными границами (а — 1).

Теорема 5.1.2. Пусть п > 2, «1 = 1 и? Тогда функция у (х, к) удовлетворяет неравенству i ?2.

I (К — 1шу2 + | Уг^Р + г2 г < П.

С I |Л|2г21п2?г с1х, п сю < и> < +оо, IX > 0, |7Т|2 = |Уг-|2 — |г-г|2, где 5=1 при п = 2 «<7 = 0 при п > 3, постоянная С не зависит от п. Сформулируем теперь результат, относящийся к случаю, а < 1. * Теорема 5.1.4. Пусть п> 2, | < ах < 1 и 2сщп — 1 < 7 < 1. Тогда существует постоянная Со > 0, такая, что для всех областей О € с С < Со справедлива оценка.

7 1 1 11 Т**т> Гг, С (п, аьс%т, 7)(а-2 + 1) | |/1|2тЛга-, п оо < и < +оо, «>0, =.

Р = 2тах {ат + 7,1 — 7}.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7], [20], [21], [37], [66]—[73], [81], [84], [86].

1. Lax P. D., Phillips R. S. The wave equation in exterior domains // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. v.68. N1. P. 47−49.

2. Лаке П., Филлипс P. С. Теория рассеяния. M.: Мир, 1971.

3. Zachmanoglou Е. С. The decay of solutions of the initial-boundary value problem for the wave equation in unbounded regions // Arch. Rational. Mech. Anal. 1963. V. 14. N4. p. 312−325.

4. Муравей Л. А. Волновое уравнение и уравнение Гельмгольца в неограниченной области со звездой границей // Труды МИАН. 1988. Т. 185. С. 171−180.

5. Рамм А. Г. Спектральные свойства оператора Шредингера в областях с бесконечной границей // Матем. сб. 1965. Т. 66. N3. С.321−343.

6. Ильин Е. М. Рассеяние на неограниченных препятствиях для эллиптических операторов второго порядка // Труды МИАН. 1988. Т.179. С.80−101.

7. Филиновский А. В. Стабилизация решений волнового уравнения в неограниченных областях // Матем. сб. 1996. Т. 187. N6. С. 131−160.

8. Винник А. А., Эйдус Д. М. Принцип предельной амплитуды’для областей типа параболоида // Изв. вузов, сер. матем. 1979. N3(202). С.28−37.

9. Зеленяк Т. И., Михайлов В. П. Асимптотическое поведение решений некоторых краевых задач математической физики при t —" оо // Дифференциальные уравнения с частными производными. М. Наука. 1970. С.96−118.

10. Вайнберг Б. Р. Асимптотическое поведение при t —> оо решений внешних смешанных задач для гиперболических уравнений и квазиклассика // Итоги науки и техники. Совр. пробл. мат. Фунд. напр. Т. 34. М. Издательство ВИНИТИ. 1987. С. 57−92.

11. Ладыженская 0. А. Краевые задачи математической физики. М. Наука. 1973.

12. Гущин А. К., Михайлов В. П. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка // Труды МИАН. 1984. Т.166. С.76−90.

13. Гущин А. К., Михайлов В. П. О равномерной квазиасимптотике решений второй смешанной задачи для гиперболического уравнения // Матем. сб. 1986. Т.131. N4. С.419−437.

14. Михайлов В. П. О квазиасимптотике решений гиперболического уравнения // В сб. Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск. Наука. 1988. С.98−102.

15. Богоявленский О. И., Владимиров В. С., Волович И. В., Гущин А. К., Дрожжинов Ю. Н., Жаринов В. В., Михайлов В. П. Краевые задачи математической физики // Труды МИАН. 1986. Т.175. С.63−102.

16. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М. Мир. 1972.

17. Reilich F. Uber das asymptotische Verhalten der Losungenvon Au + Xu = 0 in unendlichen Gebieten // Jahresb. Deutsch. Math. Verein. 1943. V.53. N1. P.57−65.

18. Jones D.S. The eigenvalues of V2m + Xu — 0 when the boundary conditions are given on semi-infinite domains // Proc. Camb. Phil. Soc. 1953. V.49. № 4. P. 668−684.

19. Tayoshi T. The asymptotic behavior of the solutions of (A + X) u = 0 in domains with the unbounded boundary // Publ. Res lust. Math. Sei. Kyoto univ. 1972. V.8. № 2. P.375−391.

20. Филиновский А. В. Интегральные оценки решений уравнения Гельмгольца в неограниченных областях // Матем. заметки. 1997. Т.61. N5. С.759−768.

21. Филиновский А. В. Убывание решений волнового уравнения и спектральные свойства оператора Лапласа в расширяющихся областях // Матем. заметки. 1988. Т.63. № 1. С. 154−156.

22. Левитан Б. М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М. Гостехиздат. 1950.

23. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. Наука. 1969.

24. Weyl Н. Uber gewohnliche DifFerentialgleichnungen mit Singularitaten und die Zugehorigen Entwicklungen willkurlicher Funktionen // Math. Annalen 1910. V.68. N1. P.222−269.

25. Stone M. H. Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis. Amer. Math. Soc. Colloquium Publications. V.15. Providence. 1932.

26. Повзнер A. H. О дифференцировании спектральной функции уравнения Шредингера // ДАН СССР. 1951. Т.79. N2. С.193−196.

27. Повзнер А. Н. О разложении произвольных функций по собственным функциям оператораДм + си // Матем. сб. 1953. Т.32. N1. С.109−156.

28. Титчмарш Э. 4. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т.2. М. ИЛ. 1961.

29. Ikebe Т. Eigenfunction expantions associated with the Schrodinger operators and their applications to scattering theory // Arch. Rational. Mech. Anal. 1960. V.5. № 1. P. l-34.

30. Эйдус Д. M. О принципе предельного поглощения // ДАН СССР. 1959. т. 125. N3. С.508−511.

31. Эйдус Д. М. Принцип предельной амплитуды // Усп. матем. наук. 1969. Т.24. № 3. С.91−156.

32. Эйдус Д. М. О принципе предельного поглощения // Матем. сб.1962. Т.57. N1. С. 13−44. .

33. Рамм А. Г. Исследование задачи рассеяния в некоторых бесконечных областях. I // Вестн. ЛГУ. сер. мат., мех. и астр. 1963. N7. вып.2. С.45−66.

34. Рамм А. Г. Исследование задачи рассеяния в некоторых бесконечных областях. II // Вестн. ЛГУ. сер. мат., мех. и астр. 1963. N19. вып.4. С.69−76.

35. Винник А. А. Принципы излучения, предельного поглощения и предельной амплитуды для областей с бесконечными границами // Изв. АН АзССР. сер. физ.-техн. и матем. наук. 1974. N3. С.129−134.

36. Винник А. А. Об условиях излучения для областей с бесконечными границами // Изв. вузов, сер. матем. 1977. N7(182). С.37−45.

37. Филиновский А. В. Интегральные оценки решений волнового уравнения в областях с бесконечной границей // Матем. заметки. 1996. Т.60. N2. С.310−312.

38. Sommerfeld А. Die Greensche Funktion der Scwingungsgleichung // Jahr. Deutsch. Math. Verein. 1912. V.21. P.309−353.

39. К^прадзе^.^.0 «принципе излучения» А. Зоммерфельда // ДАН. Wii Yp/mtfFwww~ & теориипи^рлки, ии U.

40. Magnus W. Uber Eindeutigkeitsfragen bei randwertanfgabe von, А и + k2u = 0 // Jahr. Deutsch. Math. Verein. 1942. V.52. N1. P.177−178.

41. Векуа И. H. О метагармонических функциях // Труды Тбил. матем. ин-та. 1943. Т. 12. С.105−166.

42. Magnus W. Fragen der Eindeutigkeit und des Verhaltensin Unendlichen fur Losungen von Au + k2u — 0 // Abh. Math.-Sem. Hamburg. 1949. V.16.N1. P.77−94.

43. Свешников А. Г. О принципе излучения // ДАН. 1950. Т.73.' N5. С.917−920.

44. Свешников А. Г. Принцип предельного поглощения для волновода // ДАН. 1951. Т.80. N3. С.341−344.

45. Odeh F. М. Uniqueness theorems for Helmholtz equation in domains with infinite boundaries // J. Math. Mech. 1963. V.12. N6. P.857−867.

46. Morawetz C. S. The decay of solutions of the exterior initial boundary value problem for the wave equation // Comm. Pure Appl. Math. 1961. v.14. N.3. P.561- 568.

47. Morawetz C. S. The limiting amplitude principle // Comm. Pure Apple. Math. 1962. v.15. N3. P.349−361.

48. Lax P. D., Morawetz C. S., Phillips R. S. Exponential decay of solutions of the wave equation in the exterior of a starshaped obstacle // Comm. Pure Appl. Math. 1963. V. 16. N4. P.477−486.

49. Михайлов В. П. О корнях функций Макдональда // Труды МИАН. 1968. Т.103. С.162−171.

50. Иврий В. Я. Экспоненциальное убывание решений волнового уравнения во внешности почти звездной области // ДАН. 1969. Т.189. N5. С.938−940.

51. Morawetz С. S. Decay for solutions of the exterior problem for the wave equation // Comm. Pure Appl. Math. 1975. V.28. N2. P.229−264.

52. Ralston J. V. Solutions of the wave equation with localized energy // Comm. Pure Appl. Math. 1969. V.22. N6. p.807−823.

53. Morawetz C. S., Ralston J. V., Strauss W. A. Decay of solutions of the wave equation outside nontrapping obstacles // Comm. Pure Appl. Math. 1977. V.30. N4. p.447−508.

54. Муравей JI. А. Об асимптотическом поведении при больших значениях времени решений внешних краевых задач для волнового уравнения с двумя пространственными переменными // Матем. сб. 1978. Т.107. N1. С.84−133.

55. Zachmanoglou Е. С. An example of slow decay of the solutions of the initial-boundary value problem for the wave equation in unbounded regions // Bull. Amer. Math. Soc. 1964. V.70. N4. p.633−636.

56. Михайлов В. П. О принципе предельной амплитуды // ДАН. 1964. Т. 159. N4. С.750−752.

57. Бабич В. М., Григорьева Н. С. Об аналитическом продолжении резольвенты внешних трехмерных задач для оператора Лапласа на второйлист // Функц. анализ и его приложения. 1974. Т.8. N1. С.71−72.

58. Муравей J1. А. Асимтотическое поведение решений второй внешней краевой задачи для двумерного волнового уравнения // Дифф. уравнения. 1970. Т.6. N12. С.2248−2262.

59. Буслаев В. С. Коротковолновая асимптотика в задаче дифракции на гладких выпуклых контурах // Труды МИАН. 1964. Т.73. С.14−117.

60. Муравей JI. А. Аналитическое продолжение по параметру функций Грина внешних краевых задач для двухмерного уравнения Гельмгольца. III // Матем. сб. 1978. Т. 105. N1. С.63−108.

61. Morawetz С. S., Ludwig D. An inequality for the reduced wave operator and the justification of geometrical optics // Comm. Pure Appl. Math. 1968. V. 21. N2. P.187−203.

62. Ursell F. I. W. On the short-wave asymptotic theory of the wave equation (V2 + k2).

63. Бабич В. M. О коротковолновой асимптотике функции Грина для уравнения Гельмгольца // Матем. сб. 1964. Т.65. N4. С.576−630.

64. Grimshaw R. High-frequency scattering by finite convex region // Comm. Pure Appl. Math. 1966. v. 19. N2. P. 167−198.

65. Филиновский А. В. Об асимптотическом поведении решений одной внешней нестационарной задачи // Комплексные методы в математической физике. Донецк. 1984. С. 186.

66. Филиновский А. В. Об асимптотическом поведении решений одной нестационарной смешанной задачи // Дифф. уравнения. 1985. Т.21. N3. С.443−454.

67. Филиновский А. В. О стабилизации решений внешней краевой задачи Дирихле для уравнения колебаний пластины // Мат. заметки. 1986. Т.39. N4. С.586−596.

68. Филиновский А. В. Стабилизация решений волнового уравнения в расширяющихся областях // Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара. 1996. С. 78.

69. Филиновский А. В. Убывание решений первой смешанной задачи для волнового уравнения в расширяющихся областях // Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященные 175-летию со дня рождения П. JI. Чебышева. М. 1996. С.347−350.

70. Филиновский А. В. Стабилизация решений волнового уравнения в расширяющихся областях // Усп. матем. наук. 1996. Т.51. N5. С. 150.

71. Филиновский А. В. О непрерывности спектра задачи Неймана для эллиптических операторов второго порядка в расширяющихся областях // Матем. заметки. 1997. Т.61. N3. С.471−475.

72. Филиновский А. В. Спектральные свойства оператора Лапласа в областях с бесконечными границами // Труды Моск. матем. общ-ва. 1998. Т.60. С. 185-Ш.

73. Ладыжеская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М. Наука. 1973.

74. Wiener N. Generalized harmonic analysis // Acta Math. 1930. v.55. N1. P. 117−258.

75. Винер H. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Физ-матиз. 1963.

76. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функцианального анализа. М.: Наука. 1965.

77. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.-Наука. 1967.

78. Reilich F. Darstellung der Eigenwerte von, А и + Xu = 0 durch ein Randintegral // Math. Zeitschrift. 1940. v.46. N4. P.535−536.

79. Глазман И. M. О характере спектра многомерных сингулярных краевых задач // ДАН. 1952. Т.87. N2. С.171−174.

80. Филиновский А. В. Убывание решений первой смешанной задачи для волнового уравнения в областях с бесконечными границами. // ДАН. 1998. т.360. N 6. С. 736−739.

81. Eastham М. S. P., Kalf Н. Schrodinger — type operators with continuous spectra. Res. Notes in Math. V. 65. Pitman. 1982.

82. Agmon S. Lower bounds for solutions of Schrodinger-type equations in unbounded domains // Proc. International Conference on Functional Analysis and Related Topics. Tokyo. 1969. P. 216−224.

83. Филиновский А. В. Стабилизация решений волнового уравнения в областях с некомпактными границами. // Матем. сб. 1998. Т. 189. № 8. С. 141−160.

84. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М. Наука. 1972.

85. Филиновский А. В. Убывание локальной энергии решений волнового уравнения в областях с бесконечными границами // Современные методы в теории краевых задач. Тезисы докладов весенней матем. школы «Понтрягинские чтения-8». Воронеж. 1997. С. 155.

<"