Методы численного дифференцирования функций

Ключевая цель реферата это изучение и сравнительный анализ методов численного дифференцирования; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного дифференцирования на ЭВМ.

При решении практических задач часто нужно найти производные функции y = f(x), заданной таблично. Возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции f(x) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях прибегают к численному (приближенному) дифференцированию.

Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию f(x) на интересующем отрезке [a, b] интерполирующей функцией P(x), чаще всего полиномом, а затем полагают, чтопри .

Если для интерполирующей функции P(x) известна погрешность, то погрешность производной P(x) выражается формулой, т. е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции.

Следует отметить, что численное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование.

1. Вычисление производной по ее определению

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет производную в этой точке. Это означает, что существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

(1)

где .

Значение производной в точке x₀ можно получить, заменяя предел выражения (1) пределом по последовательности целых чисел. Здесь Это приращение уменьшается при увеличении числа n, где (x)₀ — некоторое начальное приращение аргумента. Поскольку (y)_n = f(x₀ + (x)_n) — f(x₀), формулу (1) можно представить следующим образом:

.

При больших n получаем:

.

Условие прекращения вычислений:

.

2. Вычисление производной с помощью конечных разностей

В отличие от предыдущего раздела, где рассматривалась задача определения производной в точке x₀, здесь решается следующая задача: по заданной таблице значений функции y_i = f(x_i),, требуется определить таблицу значений производных в этих же точках x_i .

Пусть точки x_i расположены таким образом, что x₀ < x₁ < … < x_n, и шаг является постоянным, т. е. x_i — x_i-1 = h = const. Используя значения конечных разностей производные функции в точках x_i можно определить как

.

Рассмотрим случай, когда используются правые конечные разности. Отсюда значения производных:

(1)

Данная формула позволяет определить значения производных во всех точках, кроме конечной x_n. Вычислить производную в этой точке можно по аналогичной формуле, в которой используются левые конечные разности. Отсюда

(2)

Очевидно, что формула (2) позволяет определить значение производной во всех точках, кроме x₀.

Рассмотрим геометрический смысл формул (1) и (2). Истинное значение производной в точке x_i определяется наклоном касательной в этой точке, т. е.. Получение приближенных значений производной в точке x_i с помощью правых () и левых () конечных разностей иллюстрирует рис. 1.

Нетрудно заметить, что лучшее приближение производной может быть получено как, где ₀ — угол наклона прямой, проведенной через точки N₁ и N₂, как это показано на рис. 1. Соответствующая формула имеет вид:

==, (3)

где — центральная конечная разность.

3. Вычисление производных на основе первой интерполяционной формулы Ньютона

Пусть функция y(x) задана в равноотстоящих точках x_i отрезка [a, b] с помощью значений y_i = f(x_i). Для нахождения значений производных y = f(x) на этом отрезке функцию y(x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов x₀, x₁, …, x_k (k n):

где; (i =).

Производя перемножение биномов, получим:

.

Учитывая, что, расчетная формула для определения производных будет иметь следующий вид:

. (4)

Следует отметить, что при нахождении производной в заданной точке x в качестве x₀ следует выбирать ближайшее табличное значение аргумента.

Иногда требуется определить производные функции y(x) в узлах таблицы, т. е. в точках x_i. В этом случае формула (4) упрощается, поскольку каждое табличное значение можно считать начальным. Положим x = x₀, t = 0 и тогда получим:

.

4. Вычисление производных на основе интерполяционных многочленов Лагранжа

Предположим, что некоторая функция задана таблицей значений y_i = f(x_i), с постоянным шагом аргумента h = x_i — x_i-1. Для того, чтобы выразить значение производной через значения функции в узлах интерполяции, запишем интерполяционный многочлен Лагранжа степени m, удовлетворяющий условиям L_m(x_k) = y_k = f(x_k), :

где лагранжевы коэффициенты вычисляются как

.

Дифференцируя этот многочлен, можно получить приближенные значения производных в узлах интерполирования x_k .

В частности, для m = 1 получим:

;

.

численный дифференцирование производная интерполяционный Пусть m = 2. Тогда

(5)

(6)

. (7)

В целом для отрезка [x₀, x_n] рекомендуется вычислять производные следующим образом:

а) значение y(x₀) — по формуле (5), где x_i = x₀;

б) значения y(x_i) — по формуле (6), где x_i+1 ;

в) значение y(x_n) — по формуле (7), где x_i+2 = x_n.

5. Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка)

Пусть поставлена задача Коши, где функция f (x, y) 4 раза непрерывно дифференцируема. Необходимо найти решение этой задачи на [x₀, b],

x_k=x₀+k*h, k=0,n; h=(b-x₀)/n.

(16.1)

Многошаговые методы. Метод прогноза и коррекции Адамса.

Идея многошаговых методов заключается в том, что при расчете значения искомой функции к некоторой последующей точке x_k+1 используют значение функции в нескольких предыдущих точках x_k-1, x_k-2…общая точность метода равна количеству испытаний точек. Все mшаговые методы можно описать формулами:

16.2

При ₀=0 мы получаем явные методы, при 0 — неявные методы.

Обьединение идей явных и неявных методов, позволило получить методы прогноза и коррекции. Их суть в том, что на шаге может быть получено значение отношения приближенного значения. у (х) от точного, и при необходимости, приближенное значение может быть исправлено, откорректировано на эту ошибку.

у (х₀)-определяется из условия задачи Коши у (х₁), у (х₂), у (х₃)…у (х_m-1) находится при помощи явных методов Рунге-Кутта. Многошаговые методы удобно применять на длинных отрезках [x₀, b].

Рассмотрим методы погноза и коррекции Адамса 4 порядка.

Пусть поставлена задача Коши 15.3 необходимо найти значение у (х) на [x₀, b] в т. x_k

[x₀, b] x_k=x₀+k*h k=0,n; h=(b-x₀)/n

Локальная точность

Известно, что на шаге точное значение функции в т. х_к уЮ (х_к) отличается от приближенного значения х_к на величину.

16.4

16.5

где е заданная точность Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений Наиболее и лучше всего иследована система дифференциальных уравнений

1-го порядка. Система из n уравнений имеет вид:

16.6

В векторном виде система 16.6 записывается так:

Начальные условия системы 16.6 имеют вид:

16.7

В общем виде система 16.6 имеет множество решений, а с начальным условием может иметь единственное решение.

Задачей Коши для системы из n дифференциальных уравнений 1-го порядка называются 16.6 с начальным условием 16.7.

Пример:

Пусть есть некоторый продукт. Известна скорость выпуска этого продукта (производительность). Необходимо составить модель, позволяющую прогнозировать колво продукции и общие затраты предприятия на ее изготовление и хранение. Пусть V-объем.

Заключение

В данном реферате были исследованы методы численного дифференцирования функций.

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т. д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.

Для более глубокого анализа численных методов мы использовали средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования.

Список используемой литературы

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых знаний, 2000. 624 с.

2. Элементы вычислительной математики / Под ред. С. Б. Норкина. М.: Высш. шк., 1966. 208 с.

3. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1982. 256 с.

4. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 с.

5. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1977. 584 с.