Формулы обращения преобразования Киприянова-Радона и аналоги теоремы типа Планшереля и теоремы о носителе

Хорошо известно, насколько мощным является преобразование Радона в различных задачах естествознания, особенно в вычислительной томографии, возникшей из задач рентгеновских и электромагнитных диагностик. Первые попытки исследования этого преобразования были предприняты Иоганом Радоном еще в 1917 году [1]. А вот первое описание введенного И. Радоном преобразования появилось только в 1955 году в книге F. John [2j. По-видимому, достаточно давно возник вопрос о возможности применения преобразование Радона к радиальным функциям (радиальные функции можно считать заданными в одномерном пространстве, а преобразование Радона возможно лишь для функций заданных в пространстве размерности п > 2).

В 1969 году при исследовании фундаментальных решений В-эллип-тических уравнений И. А. Кинриянов и В. И. Кононенко [3] предложили использовать некое специальное преобразование Радона, приспособленное для работы с осесимметрическими функциями, то есть в ситуации, когда часть переменных (но не все) может быть заменена одной — радиусом. При этом, в соответствующих интегральных выражениях появляются степенные веса (разумеется с целым показателем степени) и обобщенные сдвиги. Удивительным было то, что показатели веса могли быть произвольными положительными числами, а описание этого преобразования и, главное, формулы обращения можно было написать лишь в частном случае, когда соответствующий весовой показатель принимает только натуральные значения. Дальнейшие исследования этого научного направления оказывались невозможны в виду отсутствия общих подходов и, главное, общих формул обращения.

В 1990 году J1.H. Ляховым был введен класс гиперсингулярных интегралов [4], который обращал В-потенциалы Рисса, в том числе и дробного порядка. И. А. Киприянов предложил использовать этот класс операторов для обращения специального преобразования Радона. Первые результаты в этом направлении получены в работе И. А. Киприянова, J1.H. Ляхова [5] (1998 г.). Хотя в этих исследований все же не удалось получить формулу обращения, но был сделан важный принципиальный шаг для дальнейшего изучения проблемы, а именно, дано два определения специального преобразования Радона, одно из которых могло быть приспособлено для работы не только с осевой, но и с центральной симметрией и получена замечательная формула, связывающая все три преобразования — Фурье, Фурье-Весселя и Радона. В дальнейшем (2004 г.) определение специального преобразование Радона, данное в вышеуказанной работе, стало называться: преобразованием Киприянова-Радош (далее используем сокращение — KR-преобразование). В частном случае, когда весовая переменная единственна (то есть лишь для задач с осевой симметрией), Л. Н. Ляховым были получены общие формулы обращения, основанные на применении В-гиперсингулярных интегралов. При этом, в его работе [6] использовался не исследованный класс В-гиперсингулярных интегралов (далее в этой работе этот класс операторов назван общими В-гиперсингулярными интегралами).

Возник еще один очень непростой вопрос. Известно, что в классическом случае для обращения преобразования Радона могут использоваться не только соответствующие степени оператора Лапласа, но и производные (целого порядка) но одномерному параметру, характеризующему расстояние соответствующей гиперплоскости от начала координат. И эти формулы оказывались очень удобными по сравнению с громоздкими формулами, использующими дифференциальный оператор в частных производных. В работах JI.H. Ляхова могли быть использованы лишь степени (причем в общем случае — дробные) сингулярного дифференциального оператора в частных производных А#, а возможность перехода к соответствующим обыкновенным производным указывалась лишь в случае натуральных значений весового показателя.

В данной работе введены общие В-гиперсингулярные интегралы, с помощью которых получены самые общие формулы обращения KR-преобразования (обобщающие классические формулы и формулы JI.H. Ляхова). Получены формулы обращения применением обыкновенных производных ио соответствующему параметру, но, и в этом принципиальное отличие от классических формул обращения, порядок производной в общем случае — дробный. Кроме того, получены очень важные в теоретическом и практическом плане теоремы — аналог теоремы Планшереля и частный случай теоремы о носителе, являющийся обобщением хорошо известной теоремы С. Хелгасона о носителе преобразования Радона [7j.

Актуальность этой темы исследования вытекает из возможности применения результатов работы к задачам фундаментальной физики, техники, математики и вычислительной томографии, в которых присутствует центральные, осевые и многоосевые симметрии, а также в задачах в пространствах дробной размерности с соответствующими симметриями.

Целью работы является исследование наиболее общей формы KR-нреобразования, включающей в себя следующие темы. Исследование смешанных обобщенных конечных разностей (о.к.р.) центрированного и нецентрированного видовсоздание на их основе нового класса общих В-гиперсингулярных интегралов, которые включают в себя гиперсингулярные интегралы, построенные по схемам И. Стейна [8], П. И. Лизоркина [9], С. Г. Самко [10] и В-гиперсингулярные интегралы Л. Н. Ляхова. Получение обобщенных формул обращения общего KR-иреобразования путем применения дробных степеней оператора Киприянова, А в (общие В-гиперсингулярные интегралы). Получение формул обращения KR-преобразования посредством одномерного дробного дифференцирования. Доказательство аналога теоремы Планшереля для KR-преобразования. Доказательство аналога теоремы Хелгасона о носителе для KR-иреобразования.

Методика исследований. В работе использовались методы теории функций, функционального анализа, гармонического анализа, а также методы и подходы, развитые в трудах И. А. Киприянова и его учеников, для исследования весовых функциональных классов и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Следующие результаты, полученные в диссертации являются новыми.

1. Введены конечные разности смешанного типа (но одной части переменных действует обычный сдвиг, а по другой части — обобщенный, главной особенностью последнего является то, что он не имеет обратного и перестановочен с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя). Этот результат обобщает введенные ранее Ляховым Л. Н. обобщенные конечные разности, порожденные обобщенным сдвигом.

2. Введены общие В-гиперсингулярные интегралы (далее примем сокращение — общий В-г.с. интеграл) с постоянной характеристикой. Эти операторы, в зависимости от весового параметра могут представлять, с одной стороны, обычные гиперсингулярные интегралы Стейна-Лизоркина-Самко, а с другой, В-гинерсингулярные интегралы (В-г.с. интегралы) Ляхова. Принципиально то, что введенные в данной работе общие В-г.с. интегралы не обладают некоторыми из свойств В-г.с. интегралов.

3. Получены общие формулы обращения KR-преобразования на основе применения к KR-преобразованию функции общего В-г.с. интеграла дробного порядка.

4. Получены формулы обращения KR-преобразовапия путем применения одномерных дробных производных Грюнвальда-Летнико-ва-Рисса, или применением средних от левосторонней и правосторонней дробных производных Римана-Лиувилля.

5. Для KR-преобразования доказана теорема типа теоремы План-шереля.

G. В одном частном случае доказана теорема о носителе для KR-преобразования, представляющая собой аналог хорошо известной теоремы С. Хелгасона.

Практическая и теоретическая значимость. Исследования, проведенные в данной работе, позволяют ввести KR-иреобразование весовых распределений, что откроет возможность применения KR-преобразования при исследовании краевых задач уравнений с частными производными, в которых по одному или нескольким переменным действуют сингулярные дифференциальные операторы Бесселя разных индексов. Кроме того, в работе приведены способы применения преобразования Радона к центрально-симметрическим функциям, то есть по сути к функциям одной переменной, что казалось невозможным, поскольку преобразование Радона можно применять лишь к функциям, заданным в пространствах с размерностью п > 1. Результаты работы также могут быть полезны для проблем фундаментальной физики, для исследования осессимметрических и центральносим-метрических задач математической физики и уравнений с частными производными, в теории функции и функциональных пространств, в теории приближений. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Новосибирском, Белорусском, Владимирском, Ростовском н/Д университетах, в институте математики СО РАН, в математическом институте им. В.А. Стек-лова РАН, в НИИ математики ВГУ, в Воронежской государственной технологической академии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре JI. Н. Ляхова в Воронежской государственной технологической академии, на семинаре проф. Ю. И. Сапронова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. О. М. Пенкина в Белгородском государственном университете, на семинаре отдела теории функций Математического института им. В. А. Стеклова АН Россиина международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва, 2005; международной конференции «Анализ и связанные с ним вопросы», Национальный Университет им. Ивана Франко, Львов, Украина, 2005; второй международной научной конференции «Функционально — дифференциальные уравнения и их приложения», Дагестанский государственный университет, Махачкала, 2005; школе молодых ученых «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания», Липецк, 2005; Воронежской зимней математической школе-2006; научной кон-. ференции «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения — 2006», Санкт.

Петербург, 2006; Воронежской весенней математической школе «Понт-рягинские чтенияXVII», Воронеж, 2006; международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Владимир, 2006; международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2006; международной летней школе и конференции по операторным алгебрам, теории операторов и их приложениям WOAT 2006, Лиссабон, Португалия.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [И]-[26], список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах [13], [15], [17]-[19], [21], [23] Л. Н. Ляхову принадлежит постановка задачи. Доказательства основных результатов принадлежат диссертанту.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих девять параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 107 страниц. Библиографический список содержит 44 наименований.

1. Radon J. Uber die Bestimmung von funktionen durch ihre integralwerte langs gewissel mannigfaltigkeiten./ J. Radon // Ber. Verh. Sache. Acad. Wiss. Leipzig. Math.-Nat. kl., 1917, 69, 262−277.

2. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в приложении к дифференциальным уравнениям с частными производными./ Ф. Йон.-М.: ИЛ, 1958. 156 с.

3. Киприянов И. А. О фундаментальных решениях некоторых уравнений в частных производных./ И. А. Киприянов, В. И. Кононенко // Дифференциальные уравнения.- 1969, — Т.5. N 8. С. 1470−1483.

4. Ляхов Л. Н. Об одном классе гиперсингулярных операторов./ Л. Н. Ляхов // ДАН.- 1990. Т. 315, N 2. С. 291−296.

5. Киприянов И. А. О преобразованиях Фурье, Фурье-Бесселя и Радона./ Киприянов И. А., Ляхов Л.Н./ И. А. Киприянов, Л. Н. Ляхов // ДАН.- 1998. Т.360, N 2. С.157−160.

6. Ляхов Л. Н. Обращение преобразования Киприянова-Радона./ Л. Н. Ляхов // ДАН.- 2004. Т. 399, N 5. С.597−600.

7. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ./ С. ХелгасонМ.: Мир, 1987. 736 с.

8. Stein Е.М. The caracterisation of function arising as potentials./ E.M. Stein // Bull.Aiiier.Math.Soc.- 1961. Vol.67, N 1. P. 102−104.

9. Лизоркин П. И. Описание пространств Lrp (Rn) в терминах разностных сингулярных интегралов./ П. И. Лизоркин // Мат. сб- 1970.-Т.81, N 1. С. 79−91.

10. Гоц Е. Г. Аналог теоремы Планшереля для двумерного преобразования Киприянова-Радона./ Е. Г. Гоц // Сборник научных статей иод ред. Ю. Е. Гликлиха и 10.И. Сапронова.- Воронеж: ВГУ, 2005.-Вып.1.

11. Гоц Е. Г. Формулы обращения преобразования Киприянова-Радона / Е. Г. Гоц, Л. Н. Ляхов.// Материалы международной научной конференции «Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения ВГУ.- Воронеж, 2005 С. 78−79.

12. Гоц Е. Г. Обобщенные разности и общие гиперсингулярные интегралы./ Е. Г. Гоцг Л.Н. Ляхов // Доклады Академии Наук.- 2005.Т. 405, N 4. С. 444−447.

13. Год Е. Г. Преобразование Киприянова-Радона некоторых основных функций./ Е. Г. Гоц, JI.H. Ляхов// Материалы международной конференции «Analysis and Related Topics» .- Национальный Университет им. Ивана Франко Львов, Украина, 17−20 ноября 2005. С. 35.

14. Гоц Е. Г. Преобразование Киприянова-Радона сдвигов./ Е. Г. Гоц, Л. Н. Ляхов // Материалы конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования Воронеж: Воронежская государственная академия, 2005 С. 73.

15. Гоц Е. Г. Символ общего В-гииерсингулярного интеграла./ Е. Г. Гоц // Материалы научной конференции «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения 2006» .- СПб., 2006. С. 175−181.

16. Гоц Е. Г. Отображение, осуществляемое преобразованием Киприянова-Радона основных функций./ Е. Г. Гоц, Л. Н. Ляхов // Вестник Липецкого Государственного Педагогического Университета.- Т.1. Вып.1. 2006. С. 13−19.

17. Гоц Е. Г. Носитель преобразования Киприянова-Радона./ Е. Г. Гоц // Материалы XLIV отчетной научной конференции за 2005 год.-ВГТА.- Воронеж, 2006. Ч.2. С. 199.

18. Год Е. Г. Общие В-гииерсингулярные интегралы, порожденные центрированными смешанными обобщенными конечными разностями./ Е. Г. Гоц // Труды воронежской зимней математической школы С. Г. Крейна 2006. Воронеж: ВорГУ, 2006. С. 44−51.

19. Левитан Б. М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя./ Б. М. Левитан // УМН.- 1951. Т. 6, N 2. С. 102−143.

20. Самко С. Г. О пространствах риссовых потенциалов./ С. Г. Самко // Известие АН СССР. Сер.мат.- 1976. Т. 40, N 5. С. 1443−1472.

21. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения./ С. Г. Самко, А. А. Килбас, О.И. МаричевМинск: Наука и техника, 1987. 688 с.

22. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом./ Л. Н. Ляхов Воронеж, гос. технол. акад.-Воронеж, 1997. 144 с.

23. Киириянов И. А. Сингулярные эллиптические граничные задачи./ И. А. Киприянов М.: Наука, 1997. 196 с.

24. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений./ И. С. Градштейн, И. М. Рыжик М.: ГИФМЛ, 1963. 1100 с.

25. Гельфанд И. М. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений./ И. М. Гельфанд, М. И. Граев, И.Я. ВиленкинМ.: ГИФМЛ, 1962. 656 с.

26. Ватсон Г. Н. Теория бессолевых функций./ Г. Н. Ватсон.- М.: ИЛ, 1947. 780 с.

27. Хелгасон С. Преобразование Радона./ С. Хелгасон М.: Мир, 1983. 148 с.

28. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения./ С.М. НикольскийМ.: Наука, 1969. 480 с.

29. Ляхов Л. Н. Об одном классе сферических функций и сингулярных псевдодифференциальных операторов / Л.Н. Ляхов// ДАН 1983;Т.272, N 4. С. 781−784.

30. Ляхов Л. Н. В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующимися характеристиками / Л. Н. Ляхов // ДАН.- 1996, — Т.350, N 6-С. 735−738.

31. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения./ Н. Винер.- М.: ГИФМЛ, 1963. 256 с.

32. Киприянов И. А. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига./ И. А. Киприянов, М. И. Ключанцев // ДАН.- 1969. Т. 188, N 5. С. 115−118.

33. Киприянова Н. И. О разложении по собственным функциям некоторых сингулярных дифференциальных операторов / Н. И. Киприянова // ДАН.- 1976. Т.231, N 2. С. 523−525.

34. Ключанцев М. И. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига / М. И. Ключанцев // Сиб.мат.журн.-1970. T. ll, N 4. С. 810−821.

35. Лизоркин П. И. Операторы, связанные с дробным дифференцированием и классы дифференцируемых функций / П. И. Лизоркин // Тр.МИАН.- 1972. Т. 117. С. 212−243.

36. Schwartz I.T. A remark on inequalities of Calderon-Zygmund type for vector-valued function / I.T. Schwartz // Com. Pure Appl.Math.-1961. Vol.14. P. 785−799.