Некоторые вопросы теории суммирования рядов Фурье-Лагерра

Ортогональные многочлены и ряды Фурье по ним имеют широкое применение в различных областях математики, математической физики, в задачах обработки информации, при решении дифференциальных и интегральных уравнений и в других задачах. Одной из основных проблем теории рядов Фурье по ортогональным многочленам, как и в целом теории ортогональных рядов, является исследование условий их сходимости и суммируемости. Сходимость и суммируемость рядов Фурье изучаются как для произвольных систем ортогональных многочленов, так и для конкретных систем ортогональных многочленов. В частности, большое теоретическое и практическое значение имеет исследование вопросов суммируемости разложений Фурье по классическим ортогональным многочленам Якоби, Лагерра, Эрмита, тесно связанным с решением краевых задач математической физики.

Особый интерес представляют ряды по многочленам Лагерра и Эрмита, ортогональным на бесконечном промежутке. Неограниченность промежутка вносит существенные сложности в исследование указанных выше вопросов. В нашей работе изучается задача о суммировании рядов Фурье-Лагерра линейными методами.

Пусть frm (Г)], а>—1, — ортонормированная на [0,оо) с весом p (t, CC^ = е ~ta система многочленов Лагерра, то есть система алгебраических многочленов таких, что.

00 о где 8 т i — символ Кронекера. Для определённости положим знак старшего коэффициента (t) равным .

Пусть для некоторой функции f существуют интегралы.

Ctm — jtae t f [t^I^^t^dt. Тогда функции f можно поставить в О соответствие её ряд Фурье-Лагерра.

1) т=О.

Вопросам сходимости ряда (1) к разлагаемой функции посвящено много исследований. В них, в основном, изучалась сходимость рядов Фурье-Лагерра интегрируемых функций в весовых пространствах Лебега, то есть в пространствах функций f измеримых по Лебегу на [0,+оо) и таких, что.

Г&trade- 1/Р.

Л/смоГ dt vo J оо, 1 < р < со, причем весовая функция u (t) связана с весом Лагерра Также изучалась поточечная сходимость в случае непрерывных и дифференцируемых функций.

Наиболее существенный вклад в исследование задачи о сходимости в среднем в пространствах интегрируемых с различными весами функций внесли X. Поллард [58], Р. Аскей и С. Вейнгер [42] и Б. Макенхоупт [55], [56]. Отметим, что сходимость в среднем рядов Фурье-Лагерра существенно зависит от выбора весовой функции u (t). X. Поллард в работе [58] рассматривал сходимость в среднем с весом u{t) — e и доказал, что ряд Фурье.

Лагерра сходится в метрике этого пространства только когда р = 2. Р. Аскей и.

С. Вейнгер [42] рассматривали сходимость в пространствах I/ с весовой функцией =, при, а > 0. Они доказали, что в таком пространстве сходимость ряда Фурье-Лагерра будет иметь место при всех 4/3 <р< 4. Макенхоупт в работах [55], [56] рассматривал произвольные весовые функции. Более того, в работе [56] он рассматривал задачу о сходимости ряда Фурье-JIareppa функции, принадлежащей весовому пространству с одним весом, в метрике пространства с другим весом. В этой работе Макенхоуптом были найдены такие весовые функции, при которых сходимость в среднем в весовом пространстве L/7 гарантирована при любом 1 < р < оо. Приближение алгебраическими многочленами дифференцируемых функций на [0,+оо) с весом JIareppa е изучалось А. X. Бабаевым [2], В. К. Лащеновым [30], М. К. Потаповым и С. К. Танкаевой [35], [59], В. М. Федоровым [41] и другими математиками. Некоторые результаты о поточечной сходимости рядов Фурье-Лагерра изложены в монографиях Г. Сегё [36] и П. К. Суетина [37]. Отметим, что в силу особенностей поведения многочленов Лагерра в окрестности точки X = 0, поведение частных сумм и линейных средних рядов Фурье-Лагерра в точке X = 0 существенно отличается от поведения их на промежутке [a, b] d (0, +со) (см., например, [36], теоремы 9.1.5 и 9.1.7). Этим вызвана необходимость отдельного исследования сходимости рядов Лагерра в концевой точке промежутка ортогональности. Также отдельного исследования требуют вопросы сходимости на всем промежутке [0, +оо).

Известно, что существуют непрерывные, и, более того, дифференцируемые функции, ряд Фурье-Лагерра которых расходится в заданной точке (см., например, [36], стр. 278 и 282). Следовательно, существуют функции, ряд Фурье-Лагерра которых не сходится на промежутке [0,+оо). Поскольку ряд Фурье-Лагерра может расходится, как в отдельных точках, так и в метрике весового If пространства (см. [42], [55], [58]), возникает вопрос о тех методах, которыми можно его суммировать. Имеется ряд исследований, в которых рассматривались вопросы суммируемости рядов Фурье-Лагерра конкретными методами — методами Чезаро ([36], теорема 9.1.7, [49−50], [53−54], [57], [62]). В работах [49], [53−54], [57] рассматривалась суммируемость методами Чезаро в весовых I/ пространствах, были получены оценки сверху и снизу норм операторов чезаровских средних в этих пространствах. Поскольку множество алгебраических многочленов является плотным в лебеговых пространствах с подходящими весами (см. [56]) при р < оо, то из ограниченности норм операторов соответствующих средних можно делать выводы о суммируемости методами Чезаро. Суммируемость методами Чезаро рядов Фурье-Лагерра в точке X = 0 при условии непрерывности разлагаемой функции в этой точке исследовалась в монографии Г. Сегё ([36], теорема 9.1.7). Что касается произвольных методов суммирования, необходимо отметить, что в последнее время активно развивается теория мультипликаторов для разложений по многочленам JIareppa (см., например, [45−47], [61]), которая тесно связана с суммированием рядов Фурье-Лагерра (см. [45]). Однако задача о суммируемости рядов Фурье-Лагерра произвольными методами суммирования остаётся мало изученной.

В нашей работе рассматриваются линейные методы суммирования, задаваемые треугольными матрицами, А = |я^| (т = 0,1,.- п = 0,1,.;

Л^ - 0 При т > л + lj. Каждая такая матрица определяет последовательность многочленов.

2) т=О называемых линейными средними ряда Фурье-Лагерра.

Будем говорить, что ряд (1) суммируется в точке Х0 методом, задаваемым матрицей А, если Л) —> /{xq) при п—> оо. Метод, задаваемый матрицей Л, будем называть регулярным в точке на подпространстве G пространства функций, заданных на [0,со)5 если для любой функции f е G ряд (1) суммируется к) этим методом в точке.

Xq.

Если G является подпространством пространства непрерывных на [0,оо) функций и для любой функции / gG линейные средние ряда (1) равномерно сходятся к f на [0,оо)3 то метод Л будем называть равномерно регулярным на G (или просто регулярным).

Одним из вопросов, исследуемых в настоящей работе, является задача о нахождении условий на коэффициенты матрицы Л, при выполнении которых метод суммирования, задаваемый этой матрицей, будет регулярным в точке или равномерно регулярным на некотором подпространстве пространства непрерывных функций.

Линейные средние (2) являются линейными операторами на соответствующем пространстве функций, а при фиксированном X — линейными функционалами. Поэтому при изучении задачи естественно использовать известную теорему Банаха-Штейнгауза ([26], с. 266). Однако из-за бесконечности промежутка ортогональности многочленов Лагерра при её использовании возникают дополнительные сложности. Например, не всякая непрерывная на [0, оо) функция может быть разложена в ряд Фурье-Лагерра.

Кроме того, множество алгебраических многочленов плотно не во всяком подпространстве пространства непрерывных функций, разложимых в ряд Фурье-Лагерра. Поэтому возникает вопрос о выборе подходящего подпространства пространства непрерывных на положительной полуоси функций. В § 1.1 настоящей работы показано, что в качестве такого подпространства можно взять пространство С непрерывных на [О, со) функций f, для которых Иш = 0, с нормой.

Ас = sup |ЛХ).

0<�Х<�оо.

X—>+00.

— х/2 п.

Обозначим К% (x, t, A) = (t) — ядро линейного м=0 метода суммирования, задаваемого матрицей Л. Линейные средние (2).

V, А являются (см. § 1.1) непрерывными линейными операторами из С в С с нормой та шахе х/2??(х, л), где лг>0 оО х, Л) = j]^ (x, t, K)e-tl2tadt (3) о.

— функция Лебега-Лагерра линейных средних, задаваемых матрицей А. При фиксированном X = х0 линейные средние (2) являются непрерывными линейными функционалами на С с нормой = Применяя теорему Банаха-Штейнгауза, получаем, что для регулярности метода суммирования, задаваемого матрицей А, в точке х0е[0,оо) на С необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) /%(х0,А)<�С, п = 1,2,.;

2) Л^ —> 1 при ft —> оо для всякого фиксированного m. Соответственно, для равномерной регулярности метода суммирования, А задаваемого матрицей Л, на С необходимо и достаточно, чтобы.

1) шахе~х!2(х, Л) < С, п = 1,2,.- х>0.

2) Л^ —> 1 при П —> оо для всякого фиксированного Ш.

Здесь и далее в работе буквой С будем обозначать величину, не зависящую от п, вообще говоря, в разных случаях разную.

Так как проверка условия ограниченности «^функции Лебега для конкретных матриц трудна, желательно заменить это условие другими, проверка которых не вызывает больших трудностей.

Постановка данной задачи о нахождении эффективных условий ограниченности функции Лебега метода суммирования берет начало от известной работы С. М. Никольского [32]. В этой работе С. М. Никольский показал, что в случае тригонометрических рядов Фурье для выпуклых вогнутых) при каждом п последовательностей Л^ условие ограниченности п констант Лебега Сп (А) = — f.

П t следующими условиями: ьт с.

1″.

1 п т=1 п X м cos mt dt можно заменить.

1 т т= п + 1-т.

Со.

Далее С. Б. Стечкин, А. В. Ефимов, С. А. Теляковский и другие математики получили различные необходимые и достаточные условия ограниченности констант Лебега для тригонометрических рядов, выраженные через коэффициенты матрицы А, их первые разности АЛ^ = Л^ — Л^^ и вторые А2Л^ = А ^АЛ^ j. В случае рядов по другим ортогональным системам задача об ограниченности функции Лебега линейных средних также изучалась, хотя и в меньшей мере. Некоторые условия ограниченности функции Лебега в случае рядов Фурье по многочленам, ортогональным на конечном промежутке, могут быть получены из работ Б. П. Осиленкера (см., например, [33], [34]). Для суммирования рядов Фурье по многочленам Якоби.

Р^'^ (х) ряд интересных результатов был получен С. Г. Кальнеем. В частности, им в статьях [22−23] была доказана теорема, аналогичная теореме С. М. Никольского.

Для рядов Фурье-Лагерра вопрос ограниченности функций Лебега для общих линейных методов суммирования исследован мало. В работах Е. Гёрлиха и К. Маркетта [48] и [49], К. Маркетта [53], [54], Е. Л. Поиани [57], достаточно подробно рассмотрен вопрос об оценке сверху и снизу норм операторов конкретных линейных средних — средних Чезаро — в ^^ пространствах, 1<�р<�со, — весовая функция, связанная с весом p{t, Произвольные линейные методы суммирования исследовали Дж.

Гаспер и В. Требельс в работе [45], в которой они, используя схему работы [25], получили оценку снизу функции Лебега для линейных методов суммирования рядов Лагерра. Отметим, что рассматриваемые в работах [48], [49], [53], [54] и.

57] при р = оо, сс > 0, пространства включают функции, удовлетворяющие условию lim f (x)e =0, S>0, что сильнее наложенного нами условия lim = 0.

X->+00.

Ограниченность функции Лебега-Лагерра играет важную роль не только при изучении сходимости линейных средних в некоторой точке, но и их равномерной сходимости к разлагаемой функции. В связи с тем, что норма.

СС (. л л оператора Тп yf, X, A J из С в С совпадает с нормой этого оператора из L а.

ОО в Le, где ~La=.

Результаты о сходимости конкретных линейных средних можно применять к исследованию других задач. Так, в нашей работе исследуется задача о сходимости ряда Фурье-Лагерра к разлагаемой функции в интегральной метрике, если коэффициенты ряда удовлетворяют условию монотонности или его обобщениям. Для тригонометрических рядов данная задача исследовалась А. Н. Колмогоровым, Е. Хилле и Я. Д. Тамаркиным, С. А. Теляковским, Г. А. Фоминым и другими авторами. Ряд классических и результатов отражен в монографиях А. Зигмунда [20] и Н. К. Бари [3]. В 1923 году А. Н. Колмогоров в работе [52] полностью решил вопрос о сходимости в метрике L ряда, а 00 при условии, что его коэффициенты стремятся к нулю и последовательность cim } выпукла или хотя бы квазивыпукла. Он показал, что в этом случае ряд.

4) является рядом Фурье, а для его сходимости в метрике L необходимо и достаточно, чтобы при т —> оо выполнялось условие ат log т —> 0. Позже С. А. Теляковский и Г. А. Фомин в работе [38] доказали, что условие ат log т —> 0 является необходимым и достаточным для сходимости ряда Фурье (4) в метрике L при условии квазимонотонности последовательности (последовательность jcm j называется квазимонотонной с показателем с,.

Ц>0, если последовательность т т<�и монотонно убывает к нулю). Аналог теоремы С. А. Теляковского и Г. А. Фомина для рядов Фурье-Якоби был получен С. Г. Кальнеем в работе [24]. Нами доказана соответствующая теорема для рядов Фурье-Лагерра функции f Е La.

Заметим, что данную задачу о сходимости ряда Фурье по многочленам Лагерра Z^ с квазимонотонными коэффициентами можно рассматривать не только в пространстве, но и в пространствах Лебега L^, где у ^ ОС. В настоящей работе доказаны теоремы о сходимости рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами для случая f е Ly, а 1.

—-< у<mm.

2 4 г, а п а,—h — v 2 4 у 1 а > —. 2.

Еще одним важным вопросом теории суммирования рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам представляется вопрос о сходимости линейных средних в концевой точке промежутка ортогональности при условии, что она является точкой Лебега.

Точка t = О называется точкой Лебега функции f, если существует число, А такое, что.

Задача о сходимости линейных средних рядов по различным ортогональным системам в точках непрерывности и точках Лебега разлагаемой функции рассматривалась во многих работах. В частности, в случае тригонометрических рядов эта проблема изучалась С. М. Никольским [32], А. В. Ефимовым [19] и другими математиками. Для рядов Якоби данная задача для чезаровских средних рассматривалась в монографии Г. Сегё [36], для более широкого класса методов суммирования — в работах С. Г. Кальнея [21], [51], для рядов по ультрасферическим многочленам в работах Топурия С. Б. и других грузинских математиков (см. [39]), Тан Пин [60]. Примечательно, что в случае рядов Якоби для сходимости линейных средних в точке Лебега t — 1 необходимо, вообще говоря, даже для случая чезаровских методов суммирования, накладывать на функцию дополнительное «антиполярное» условие — ограничение на поведение функции в другой концевой точке отрезка ортогональности. В случае рядов Лагерра, в монографии Г. Сегё [36] доказана теорема о сходимости чезаровских средних порядка k> СС +½ в точке непрерывности t = 0 функции f при выполнении дополнительного условия, 1 условия в случае рядов Якоби. Нетрудно показать, что упомянутая теорема Г. Сегё остаётся верной, если вместо непрерывности функции в точке t — 0 h.

0. о.

00 которое является аналогом антиполярного предположить, что точка t = О является точкой Лебега функции f. Для этого достаточно слегка изменить доказательство теоремы аналогично тому, как сделано на стр. 272 монографии [36] для случая рядов Якоби. В настоящей работе мы приводим достаточные условия сходимости линейных средних в точке Лебега t = О функции f для более широкого класса матриц А, чем матрицы, определяющие методы суммирования Чезаро. Наше исследование основано на теореме Д. К. Фаддеева о представлении интегрируемых функций в точках Лебега сингулярными интегралами (см. [40]).

Настоящая работа состоит из введения и трёх глав. Параграфы нумеруются двумя числами, первое из которых обозначает номер соответствующей главы. Так, § 2.1 означает первый параграф второй главы. Теоремы, леммы, формулы нумеруются тремя числами, первое из которых указывает главу, второе — номер параграфа внутри этой главы, а третье — номер теоремы (леммы, формулы) в данном параграфе. Например, теорема 1.2.3 означает третью теорему второго параграфа первой главы.

В первой главе изучаются необходимые и достаточные условия регулярности методов суммирования.

В § 1Л приведены доказательства базовых утверждений, необходимых для обоснования результатов первой главы. В частности, в этом параграфе показано, что ограниченность функции Лебега-Лагерра при некоторых условиях обеспечивает регулярность метода суммирования.

Во втором параграфе главы 1 исследуется поведение функции Лебега.

Лагерра в точке X = 0 и даются условия на коэффициенты матрицы.

Л, необходимые и достаточные для регулярности метода суммирования, А в этой точке. С использованием полученной в этом же параграфе оценки интеграла сумм Валле Пуссена, доказана основная теорема первой главы. 1.

Теорема 1.2.1. Пусть)<�СС<�—.Тогда для функции Лебега-Лагерра линейных средних справедливо неравенство:

О, Л) < С шах.

О <�т<�п хм.

1 т c" t (m +1) т—О n-mi.

— а V.

А2Я (п).

7 + 1 у.

Эта оценка сверху функции Лебега-Лагерра и доказанная Дж. Гаспером и В. Требельсом [45] оценка ее снизу позволяют получить необходимые и достаточные условия ограниченности функции Лебега-Лагерра для выпуклых вогнутых) последовательностей Х^.

Теорема 1.2.2. Пусть 0 <а<—. Если > 0 (< 0) при всех.

Ш = 0,1,., и — к, где k> 1 — фиксированное число, не зависящее от п, то для ограниченности (0, А) необходимо и достаточно, чтобы.

С, (m + lf (n + -myV2-a <С. т=0.

Как следствие теоремы 1.2.2 и критерия регулярности метода суммирования в точке, доказанного в § 1.1 (утверждение 1.1.7) получаем теорему о регулярности в точке X = 0 методов суммирования, являющуюся аналогом известной теоремы С. М. Никольского [32] о сходимости линейных средних тригонометрических рядов и теоремы С. Г. Кальнея [23] о сходимости линейных средних рядов Фурье-Якоби.

Теорема 1.2.3. Пусть 0 <СС<—. Если вторые разности А2/1^.

4 >0 0) при всех т = ОД, — к, где k> 1 — фиксированное число, не зависящее от п, то для регулярности в точке Х0 = 0 на пространстве С метода суммирования, задаваемого матрицей А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) л<" > с, тт п.

2) (w + lf («+ l-w)3/2» .

3) Л^ —> 1 при п —> со Эля всякого фиксированного Ш.

В третьем параграфе первой главы показано, что те же самые условия будут необходимыми и достаточными для равномерной регулярности метода суммирования. Этот факт является следствием того, что max^e достигается в точке X = 0 (утверждение 1.3.1).

Частный случай этого результата для функции Лебега-Лагерра чезаровских средних ранее был установлен Е. Гёрлихом и К. Маркеттом в работе [48].

Во второй главе изучается задача о сходимости рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами. Рассматривается ряд по стандартизованным многочленам Лагерра.

5) т=О при этом предполагается, что он является рядом Фурье-Лагерра некоторой 00 функции /, то есть что ат = —-— j' ta e~l f (t) Lam (t)/Lam (0)dt.

1 + 1J 0 m = 0,1,.).

В § 2.1 доказаны теоремы.

Теорема 2.1.2. Пусть ряд (5) есть ряд Фурье по многочленам Лагерра Ц^ функции f e~La (0,оо) (0 < а). Если последовательность квазимонотонна для некоторого JH > 0, то для сходимости его к f в метрике La (0,оо) необходимо и достаточно, чтобы ma+l/2am ->0 (т-> со). а 1.

Теорема 2.1.3. Пусть < У < mm, а О а,—ь — 2 4 1.

ОС > — — и пусть.

V ^ ^ J ряд (5) есть ряд Фурье по многочленам Лагерра функции f? Ly (О, оо).

Если последовательность квазимонотонна для некоторого jLl> 0, то для сходимости его к f в метрике необходимо и достаточно, чтобы атт.

7+½ 0 (т—"оо).

Третья глава посвящена вопросу сходимости линейных средних в точке X = 0 при условии, что она является точкой Лебега.

В § 3.1 помещены предварительные сведения, необходимые для обоснования результатов третьей главы.

Во втором параграфе третьей главы доказана сингулярность ядра Дирихле-Лагерра и найдены условия на матрицу, при которых ядро метода суммирования будет сингулярным.

В § 3.3 строятся и исследуются монотонные мажоранты для ядер Фейера и Валле Пуссена. В первом случае доказывается интегрируемость этой мажоранты, а во втором случае даётся оценка для интеграла от построенной функции, которая в дальнейшем будет использована для доказательства основных результатов третьей главы.

Четвертый параграф третьей главы посвящен доказательству следующей теоремы.

Теорема 3.4.1. Пусть -1 < а <½ и матрица, А удовлетворяет следующим условиям:

1) Л^ —> 1 при YI —> оо для всякого фиксированного Ш — т п.

2) ?(f" + l) тО.

А2Л{п) гл /ьт с.

Тогда ряд Фурье-Лагерра функции f G L^OjOo), имеющей точку X = О точкой Лебега, А-суммируем в этой точке.

В теореме 3.4.1 предполагается, что функция / интегрируема на бесконечности с единичным весом, что является сильным требованием. Желательно ослабить ограничение на интегрируемость функции на бесконечности. Это можно сделать, применяя теорему Д. К. Фаддеева о сходимости сингулярных интегралов в точках Лебега не на всём промежутке.

О, оо), а на некотором отрезке, содержащем точку X = О (точку Лебега), а на оставшемся промежутке применяя другие соображения. Этому и посвящен пятый параграф главы 3, в котором доказаны основные результаты главы о суммируемости в точке Лебега X = 0 ряда Фурье-Лагерра функции е L р (а).

00 f\fVp (a) = \f{tb" tadt<^.

Теорема 3.5.1. Пусть —lIlKCKXjl и матрица А, коэффициенты которой ограничены, удовлетворяет условиям:

1) Нш Л^ = 1 для всякого фиксированного тп—>00 1 f rt-уиЛо а.

2) £(/и +1) т-О п-т v п +1.

2 А2Х^.

С;

3) существует число 8 < О, такое, что п.

2+¾ т=О.

А 2Л{п).

Спс.

Если функция f G ^Дсг) удовлетворяет условию оо ф-'/2га/2+.

Кроме теоремы 3.5.2, в § 3.5 получена ещё одна теорема о суммируемости рядов Фурье-Лагерра в точке Лебега X — 0, в которой ограничение на поведение функции на бесконечности состоит в требовании интегрируемости функции в некоторой степени в окрестности бесконечности.

Теорема 3.5.2. Пусть —½ < ОС <½ и ограниченная матрица, А удовлетворяет условиям:

1) lim Я^ = 1 для всякого фиксированного Ш;

П—>оэ.

2) 2 (««+ 1)| т=О п-т п +1 а у а2я.

Си, кроме того, существует число д < 0, такое, что п.

3) + т=О а/2+¾.

А 1Х{п).

Спс.

Тогда ряд Фурье-Лагерра функции f Е Асуммируем в точке.

Лебега t = 0, если существует число Z >0 такое, что оо.

МО'.

-//2 tadt< оо для некоторого р> 1- причем в случае 1/6 <ос< ½ и 8 > 1/12-а/2 предполагается, что р удовлетворяет дополнительному условию.

2а + 2 р<-.

6а-1 + 125.

Результаты диссертации докладывались на 12-й и 13-й Саратовских зимних математических школах (Саратов, 2004, 2006), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005), III и VI международных симпозиумах «Ряды Фурье и их приложения» (Новороссийск, 2005, 2006), на семинарах под руководством проф. С. А. Теляковского (МИРАН им. В. А. Стеклова, 2005, 2004), на научных семинарах по теории функций и ортогональных рядов под руководством акад. П. Л. Ульянова, проф. М. К. Потапова, проф. М. И. Дьяченко (мех.-мат. МГУ, 2005, 2006). По теме диссертации опубликовано 10 научных работ [6−15].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Сергею Григорьевичу Кальнею за постановку задач и постоянное внимание ко всем этапам данной работы.

1. Алексия Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М., 1963.

2. Бабаев А. X. О приближении функций с заданным модулем непрерывности частичными суммами Фурье-Лагерра. УМН, 1967, т. XXII, № 2, с. 130−132.

3. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М., 1961.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2, М., 1974.

5. Бернштейн С. Н. О весовых функциях. Докл. АН СССР, 1951, т. 77, с. 549−552.

6. Бурмистрова М. Д. О необходимых и достаточных условиях суммируемости в нуле рядов Фурье-Лагерра. Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней математической школы. Саратов 2004, с. 38−39.

7. Бурмистрова М. Д. О равномерной регулярности методов суммирования рядов Фурье-Лагерра. Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы. Воронеж, 2005, с. 46−47.

8. Бурмистрова М. Д. О суммируемости рядов Лагерра в точках Лебега. Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней математической школы. Саратов, 2006, с. 41.

9. Бурмистрова М. Д. О линейных методах суммирования рядов Лагерра для полуцелых а. Тезисы IX Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» и IV Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения», Ростов-на-Дону, 2006 г, с. 18−19.

10. Бурмистрова М. Д. О сходимости в метриках пространств La (0, оо) и Laj2 (О, оо) рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами. Вестник Московского государственного университета печати, 2006, с. 714.

11. Burmistrova М. D. On necessary and sufficient conditions of the regularity of summation methods for Laguerre-Fourier series. Analysis Math., 2006, v. 32, № 4, p. 247−264.

12. Бурмистрова M. Д. О суммируемости рядов Лагерра в точках Лебега. Сборник научных трудов «Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем», вып. 9, М., Изд-во «Янус-К», 2006, с. 8−12.

13. Бурмистрова М. Д. О суммируемости рядов Лагерра линейными методами. Известия Саратовского университета, 2008, Т. 8. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, с. 15−20.

14. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1967.

15. Геронимус Я. Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. М: Государственное изд-во физ.-мат. литературы, 1958.

16. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. Москва-Ижевск, 2002.

17. Ефимов А. В. О линейных методах суммирования рядов Фурье. Изв. АН СССР сер. матем., 1960, т. 24, с. 743−756.

18. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Изд-во «Мир», Москва, 1965.

19. Кальней С. Г. Суммируемость рядов Якоби треугольными матрицами. Матем. Заметки, 1983, т. 34, № 1, с. 91−103.

20. Кальней С. Г. О линейных методах суммирования рядов Якоби для полуцелых ОС. Analysis Mathem., 1996, v. 22, p. 35−50.

21. Кальней С. Г. О необходимых и достаточных условиях суммируемости рядов Якоби. Изв. ВУЗов, матем., № 5, 1991, т. 348, с. 75−78.

22. Кальней С. Г. О сходимости в среднем рядов Фурье-Якоби с квазимонотонными коэффициентами. Труды МИАН, 1986, т. 173, с. 136 139.

23. Кальней С. Г. Об оценке снизу функции Лебега линейных средних рядов Фурье-Якоби. Труды МИАН, 1984, т. 170, с. 113−118.

24. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М., 1984.

25. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М., Физматгиз, 1958.

26. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

27. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

28. Лащенов В. К. Приближение дифференцируемых функций частными суммами ряда Фурье-Лагерра. Изв. ВУЗов, матем., № 1, 1981, т. 224, с. 44−57.

29. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М., 1974.

30. Никольский С. М. О линейных методах суммирования рядов Фурье. Изв. АН СССР, сер. матем., 1948, т. 12, с. 259−278.

31. Осиленкер Б. П. О сходимости и суммируемости разложений Фурье по ортонормированным полиномам, ассоциированным с разностными операторами второго порядка. Сиб. матем. ж., 1974, т. 15, № 4, с. 892−908.

32. Осиленкер Б. П. Оценка роста функции Лебега линейных методов суммирования. Матем. Заметки., 1968, т. 6, № 3, с. 277−286.

33. Потапов М. К., Танкаева С. К. О структурных характеристиках функций с данным порядком наилучшего приближения алгебраическими многочленами. Вестн. МГУ, 1994, сер. 1, Математика. Механика, № 1, с. 46−54.

34. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

35. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. 3-е изд., М.: Физматлит, 2007.

36. Теляковский С. А., Фомин Г. А. О сходимости в метрике L рядов Фурье с квазимонотонными коэффициентами. Труды МИАН, 1975, т. 134, с. 310 313.

37. Топурия С. Б. Ряды Фурье-Лапласа на сфере. Изд-во Тбилисского Ун-та, Тбилиси, 1987.

38. Фаддеев Д. К. О представлении суммируемых функций сингулярными интегралами в точках Lebesgue’a. Матем. сб. 1936. т. 1/43, № 3. с. 351−368.

39. Федоров В. М. Аппроксимация многочленами на полуоси. Конструктивная теория функций 81. София, 1983, с. 181−184.

40. Askey R., Wainger S. Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series. Amer. J. Math., 1965, v. 87, p. 695−708.

41. Askey R. Orthogonal polynomials and positivity. Studies in Applied Mathematics, Wave Propagation and Special Functions, SIAM, 1970, p. 64−85.

42. Freud G. Orthogonale Polynome. Berlin, 1969.

43. Gasper G., Trebels W. A lower estimate for the Lebesgue constants of linear means of Laguerre expansions. Res. Math. 1998, v. 34, p. 91−100.

44. Gasper G., Trebels W. On a restriction problem of de Leeuw type for Laguerre multipliers. Acta. Math. Hungar., 1995, v. 68, № 1−2, p. 135−149.

45. Gasper G., Trebels W. On necessary multiplier conditions for Laguerre expansions. Canad. J. Math., 1991, p. 1228−1242.

46. Gorlich E., Markett C. A convolution structure for Laguerre series. Indag. Math., 1982, v. 44, p. 161−171.

47. Gorlich E., Markett C. On approximation by Cesaro means of the Laguerre expansion and best approximation. Res. Math, 1979, v. 2, p. 124−150.

48. Gupta D. P. Cesaro summability of Laguerre series. Approx. Theory v. 7 1973, p. 226−238.

49. Kal’nei S. G. On the summability of Jacobi series at Lebesgue points. Analysis Math., 2003., v. 29, p. 181−194.

50. Kolmogorov A. N. Sur l’ordre de grandeur des coefficients de la smie de Fourier-Lebesgue. Bull. Acad, polon. sci. (A), sci. math., 1923, p. 83−86.

51. Markett C. Mean Cesaro summability of Laguerre expansions and norm estimates with shifted parameter. Analysis. Math. 1982, v. 8, p. 19−37.

52. Markett C. Norm estimates for Cesaro means of Laguerre expansions. Approximation and Function Spaces (Proc. Conf. Gdansk, 1979) — p. 419−435, North Holland (Amsterdam, 1981).

53. Muckenhoupt B. Mean convergence of Hermite and Laguerre series I. Trans. Amer. Math. Soc., 1970, v. 147, p. 419−431.

54. Muckenhoupt B. Mean convergence of Hermite and Laguerre series II. Trans. Amer. Math. Soc., 1970, v. 147, p. 433−460.

55. Poiani E. L. Mean Cesaro summability of Laguerre and Hermite series. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, v. 173, p. 1−31.

56. Pollard H. The mean convergence of orthogonal series II. Trans. Amer. Math. Soc., 1948, v. 63, p. 355−367.

57. Potapov M. K., Tankaeva S. K. On approximation of functions on the half-line by algebraic polynomials. Analysis Math., 1994, v. 20, p. 107−115.

58. Tang Ping. On linear summation methods of Fourier-Laplace series II, Analysis Math., 1998, v. 25, p. 151−162.

59. Thangavelu S. Transplantation, summability and multipliers for multiple Laguerre expansions. Tohoku Math. J., 1992, v. 44, p. 279−298.

60. Yadav S. P. Approximation of Fourier-Laguerre Expansions by its Cesaro mean in certain Banach Spaces. Approx. Theory, 1983, v. 39, p. l53−156.