Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Исследование конечно-линейных статистических моделей. 
Оптимизация и избыточность

Диссертация: Исследование конечно-линейных статистических моделей. Оптимизация и избыточность
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Описание некоторых систем в различных областях современной науки, таких как биология, медицина, физика и химия, зачастую содержит информацию, представленную в виде большого количества категориальных признаков. В качестве примеров таких признаков можно привести наличие или отсутствие симптомов различных заболеваний пациентов в медицине, кодирование нуклеотидных остатков при помощи двух или четырех… Читать ещё >

Исследование конечно-линейных статистических моделей. Оптимизация и избыточность (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава 1. Конечно-линейные статистические модели
    • 1. 1. Обзор классических подходов к многомерному анализу категориальных данных
      • 1. 1. 1. Оптимальное шкалирование
      • 1. 1. 2. Анализ главных компонент
      • 1. 1. 3. Канонический корреляционный анализ
      • 1. 1. 4. Классификация
    • 1. 2. Конечно-линейный подход
      • 1. 2. 1. Редукция размерности
      • 1. 2. 2. Каноническая сцепленность или структурная зависимость
      • 1. 2. 3. Жестко-симметрическая классификация
  • Глава 2. Векторная параметризация многообразия Грассмана
    • 2. 1. Грассманиан и теорема о векторной параметризации
    • 2. 2. Уровневый подход к доказательству теоремы в случае поля ?
    • 2. 3. Обобщение доказательства на случай поля ¥-д
  • Глава 3. Алгоритм дискретной оптимизации
    • 3. 1. Отношение линейного порядка
    • 3. 2. Алгоритм быстрого перечисления точек грассманиана РвЕА
    • 3. 3. Монотонные характеристики
    • 3. 4. Дискретная оптимизация
      • 3. 4. 1. Пошаговый и последовательный подходы
      • 3. 4. 2. Оценка эффективности
    • 3. 5. Дискретная оптимизация в конечно-линейных моделях
      • 3. 5. 1. Редукция размерности
      • 3. 5. 2. Структурная зависимость
      • 3. 5. 3. Жестко-симметрическая классификация
  • Глава 4. Детализация алгоритма дискретной оптимизации для параллельной архитектуры CUDA
    • 4. 1. Особенности устройства GPU
      • 4. 1. 1. Потоковая структура
      • 4. 1. 2. Виды памяти
    • 4. 2. Представление алгоритма дискретной оптимизации в удобном для параллельных вычислений виде
    • 4. 3. Быстрый способ вычисления энтропии
    • 4. 4. Оценка эффективности на модельных выборках
  • Глава 5. Моделирование
    • 5. 1. Исследование ассимптотических свойств оценки параметра в модели редукции размерности
      • 5. 1. 1. Сходимость в случае независимых исходных признаков
      • 5. 1. 2. Сходимость в случае зависимых исходных признаков
    • 5. 2. Исследование ассимптотических свойств оценки параметра в модели классификации
      • 5. 2. 1. Сходимость в случае независимых исходных признаков
      • 5. 2. 2. Сходимость в случае зависимых исходных признаков
  • Глава 6. Исследование избыточности классификационной модели
    • 6. 1. Пространство классификаций
    • 6. 2. Теорема об инцидентности векторов случайному векторному пространству
    • 6. 3. Оценка избыточности
    • 6. 4. Исследование качества оценки на модельных данных
  • Глава 7. Анализ реальных данных
    • 7. 1. Редукция размерности
    • 7. 2. Структурная зависимость
    • 7. 3. Классификация

Актуальность темы

Описание некоторых систем в различных областях современной науки, таких как биология, медицина, физика и химия, зачастую содержит информацию, представленную в виде большого количества категориальных признаков. В качестве примеров таких признаков можно привести наличие или отсутствие симптомов различных заболеваний пациентов в медицине, кодирование нуклеотидных остатков при помощи двух или четырех битов в задачах генетики, описание свойств и взаимодействий молекул в химии, идентификацию различных семантических структур в лингвистике.

Для анализа данных такого рода используются разнообразные методы, суть которых можно свести к трем основным направлениям: агрегирование информации в структуры меньшей размерности, выявление наиболее связных композиций, прогнозирование итоговой характеристики. Предназначенные для решения таких задач линейные многомерные статистические методы могут применяться в этом случае только после соответствующего преобразования категориальных данных в числовые или порядковые [1, 2].

Однако когда для шкалирования наблюдений используются чуть более сложные логические формулы, более уместным оказывается привлечение алгебраических и комбинаторных методов, позволяющих преобразовывать категориальные данные на основе линейных комбинаций случайных величин над конечным полем в новые наборы признаков той же природы, но с более предпочтительными информационными свойствами.

Подобные преобразования в работе Кокса [3] называются перестановочными трансформациями, но вводятся не линейно, а через систему логических отношений. В работе Блумфильда [4] намечается переход от перестановочных трансформаций к сложению двух бинарных признаков по модулю два, которое используется для расширения вариантов лог-линейных моделей. с.

В работах Алексеевой [5−7], посвященных исследованию комбинаторной структуры бинарных признаков на основе конечных геометрий, линейные оболочки над конечным полем используются для обеспечения симптомно-синдро-мального подхода к решению задач клинической диагностики.

Широкий спектр приложений привел к необходимости развития и формализации такого подхода, заключающегося в использовании линейных преобразований исходных признаков над конечным полем и называемого далее конечно-линейным подходом.

Цель работы. Основной целью работы является формализация статистических моделей, основанных на конечно-линейных методах, с учетом расширения на случай произвольного числа градаций, а также построение эффективного алгоритма оценки параметров таких моделей, по возможности адаптированного к параллельным вычислениям.

Методы исследования. В работе применяются методы статистического моделирования, теории вероятностей, комбинаторики и линейной алгебры (алгебраические поля и многообразия Грассмана). Программирование осуществлялось в статистическом пакете R, пакете SAGE, а так же на языке программирования С++ с использованием технологии параллельных вычислений CUDA.

Научная новизна. В данной работе впервые предложен комплексный подход к статистическому анализу категориальных данных на основе привлечения латентных признаков, в который входит не только теоретическое обобщение конечно-линейного подхода, но и практическая его реализация в виде пошагового эффективного алгоритма. Предложенный алгоритм адаптирован к параллельным вычислениям и реализован на графических процессорах, как одном из наиболее активно развивающихся сегодня направлений в области параллельных вычислений. Исследованы ассимптотические свойства оценок параметров предлагаемых конечно-линейных статистических моделей. Для модели классификации найдена оценка функции распределения количества ошибок классификации в случае независимых, равномерно распределенных исходных признаков.

Теоретическая и практическая ценность. Конечно-линейные модели позволяют выявлять скрытую информацию в анализе категориальных данных и могут быть использованы как аналоги анализа главных компонент, канонического корреляционного анализа и регрессии в традиционной многомерной статистике. Построенный на основе алгебраических методов специальный алгоритм дискретной оптимизации позволяет в реальном времени решать задачи оценки параметров в данных моделях, а так же проверять избыточность классификационной модели. Адаптированность алгоритма к параллельным вычислениям позволяет ускорять вычисления за счет привлечения графических процессоров, как одного из активно развивающихся сегодня направлений в области параллельных вычислений. Предложенная методология и комплекс программ успешно использованы па практике для анализа экспериментальных данных.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры статистического моделирования мате-матико-механического факультета СПбГУ, а так же были представлены на конференциях: the 2nd International Conference on BioMedical Engineering and Informatics (BMEI'09), Tianjin, China, 17−19 October 2009; всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Алмазовские чтения 2011», ФЦСКЭ им. В. А. Алмазова, г. Санкт-Петербург, 19−21 мая 2011 гV Международная научная конференция (заочная) «Системный анализ в медицине» (САМ 2011), г. Благовещенск, 25−26 мая 2011 г.

Публикации. По теме диссертации опубликованы статьи [8, 9] в журналах по перечню ВАК и статьи [10−12] в сборниках трудов конференций. Статьи [9−12] написаны в соавторстве, в статье [11] автору принадлежит доказательство теоремы о базисных симптомах и импульсный алгоритм поиска оптимального синдрома второго порядка, в статьях [9, 10] — алгоритм дискретной оптимизации и его реализации для исследования связности цепочек РНК и выделения прогностических факторов у больных с глиомами, в статье [12] — раздел о информационном структурировании категориальных данных.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 142 страниц, из них 127 страниц текста, включая 19 рисунков. Библиография включает 98 наименований на 11 страницах.

Заключение

.

В диссертационной работе рассмотрена задача построения аналогов методов анализа главных компонент, канонического корреляционного анализа и регрессии с точки зрения конечно-линейных статистических моделей для данных категориального типа. Описание некоторых систем в различных областях современной науки, таких как биология, медицина, физика и химия, зачастую содержит информацию, представленную в виде большого количества категориальных признаков и требует комплексный подход к анализу данных такого рода. В качестве примеров таких признаков можно привести наличие или отсутствие симптомов различных заболеваний пациентов в медицине, кодирование нуклеотидных остатков при помощи двух или четырех битов в задачах генетики, описание свойств и взаимодействий молекул в химии, идентификацию различных семантических структур в лингвистике.

Кратко перечислим основные результаты диссертации.

1. Формализованы конечно-линейные модели, основанные на привлечении свойств алгебраических полей с учетом расширения на случай произвольной характеристики поля в задачах редукции размерности системы исходных признаков, взаимодействия двух или более систем и задачи классификации (Глава 1).

2. Предложена векторная параметризация многообразия Грассмана на основе классического клеточного разбиения (2.1.1, Глава 2), позволяющая быстро перечислять точки многообразия.

3. Разработан специальный метод дискретной оптимизации для оценки параметров конечно-линейных моделей, опирающийся на предложенную векторную параметризацию многообразия Грассмана (Глава 3).

4. Специальный метод дискретной оптимизации адаптирован для параллельных вычислений на GPU (Graphical processing unit) (Глава 4);

5. Разработан программный комплекс, реализующий предложенный метод оценивания параметров конечно-линейных моделей, в том числе и на основе параллельных вычислений с использованием технологии CUDA.

6. Ассимптотические свойства оценок параметров были изучены при помощи статистического моделирования (Глава 5).

7. В рамках исследования избыточности классификационной модели найдена оценка функции распределения количества ошибок классификации в случае независимых и равномерно распределенных исходных признаков (Глава 6).

8. Предложенные конечно-линейные модели были применены для изучения ряда примеров с реальным данными (Глава 7).

Показать весь текст

Список литературы

  1. Greenacre М. Theory and Applications of Correspondence Analysis. London, England: Academic Press, 1984.
  2. Giffi A. Nonlinear Multivariate Analysis. Chichester, England: Wiley, 1990.
  3. Cox D. R. The analysis of multivariate binary data // Applied Statistics. 1972. Vol. 21. P. 113−120.
  4. Bloomfield P. Linear transformations for multivariate binary data // Biometrics. 1974. Vol. 30. P. 609−617.
  5. H. П., Алексеев А. О. О роли конечных геометрий в корреляционном анализе бинарных признаков // Математические модели. Теория и приложения. Под ред. чл.корр. РАЕН, проф. Чиркова М. К. НИ-ИМ СПбГУ. 2004. Т. 4. С. 102−117.
  6. Н. П. Комбинаторный анализ двух форм скрытой периодичности категориальных последовательностей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, Механика, Астрономия. 2007. Вып. 3. С. 55−64.
  7. Н. П., Конради А. О., Бондаренко Б. Симптомный анализ в исследовании долгосрочного клинического прогноза // Артериальная гипертензия. Том 14. 2008. Т. 1. С. 38−43.
  8. Ананьевская (Грачева) П. В. Метод дискретной оптимизации на основе параметризации грассманиана в многомерном структурировании дихотомических данных // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, Механика, Астрономия. 2011. Вып. 4. С. 28−37.
  9. . В., Алексеева Н. П., Ананьевская (Грачева) П. В. и др.
  10. Прогностические факторы у больных с глиомами: симптомно-синдро-мальный анализ // Вестн. Рос. Воен.-мед. акад. 2010. Т. 1, № 29. С. 7−14.
  11. Alexeyeva N., Smirnov I., Ananyevskaya (Gracheva) P., Martynov B. The finitely geometric symptom analysis in the glioma survival study // Proc. of the 2nd International Conference on BioMedical Engineering and Informatics (BMEI). 2009. P. 1−4.
  12. Pearson К. On Lines and Planes of Closest Fit to Systems of Points in Space // Philosophical Magazine. 1901. Vol. 2, no. 6. P. 559−572.
  13. Hotelling H. Analysis of a complex of statistical variables into principal components // J. Educ. Psychol. 1933. Vol. 24. P. 417−441, 498−520.
  14. Hotelling H. Relations between two sets of variates // Biometrica. 1936. Vol. 28. P. 321−377.
  15. Kettenring J. R. Canonical analysis of several sets of variables // Biometrica. 1971. Vol. 56. P. 433−451.
  16. Fisher R. A. The Use of Multiple Measurements in Taxonomic Problems // The Annals of Eugenics. 1936. Vol. 7, no. 2. P. 179−188.
  17. Nerlove M., Press S. J. Univariate and multivariate log-linear and logistic models. Santa-Monica, California: Rand Corporation, 1973.
  18. Friedman J. Regularized discriminant analysis // Journal of American Statistical Association. 1989. Vol. 84. P. 165−175.
  19. Fisher R. A. The Precision of Discriminant Functions // The Annals of Eugenics. 1938. Vol. 10. P. 422−429.
  20. Greenacre M., Blasius J. Multiple Correspondence Analysis and Related Methods. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, 2006.
  21. Michailidis G., de Leeuw J. The Giffi System of Descriptive Multivariate Analysis // Statistical Science. 1998. Vol. 13. P. 307−336.
  22. Gutch H. W., Gruber P., Yeredor A., Theis F. J. ICA over finite fields -separability and algorithms // Signal Processing. 2012. Vol. 92, no. 8. P. 1796−1808.
  23. Yeredor A. Independent Component Analysis Over Galois Fields of Prime Order // IEEE Transactions on Information Theory. 2011. Vol. 57, no. 8. P. 5342−5359.
  24. Akaike H. Information theory and an extension of the maximum likelihood principle // Second International Symposium on Information Theory. Ed. by B. Petrov, B. Csaki. Academiai Kiado: Budapest. 1973. P. 267−281.
  25. Berger A. L., Pietra S. A. D., Pietra V. J. D. A Maximum Entropy approach to Natural Language Processing // Computational linguistics. 1996. Vol. 22. P. 39−71.
  26. He F. Maximum entropy, logistic regression, and species abundance // Oikos. 2010. Vol. 119. P. 572−582.
  27. Renyi A. On measures of dependance // Acta Mathematica Academiae Sci-entiarium Hungaricae. 1959. Vol. 10. P. 441−451.
  28. Joe H. Relative entropy measures of multivariate dependence // Journal of the American Statistical Association. 1989. Vol. 84. P. 157−164.
  29. Renyi A. An estimator for the mutual information based on a criterion for independence // Computational Statistics and Data Analysis. 1999. Vol. 32. P. 1−17.
  30. Green P. J. Iteratively Reweighted Least Squares for Maximum Likelihood Estimation, and Some Robust and Resistant Alternatives // Journal of the Royal Statistical Society B. 1984. Vol. 46, no. 2. P. 149−193.
  31. Buja A., Hastie Т., Tibshirani R. Linear Smoothers and Additive Models // The Annals of Statistics. 1989. Vol. 17, no. 2. P. 453−510.
  32. Gabriel K. R. Generalised bilinear regression // Biometrica. 1998. Vol. 85. P. 689−700.
  33. Silberstein N., Etzion T. Enumerative Coding for Grassmannian Space // IEEE Transactions on Information Theory. 2011. Vol. 57. P. 365−374.
  34. Borel A., Tits J. Groupes reductifs // Publ. Math. IHES 27. 1965. P. 55−152.
  35. Ф., Харрис Д. Принципы алгебраической геометрии. Москва: Мир, 1982.
  36. Calvet J., Cardillo J., Hennet J., Szigeti F. Method of Relaxation applied to optimization of discrete systems // Electronic Journal of Differential Equations. 2003. P. 13−19.
  37. Raghavan P., Thompson C. Randomized rounding: A technique for provably good algorithms and algorithmic proofs // Combinatorica. 1987. Vol. 7. P. 365−374.
  38. Land A. H., Doig A. G. An automatic method of solving discrete programming problem // Econometrica. 1960. Vol. 28. P. 497−520.
  39. Du D.-Z., Pardalos P. Handbook of Combinatorial Optimization. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1998.
  40. Owens J. D., Luebke D., Govindaraju N. et al. A survey of general-purpose computation on graphics hardware // Computer Graphics Forum. 2007. Vol. 26. P. 80−113.
  41. Suchard M. A., Rambaut A. Many-core algorithms for statistical phyloge-netics // Bioinformatics. 2009. Vol. 25. P. 1370−1376.
  42. Kirk D. B., Hwu W. M. Programming Massively Parallel Processors: A Hands-on Approach. San Francisco, CA, US: Morgan Kaufmann Publishers Inc, 2010.
  43. Preis T., Virnau T., Paul W., Schneider J. J. GPU accelerated Monte Carlo simulation of the 2D and 3D Ising model // Journal of Computational Physics. 2009. Vol. 228, no. 12. P. 4468−4477.
  44. Zhou H., Lange K., Suchard M. A. Graphics Processing Units and High-Dimensional Optimization // Statistical Science. 2010. Vol. 25, no. 3. P. 311−324.
  45. Suchard M. A., Wang Q., Chan C. et al. Understanding GPU Programming for Statistical Computation: Studies in Massively Parallel Massive Mixtures // Journal of Computational and Graphical Statistics. 2010. Vol. 19, no. 2. P. 419−438.
  46. Tibbits M. M., Haran M., Liechty J. C. Parallel Multivariate Slice Sampling // Statistics and Computing. 2011. Vol. 21, no. 3. P. 415−430.
  47. Zhou Y., Liepe J., Sheng X. et al. GPU accelerated biochemical network simulation // Bioinformatics. 2011. Vol. 27, no. 6. P. 874−876.
  48. Lee A., Caron F., Doucet A., Holmes C. Bayesian sparsity-path-analysis of genetic association signal using generalized t priors // Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology. 2012. Vol. 11, no. 2. P. 1544−6115.
  49. Lingoes J. C., Guttman L. Nonmetric factor analysis: a rank reducing alternative to linear factor analysis // Multivariate Behavioral Research. 1967. Vol. 2. P. 485−505.
  50. Kruskal J. B., Shepard R. N. A nonmetric variety of linear factor analysis // Psychometrika. 1974. Vol. 39. P. 123−157.
  51. Young F. W., Takane Y., de Leeuw J. The principal components of mixed measurement level multivariate data: an alternating least squares method with optimal scaling features // Psychometrika. 1978. Vol. 45. P. 279−281.
  52. Horst P. Relations among m sets of measures // Psychometrika. 1961. Vol. 26. P. 129−149.
  53. Nelder J., Wedderburn R. Generalized Linear Models // Journal of the Royal Statistical Society A. 1971. Vol. 135, no. 3. P. 370−384.
  54. Hastie T., Tibshirani R. Generalized Additive Models. London, England: Chapman & Hall, 1990.
  55. Yee T. W., Wild C. J. Vector Generalized Additive Models // Journal of the Royal Statistical Society B. 1996. Vol. 58, no. 3. P. 481−493.
  56. Yee T. W., Hastie T. J. Reduced-rank Vector Generalized Linear Models // Statistical Modelling. 2003. Vol. 3, no. 2. R 15−41.
  57. Hastie T., Tibshirani R., J.Friedman. The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction. NY, USA: Springer, 2009.
  58. Celeux G., Mkhadri A. Discrete regularized discriminant analysis // Statistics and Computing. 1992. Vol. 2. P. 143−151.
  59. Tutz G. An alternative choice of smoothing for kernelbased density estimates in discrete discriminant analysis // Biometrika. 1986. Vol. 73. P. 405−411.
  60. Saporta G. Discriminant analysis when all the variables are nominal, a stepwise method. Murray Hill, NJ: Spring meeting of the Psychametric Society, 1976.
  61. Thomas L. C., Edelman D. B., Crook J. N. Credit Scoring and its Applications. Philadelphia: PA: SIAM Monographs on Mathematical Modelling and Computation, 2002.
  62. Celeux G., Nakache J. Discrimination sur Variables Qualitatives. Paris: Polytechnica, 1994.
  63. Verde R., Palumbo F. Analisi fattoriale discriminante non-simmetrica su predittori qualitativi. Rimini: Atti del Convegno delia XXXVIII Riunione Scientifica della Societa Italiana di Statistica, 1996.
  64. Shannon C. A mathematical theory of communication // Bell System Technical Journal. 1948. Vol. 27. P. 379−423.
  65. А. Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // Доклады АН СССР. 1958. Т. 5.
  66. Cercignani С. The Boltzmann equation and its applications. Berlin: Springer, 1988.
  67. Jaynes E. T. Information theory and statistical mechanics // Physical Review. 1957. Vol. 106, no. 4. P. 620−630.
  68. Jaynes E. T. Information theory and statistical mechanics II // Physical Review. 1957. Vol. 108, no. 2. P. 171−190.
  69. Jaynes E. T. Information theory and statistical mechanics // Statistical Physics, K. Ford (ed.), Benjamin, New York. 1963. P. 181−218.
  70. Э. Т. О логическом обосновании методов максимальной энтропии // ТИИИЭР. 1982. Т. 70, № 9. С. 33−51.
  71. Burg J. P. Maximum Entropy Spectral Analysis: Ph.D. thesis / Stanford University, Stanford, CA. 1975.
  72. Hinton G. E., Sejnowski Т. J. Learning and relearning in Boltzmann machines //In Rumelhart, D. E. and McClelland, J. L., editors, Parallel Distributed Processing: Explorations in the Microstructure of Cognition. 1986. Vol. 1. P. 282−317.
  73. Pietra S. D., Pietra V. D., Lafferty J. Inducing features of random fields // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1997. Vol. 19. P. 380−393.
  74. Theil H. On the estimation of relationships involving qualitative variables // American Journal of Sociology. 1970. Vol. 76. P. 103−154.
  75. Sarndal С. E. A comparative study of association measures // Psychometri-ka. 1974. Vol. 39. P. 165−187.
  76. Cover Т. M., Thomas J. Elements of information theory, 2nd edition. New York: Wiley, 2006.
  77. Kojadinovic I. On the use of mutual information in data analysis: an overview // Proceedings of 11th International Symposium on Applied Stochastic Models and Data Analysis. 2005. P. 738−747.
  78. Chellappa R., Turaga P., Veeraraghavan A. Statistical analysis on Stiefel and Grassmann Manifolds with applications in Computer Vision // IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. 2008. P. 1−8.
  79. Ghorpade S., Tsfasman M. Schubert varieties, linear codes and enumerative combinatorics // Finite Fields and Their Applications. 2005. P. 684−699.
  80. А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. Москва: Наука, 1986.
  81. Knuth D. E. Subspaces, subsets, and partitions // Journal of Combinatorial Theory. 1971. Vol. 10. P. 178−180.
  82. Thomas S. Designs over finite fields // Geometriae Dedicata. 1987. Vol. 21. P. 237−242.
  83. Martin W. J., Zhu X. J. Anticodes for the Grassman and biliniar forms graphs // Designs, Codes, and Cryptography. 1995. Vol. 6. P. 73−79.
  84. Schwartz M., Etzion T. Codes and anticodes in the Grassman graph // Journal of Combinatorial Theory, Series A. 2002. Vol. 97. P. 27−42.
  85. Manganiello F., Gorla E., Rosenthal J. Spread codes and spread decoding in network coding //In Proceedings of International Symposium on Information Theory. July 2008. P. 881−885.
  86. Silva D., Kschischang F. R. On metric for error correction in network coding // IEEE Trans. Information Theory. December 2009. Vol. IT-55. P. 5479−5490.
  87. Koetter R., Kschischang F. R. Coding for errors and erasures in random network coding // IEEE Trans. Information Theory. August 2008. Vol. 54, no. 8. P. 3579−3591.
  88. Guan D.-J. Generalized Gray Codes with Applications // Proc. Natl. Sei. Counc. Repub. Of China (A). 1998. Vol. 22. P. 841−848.
  89. Sanders J., Kandrot E. CUDA by Example An Introduction to General-Purpose GPU Programming. US: Addison-Wesley Professional, 2010.
  90. Bouillaguet C., Chen H. C., Cheng C. M. et al. Fast Exhaustive Search for Polynomial Systems in F2 // Cryptographic Hardware and Embedded Systems, Lecture Notes in Computer Science. 2010. Vol. 6225. P. 203−218.
  91. Fluck О., Aharon S., Cremers D., Rousson M. GPU histogram computation // In Proceeding SIGGRAPH ACM, Research posters. 2006.
  92. Shams R., Barnes N. Speeding up Mutual Information Computation Using NVIDIA CUDA Hardware //In Proceedings 9th Biennial Conference of the Australian Pattern Recognition Society on Digital Image Computing Techniques and Applications. 2007. P. 555−560.
  93. Shams R., Kennedy R. A. Efficient histogram algorithms for NVIDIA CUDA compatible devices //In ICSPCS. 2007.
  94. Koppaka S., Mudigere D., Narasimhan S., Narayanan B. Fast histograms using adaptive CUDA streams // http://arxiv.org/abs/1011.0235.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!