Замечательные кривые

Введение

Глава I. Замечательные кривые

§ 1. Кривые второго порядка. Общее уравнение кривой второго порядка

п. 1. Окружность п. 2. Эллипс п. 3. Гипербола п. 4. Парабола

§ 2. Некоторые кривые, встречающиеся в математике Глава II. Рабочая тетрадь «Кривые»

Введение

Понятие линии определилось в сознании человека в доисторические времена. Наблюдения за изгибами берега реки, траекторией брошенного камня, очертаниями листьев растений и цветов послужили основой для постепенного установления понятия кривой. Однако потребовалось очень много времени, прежде чем люди начали сравнивать между собой различные линии и отличать одну кривую от другой. Лишь в XVIIв. появилось абстрактное понятие линии, начались исследования свойств кривых.

Кривая (линия) — след, оставленный движущейся точкой или телом. Обычно кривую представляют лишь как плавно изгибающуюся линию, вроде параболы или окружности. Но математическое понятие кривой охватывает и прямую, и фигуры, составленные из отрезков прямых, например, треугольник или квадрат.

В школьном курсе математики в качестве кривых рассматриваются графики функций. В новых стандартах по математике профильного уровня обучения предусматривается изучение параболы, эллипса, гиперболы.

Некоторые понятия кривых встречаются нам в нашей повседневной жизни, хотя чаще всего мы этого не замечаем. Например, по круговой траектории движутся люди при катании на колесе обозрения, карусели, по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома; по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца, по параболе — тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту.

Знакомство с кривыми, изучение их свойств позволит расширить геометрические представления, углубить знания, повысить интерес к геометрии; создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики и других наук.

Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы дипломной работы.

Целью является изучение теории замечательных кривых.

Объектом исследования явились замечательные кривые, а также задачи, связанные с ними.

Предметом исследования является изучение теории замечательных кривых.

Цель исследования обусловила выбор следующих частных задач:

1. отобрать теоретический материал по теме дипломной работы;

2. обобщить и систематизировать материал;

3. рассмотреть основные типы задач и их решение.

Структура дипломной работы следующая. Первая глава содержит теоретический материал по теории кривых. Здесь рассматриваются такие кривые, как окружность, эллипс, гипербола, парабола, а также кривые, наиболее часто встречающиеся в математическом анализе: Анъези локон, Декартов лист, Бернулли лемниската, кардиоида, цепная линия, астроида, циклоида.

Вторая часть дипломной работы представлена в виде рабочей тетради. Данная тетрадь разработана для студентов I и II-го курсов. В ней предлагаются задания по степени возрастания сложности по данной теме.

При работе над дипломной работой использовались в качестве основных источников учебники Агапова П. Е., Далингера В. А., Ильина В. А., Позняка Г., Привалова И. И., Шипачева В.С.

Глава I. Замечательные кривые

§ 1. Кривые второго порядка. Общее уравнение кривой второго порядка

Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.

Определение: Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют следующему общему уравнению кривой второго порядка:

(1)

где коэффициенты А, 2 В, С, 2D, 2E и F — любые числа и, кроме того, числа А, В и С не равны нулю одновременно, т. е.. (Шипачев В.С.)

Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы являются частными случаями уравнения (1). (Привалов И.И.)

Теорема 1. Пусть в прямоугольной системе координат задано общее уравнение кривой второго порядка. Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

1) (Эллипс);

2) (Мнимый эллипс);

3) (Пара мнимых пересекающихся прямых);

4) (Гипербола);

5) (Пара пересекающихся прямых);

6) (Парабола);

7) (Пара параллельных прямых);

8) (Пара мнимых параллельных прямых):

9) (Пара совпавших прямых).

п. 1. Окружность

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра). Окружность (рис.1) с центром в точке и радиусом имеет уравнение в прямоугольных координатах:

Рис.1

(2)

Раскрывая скобки, придадим уравнению (2) вид:

(2')

или (2'')

где положено

Уравнение (2'') является уравнением второй степени. Итак, окружность имеет уравнение второй степени относительно текущих координат. Но, очевидно не всякое уравнение второй степени определяет окружность. Действительно, из уравнения (2'') усматриваем, что в уравнении окружности коэффициенты при квадратах координат равны, а член с произведением координат отсутствует. Обратно, если эти два условия (равенство коэффициентов при и и отсутствие члена) осуществлены, то уравнение, вообще говоря, определяет окружность, так как оно приводится к виду (2'') путем деления на коэффициент при. (Привалов И. И)

Итак, по виду данного уравнения второй степени мы можем решить, является ли оно уравнением окружности или нет. Например, уравнение определяет окружность, так как в нем коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а член с произведением отсутствует. Желая построить эту окружность, мы должны предварительно определить координаты ее центра и радиус. С этой целью данное уравнение мы приведем к виду (2). Такое представление есть не что иное, как представление уравнения (2'') в виде (2). Возьмем в данном уравнении члены, содержащие, т. е. и представим этот двучлен в виде:

т.е. выделим из членов, содержащих, полный квадрат линейного двучлена. Далее возьмем члены, содержащие, т. е. И, преобразуя, этот двучлен таким же образом, получим:

После этого данное уравнение запишется так:

Перенося свободные члены вправо, будем иметь:

Сравнивая это уравнение с уравнением окружности (2), усматриваем, что, Таким образом, центром окружности является точка и радиус окружности равен. По этим данным можно построить окружность.

Параметрические уравнения окружности:

Уравнение окружности в полярных координатах:

Отметим, что движение по окружности часто встречается в физике и технике, по круговой траектории движутся люди при катании на колесе обозрения, карусели, по круговым орбитам могут двигаться искусственные спутники Земли. Хорошо известна планетарная модель атома водорода по Резерфорду. В центре атома находится ядро, а электрон вращается вокруг него. (Энц. словарь юного математика)

п. 2. Эллипс

Название «Эллипс» ввёл Аполлоний Пергский, рассматривая эллипс как одно из конических сечений. Эллипс (греч. elleipsis — недостаток) — линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все прямолинейные образующие одной полости этого конуса.

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F1 и F2. (Шипачев В.С.)

Пусть М — произвольная точка эллипса (рис 2.) с фокусами F1 и F2. Отрезки F1М и F2М (так же как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму фокальных радиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F1М + F2М = const=2а> F1 F2 (3)

Данное неравенство необходимо: оно означает, что сумма двух сторон F1 F2 М больше третьей. Если точки F1 и F2 сливаются, то условие (3) сводится к тому, что FM= const; точки с этим условием образуют окружность. Она считается частным (иногда вырожденным) случаем эллипса. (Александров А.Д.)

Рис. 2.

Середина 0 отрезка F1F2 (фокусного расстояния) называется центром эллипса. Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с.

Вывод канонического уравнения эллипса

Пусть дан какой-нибудь эллипс с фокусами F1, F2. (рис.3).

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки М до фокусов

Рис. 3.

(r1 = F1М, r2 = F2М).

Точка М будет находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r1 + r2 = 2а. (4)

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 и r2 их выражениями через координаты х, у.

Заметим, что, так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1 и F2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); учитывая это и применяя формулу расстояния между двумя точками, находим

(5)

Заменяя r1 и r2, получаем:

(6)

Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, получим:

или

(7)

Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

Откуда

(8)

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

; (9)

Так как по условию а>с, следовательно, и величина b_положительное число. Из равенства (8) имеем

тогда уравнение (8) можно переписать в виде

Разделив обе части этого равенства на a2b2, окончательно получим

. (10)

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, где, а и b — длины большой и малой полуосей эллипса. При a = b фокусы F1 и F2 совпадают, и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса. Уравнение, определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситет эллипса

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси (Шипачев); обозначив эксцентриситет буквой ?, получаем:

.

Так как с<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Заметим, что поэтому

;

отсюда

и

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ?2, тем меньше, следовательно, отношение; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут вдоль большей оси.(Агапов П.Е.) В случае b=a, уравнение (10) принимает вид:

или .

Это уравнение является уравнением окружности с центром в начале координат и с радиусом равным а. Значит, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, когда полуоси его равны между собой и эксцентриситет равен нулю:

Эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса.

Как известно, планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам. Оказывается, что эксцентриситеты планетных орбит весьма малы, а кометных — велики, т. е. близки к единице. Таким образом, планеты движутся почти по окружности, а кометы то приближаются к Солнцу (Солнце находится в одном из фокусов), то удаляются от него.

Директрисы эллипса

Рис. 4.

Определение: Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса. (а — большая полуось,? — эксцентриситет эллипса). (Погорелов А.В.)

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид:

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую — правой. Так как для эллипса <, то. Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса; аналогично, левая директриса расположена левее его левой вершины (рис.4).

п.3. Гипербола

Гипербола (греч. hyperbole) — плоская кривая линия. Это линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающая обе его полости. (Политехнический словарь) По гиперболе движутся тела, навсегда покидающие Землю, скорость которых больше, чем 2-я космическая (11,2 км/c). Также по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома. (Математический энциклопедический словарь) Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; (Шипачев В.С.) указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Т. е. если F1 и F2 — данные точки, то гипербола образуется точками М, для которых <. Неравенство здесь выражает, что разность двух сторон F1F2М меньше третьей. (Александров А.Д.) Рис. 5.

Фокусы гиперболы принято обозначать через F1 и F2, а расстояние между ними — через 2с.

Пусть М — произвольная точка гиперболы с фокусами F1 и F2. (рис.5) Отрезки F1М и F2М (так же, как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусами точки М и обозначаются через r1 и r2 (,). По определению гиперболы разность фокальных радиусов ее точки М есть постоянная величина; эту постоянную принято обозначать через 2а. (Шипачев В.С.)

Вывод канонического уравнения гиперболы

Рис. 6.

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F1 и F2. (Рис.6). Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F1М и F2М через r1 и r2. Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда

(11)

Так как F1F2=2с и так как фокусы F1 и F2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание, находим:

. (12)

Заменяя r1 и r2, получаем:

. (13)

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе. Возведём обе части равенства в квадрат; получим:

или

. (14)

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:

откуда

(15)

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

; (16)

с>a, следовательно, с2—а2>0 и величина b—положительное число. Из равенства (15) имеем

Поэтому уравнение (15) принимает вид:

или

. (17)

Уравнение, определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.

Эксцентриситет гиперболы

Гипербола состоит из двух ветвей (правой и левой) и имеет две асимптоты:

и

Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) — центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются ее вершинами (на рис. 7 они обозначены буквами, А и А?). Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b (см. рис.7) называется основным прямоугольником гиперболы. Величины, а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Рис. 7.

Уравнение

(18)

переставляя буквы х и у, а и b, можно привести к виду (17). Отсюда ясно, что уравнение (18) определяет гиперболу, расположенную так, как показано на рис. 7 справа; вершины ее лежат на оси Оу. Эта гипербола называется сопряженной по отношению к гиперболе (17) (Погорелов А.В.). Обе гиперболы имеют одни и те же асимптоты.

Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней, и ее каноническое уравнение имеет вид

(19)

Так как основной прямоугольник равносторонней гиперболы является квадратом, то асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны друг другу.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами (Шипачев В.С.); обозначив эксцентриситет буквой ?, получим:

.

Так как с > a, то? > 1, т. е. эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Заметим, что; находим:

откуда

и .

Из последнего равенства легко получить геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Эксцентриситет определяется отношением, а отношение в свою очередь определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше тем меньше, следовательно, отношение; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). (Агапов П.Е.)

В случае равносторонней гиперболы a = b и? = v2.

Директрисы гиперболы

Рис. 8.

Определение: Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гиперболы.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую — правой.

Так как для гиперболы? >1, то. Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы; аналогично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной (рис.8).

Установленное свойство эллипса и гиперболы можно положить в основу общего определения этих линий:

Множество точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы величина постоянная, равная ?, это эллипс, если? < 1, и гипербола, если? > 1. (Шипачев В.С.)

Возникает вопрос, что представляет собой множество точек, определенное аналогичным образом при условии Оказывается, это новая линия второго порядка, называемая параболой.

п.4. Парабола

Парабола (греч. parabole) — кривая второго порядка.

Определение: Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус). (Шипачев В.С.)

Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до директрисы — буквой p. Величину р называют параметром параболы.

Рис. 9.

Пусть дана какая-нибудь парабола (рис.11). Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r расстояние от точки М до фокуса F (r=), через d—расстояние от точки М до директрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда

r=d. (20)

Вывод канонического уравнения параболы Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d их выражениями через текущие координаты х, у.

Заметим, что фокус F имеет координаты; приняв это во внимание, находим:

. (21)

Обозначим через N основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка N имеет координаты тогда с помощью формулы, выражающей расстояние между точками М и N, получаем:

(22)

число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть, откуда .

Заменяя в равенстве (20) r и d выражениями (21) и (22), найдем

(23)

Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе. Приведем его к более удобному виду, для чего возведем обе части равенства (23) в квадрат. Получаем:

или у2=2рх. (24)

Проверим, что уравнение (24), полученное возведением в квадрат обеих частей равенства (23), не приобрело «лишних» корней. Для этого достаточно показать, что для любой точки, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (22), выполнено соотношение (20). Действительно, из уравнения (24) вытекает, что х? 0, поэтому для точек с неотрицательными абсциссами имеем d = + x. Подставляя значение у2 из уравнения (24) в выражение (21) и учитывая, что х? 0, получаем r = + x, т. е. величины r и d равны, что и требовалось доказать. Таким образом, уравнению (24) удовлетворяют координаты точек данной параболы, и только они, т. е. это уравнение является уравнением параболы.

Уравнение (24) называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у2=2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка. (Агапов П.Е.)

Исследование формы параболы

Исследуем теперь форму параболы по ее каноническому уравнению. Так как уравнение (24) содержит у только в четвертой степени, то парабола симметрична относительно оси Ох. Следовательно, достаточно рассмотреть только ее часть, лежащую в верхней полуплоскости. Для этой части у? 0, поэтому, разрешая уравнение (24) относительно у, получаем:

у = (25)

Из равенства (25) вытекают следующие утверждения:

1. если х < 0, то уравнение (25) дает мнимые значения у и поэтому левее оси Оу ни одной точки параболы нет;

2. если х = 0, то у = 0, т. е. начало координат лежит на параболе и является самой «левой» ее точкой;

3. при возрастании х возрастает и у, причем если х > +?, то и у > +?.

Таким образом, переменная точка М (х; у), перемещающаяся по параболе, исходит из начала координат и с ростом х движется «вправо» и «вверх», причем при х > +? точка М бесконечно удаляется как от оси Оу, так и от оси Ох.

Симметрично отражая рассмотренную часть параболы относительно оси Ох, получаем всю параболу (рис. 10, а), заданную уравнением (24).

Рис.10

Точка О называется вершиной параболы, ось симметрии (ось Ох) — осью параболы. Число р, т. е. параметр параболы, как известно, выражает расстояние от фокуса до директрисы. Выясним, как влияет параметр параболы на ее форму. Для этого возьмем какое-нибудь определенное значение абсциссы, например,, и из уравнения (24) найдем соответствующие значения ординаты: у =. Получаем на параболе две точки М1(1;) и М2(1; -), симметричные относительно ее оси; расстояние между ними равно. Отсюда заключаем, что это расстояние тем больше, чем больше р. Следовательно, параметр р характеризует «ширину» области, ограниченной параболой. В этом и состоит геометрический смысл параметра р.

Парабола, уравнение которой у2 = -2рх, р > 0, расположена слева от оси ординат (Рис. 10, б). Вершина этой параболы совпадает с началом координат, осью симметрии является ось Ох.

§ 2. Кривые третьего порядка

п. 1.Анъези локон

Рис.1

Это плоская алгебраическая кривая 3-го порядка (Рис. 1.). Уравнение в прямоугольных координатах:

.

Если, а — диаметр окружности с центром в точке (0;), OD — секущая, ВМ параллельна оси Ох, АМ — оси Оу. Максимум С (0;а), радиус кривизны в нем R=(радиус производящей окружности). Локон Анъези имеет две точки перегиба (), асимптоту — ось Ох. Площадь между кривой и асимптотой .

Данная кривая названа по имени М. Анъези, изучавшей эту кривую (1748г).

п. 2. Декартов лист

Рис.2

Впервые в истории математики кривая, названная впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Ферма в 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и некоторой константе. Форма кривой устанавливается впервые Робервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квадрантах, он получает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическое название кривой «лепесток жасмина», однако, не привилось. Полная форма кривой с наличием асимптоты была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов лист» прочно установилось только с начала 18 века.

Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид:

(1) (Далингер В.А.)

Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая, присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относительно х и у, в результате будем иметь: откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.

Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид:

Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы. Обычное исследование на особые точки приводит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая к нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем откуда получим и — искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой в точке .

Точки этой петли, в которых касательные параллельны координатным осям, имеют координаты и (cм. рис. 2).

Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту Заменяя в уравнении кривой на приравняем к нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим и откуда и Таким образом, декартов лист имеет асимптоту следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.

Определяя площадь, ограниченную петлей декартова листа, получим:

§ 3. Кривые четвертого порядка

п. 1. Бернулли лемниската

Лемниската Бернулли — одна из самых замечательных алгебраических линий. Из вида уравнения кривой следует, что кривая состоит из двух симметричных лепестков (по внешнему виду эта кривая напоминает перевернутую восьмерку или бантик).(Математика в школе 2001 № 1).

Рис.3

Лемниската — кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек — фокусов — постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. Ее автор — швейцарский математик Якоб Бернулли (1654−1705) дал этой кривой поэтическое название «лемниската». В античном Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. (Энц.словарь юного математика)

Лемниската Бернулли — алгебраическая кривая 4-го порядка. Уравнение в прямоугольных координатах:

(Далингер В)

В полярных координатах:

Если длина отрезка есть, то расстояния от середины отрезка до и равны и произведение этих расстояний равно Потребуем сначала, чтобы величина неизменного произведения равнялась как раз; тогда точка будет лежать на лемнискате, а сама лемниската будет иметь вид «лежащей восьмерки» (рис. 3).

Кривая симметрична относительно осей и начала координат, которое является узловой точкой с касательными и точкой перегиба. Радиус кривизны: Площадь каждой петли (Математический энц. словарь)

Если продолжить отрезок в обе стороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки и. Выразим расстояние между через известное расстояние :

Если величину неизменного произведения взять не равной, то лемниската изменит свой вид. И при меньше, лемниската состоит из двух овалов, каждый из которых содержит точки и, соответственно (рис.4).

Рис. 4.

Т.о. задавая различные условия для и будем получать лемнискаты различного вида (рис. 5).

Рис. 5.

В технике лемниската используется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвайных путях. Таким образом, она обеспечивает плавность закругления, без которой центробежная сила, действующая на поезд, возрастала бы резко, доставляя неудобство пассажирам.

п. 4. Кардиоида

Кардиоида — алгебраическая кривая четвертого порядка (рис.11). Уравнение в прямоугольных координатах:

(Далингер В.А., Мат. энц. Сл.).

Кардиоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса, который катится по окружности неподвижного круга с таким же радиусом.

Параметрические уравнения кардиоиды:

(1)

Рис.6

Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку, А (рис.6), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как четырехугольник будет равнобедренной трапецией, то полярный угол точки М окажется равным углу поворота производящего круга, т. е. параметру. Учитывая это обстоятельство, заменим во втором уравнении системы (1) через. Сокращая полученное таким образом равенство на, получим полярное уравнение кардиоиды

Кардиоида симметрична относительно оси Ох. Точка с координатами — точка возврата.

Свойства кардиоиды:

1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противоположную точке касания кругов, а нормаль — через точку их касания.

2. Угол, составляемый касательной к кардиоиде с радиус-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиус-вектором с полярной осью. Действительно

откуда

Из этого соотношения непосредственно вытекает, что угол, составляемый касательной к кардиоиде с осью абсцисс, равняется (как внешний угол треугольника AMN Рис.6).

Заметим еще, что геометрическое место точек пересечения касательных есть окружность Действительно, уравнение первой касательной на основании уравнений (1) кардиоиды, будет иметь вид, а второй касательной

Исключая из этих уравнений параметр, получим уравнение указанной окружности.

Рис. 7.

3. Радиус кривизны в произвольной точке кардиоиды определится по формуле:

4. Длина дуги от точки, А до точки М:

;

5. Площадь, ограниченная кардиоидой, определится по формуле:

и, как видно, равна ушестеренной площади производящего круга. Длина всей кардиоиды определится по формуле:

и, как видно, равна восьми диаметрам производящего круга.

§ 5. Трансцендентные кривые

п. 4. Цепная линия

Цепная линия — одна из тех плоских кривых, которые мы повседневно наблюдаем, возможно не задумываясь об ее форме. Свое название цепная линия получила из-за того, что любая гибкая, тяжелая нерастяжимая струна, закрепленная на концах, является частью цепной линии, как, например, провод электропередачи. (Энц.словарь юного математика)

Вопрос о форме кривой провисания связан с известным заблуждением Галилея, который также ошибочно полагал, что эта кривая будет обычной параболой (1638). Гюйгенс опроверг это утверждение, а в 1699 г. был поставлен интересный эксперимент, который убедительно показал, что кривая провисания и парабола — разные по своей природе кривые. Цепная линия отличается от параболы, в частности, тем, что при крутизна цепной линии увеличивается несравненно быстрее, чем у параболы.(М. в шк № 8)

Рис. 8.

Уравнение цепной линии: (Далингер) МК касательная к цепной линии (рис.8).

Свойства цепной линии:

· длина дуги цепной линии от ее вершины (точки пересечения цепной линии с осью ординат) до точки М (х;у)равна ;

· площадь, ограничиваемая цепной линией, двумя ординатами и осью абсцисс, пропорциональна длине соответствующей дуги.

В области техники цепная линия используется в расчетах, связанных с провисанием нитей — проводов, тросов. В строительной технике она находит применение при проектировании сводов зданий. Форму цепной линии имеют и висячие мосты, у которых только две крайние опоры. Кстати, если цепь висячего моста поддерживает настил моста с помощью ряда вертикальных стержней, то висячий мост будет иметь форму параболы. (М. в шк. № 8 2004)

§ 6. Циклоидальные кривые

п. 1. Астроида

Астроида представляет собой траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по внутренней стороне другого, неподвижного круга, радиус R которого в четыре раза больше. Астроида — кривая шестого порядка. (Далингер)

Параметрические уравнения астроиды: (2)

где, как и ранее, угол поворота производящего круга (рис.9). Исключая из уравнений (2) параметр, получим:

(3)

Рис. 9.

Параметрические уравнения (2) астроиды можно привести к виду:

Исключая из этих уравнений параметр, получим часто употребляемый вид уравнения астроиды: .

Радиус кривизны в произвольной точке астроиды определяется по формуле:

.

кривая уравнение парабола гипербола

Длина дуги астроиды от точки, А до произвольной точки M (t) определится по формуле:

.

Длина одной ветви равна, а длина всей кривой 6R;

Площадь, ограниченная всей астроидой, равна

п. 5. Циклоида

Циклоида (от греч. слова kykloeides — «кругообразный») — плоская кривая. Циклоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга единичного радиуса (производящего круга), который без скольжения катится по прямой (направляющей прямой) (М.в шк.2004 № 8).

Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую (рис. 37), называемую циклоидой. Одному обороту обруча соответствует одна «арка» циклоиды MM’M''N', если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.

Рис.37

Построим приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении круга на данной прямой. Разделим этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш круг в том его положении, когда он опирается именно на данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Чтобы перейти из одного положения в соседнее, круг должен повернуться на одну шестую полного оборота (т.к расстояние между соседними точками деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0, то в положении 1 он будет лежать в точке M1 — на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 — в точке М2 — на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки M1, M2, М3 и т. д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от точки касания Рис.38

Одной из замечательных задач, решенных в 17 В., была следующая: «В вертикальной плоскости найти такую кривую, что время, потребное для того, чтобы тяжелая материальная точка, двигаясь по этой кривой, спустилась до определенного уровня, не зависело от исходного положения этой материальной точки на кривой». Говоря научным языком, чтобы период точки колебаний не зависел от амплитуды колебаний. Искомой кривой, если пренебрегать действием силы трения, оказалась циклоида. (М.в шк. 2004№ 8). Используя это свойство, Х. Гюйгенс сконструировал часы.

Циклоиду открыл и предложил это название Галилей; во Франции ее называли трохоидой, или рулеттой. Блез Паскаль писал: «Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как рассмотрели ее древние…, ибо это ни что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, когда оно катится своим движением с того момента, когда гвоздь начал подниматься от земли, до того, непрерывное качение колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота» (Гиндикин С.Г.)

Длина арки циклоиды равна восьми радиусам производящего круга.

Уравнение циклоиды:. (Мат. энц. словарь)

Пояснительная записка Данная рабочая тетрадь разработана по теме: «Кривые». Она представляет собой систему занятий, предназначенных для работы со студентами первого и второго курсов математического факультета и просто людей, увлекающихся математикой. Рабочая тетрадь призвана помочь всем желающим пополнить и углубить свои знания в области геометрии. Данная рабочая тетрадь состоит из 10 занятий. После изучения данного курса учащиеся должны научиться, определять является ли функция решением дифференциального уравнения, решать простейшие дифференциальные уравнения, находить частные решения дифференциального уравнения, а также решать задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Основные сведения

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой __________________________________________________________________Окружность с центром в точке и радиусом имеет уравнение в прямоугольных координатах:

_____________________

Параметрические уравнения окружности:

Уравнение окружности в полярных координатах:

Пример 1: Найти координаты центра и радиус окружности

.

Решение: Дополнив члены, содержащие у до полного квадрата, получим

или ,

т.е. центр окружности в точке, а ее радиус .

Упражнения:

Задание 1. Написать уравнение окружности, зная, что:

а) центр окружности лежит в точке (-2;-3) и радиус ее равен 3 единицам длины;

б) центр лежит в точке (2;-3) и окружность проходит через точку (5;1).

а) _____________________________________________

б)_____________________________________________

______________________________________________

Задание 2. Какие значения должны иметь коэффициенты уравнения

Чтобы оно определяло окружность радиуса 5 с центром в точке (3;2)?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3. Определить координаты центра и радиус окружности, выражаемой уравнением:

а)

Решение:

Дополнив члены, содержащие и у до полного квадрата, получим:

_________________________ или ________________

т.е. центр окружности в точке О (_; _), а ее радиус __.

б)

Разделим уравнение на __, чтобы коэффициенты, стоящие перед и равнялись 1, получим: ______________________

Дополнив члены, содержащие и у до полного квадрата, получим:

_________________________ или ________________

т.е. центр окружности в точке О (_; _), а ее радиус __.

Задание 4. Определить координаты центра и радиус окружности, выражаемой уравнением и начертить данную окружность:

а)

_______________________________________________________________________________________________________________________________

O (_;_) R=

а)

б)

______________________________________________________________________________________________________________________________

О (_; _) R=

б)

Эллипс

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых_____________________________________________________________________________________________________________________________

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: ________________

При a = b фокусы F1 и F2 ________________, и указанное уравнение определяет ______________.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение ____________________________________________________________________________________________________________________________________

Эксцентриситет характеризует ______________ эллипса. В случае окружности b=a и ?= __.

Определение: Директрисами эллипса называются две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и ____________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример 1. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

.

Решение:

Разделив обе части уравнения на 192, получим уравнение эллипса в виде:

.

Заключаем, что,. Следовательно, а = 8, b =. Отсюда

т. е. и .

Значит,

.

Пример 2. Привести уравнение эллипса к каноническому виду. Определить полуоси и центр данной кривой.

Решение:

Дополнив члены, содержащие и у до полного квадрата, получим:

или .

Разделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение эллипса:

Следовательно данный эллипс с полуосями и имеет центр в точке

Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М1 (2; 3) и М2 (1;).

Решение: Пусть искомое уравнение эллипса имеет вид:

Координаты данных точек удовлетворяют этому уравнению. Подставив вместо х и у сначала координаты точки М1, а затем координаты точки М2, получим систему уравнений Полагая = m; = n, приходим к системе решив которую, найдем m =, n =, откуда а2 = 16, b2 = 12. Следовательно, искомое уравнение эллипса имеет вид

Упражнения:

Задание 1. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что:

а) полуоси его равны соответственно 5 и 4

_____________________________________________________________

б) расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10;

Решение:

По условию с = __; а = __. Следовательно, b = ______________

Простейшее уравнение эллипса примет вид: _____________

в) малая полуось равна 2 и расстояние между фокусами равно 6;

Решение:

По условию с = __; b = __. Следовательно, а = ______________

Простейшее уравнение эллипса примет вид: _____________

г) большая полуось равна 10 и эксцентриситет ;

Решение:

По условию, а = __;. Значит,

Простейшее уравнение эллипса примет вид: _____________

д) малая полуось равна 6 и эксцентриситет равен 0,8;

Решение:

_____________________________________________________________

Ответ: ____________

е) эксцентриситет равен 0,8 и расстояние между фокусами равно 8;

Решение:

По условию с = __;. По определению эксцентриситета, найдем длину большой полуоси, а = ____________.

Затем, по формуле = ____________

Простейшее уравнение эллипса примет вид: _____________

Задание 2. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса: а) ;

Решение:

Разделив обе части уравнения на ____, получим уравнение эллипса в виде: ____________. Заключаем, что __, __. Следовательно, а = __, b = __. Отсюда _______________, т. е. F1 (__; __) и F2 (__; __). Значит, .

б)

Решение:

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3. Определить эксцентриситет эллипса, если:

а) его большая ось втрое больше малой;

Решение:

Т.к. большая ось втрое больше малой, тогда b = ___, с = _____________

Тогда _____.

б) его оси относятся, как

Решение:

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4. Дан эксцентриситет эллипса. Найти отношение его полуосей. Как величина эксцентриситета характеризует форму эллипса?

Решение:

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5. Привести уравнение эллипса к каноническому виду. Определить полуоси и центр данной кривой и построить ее.

Решение:

Дополнив члены, содержащие и у до полного квадрата, получим:

_______________________или ______________. Разделив обе части уравнения на __, получим каноническое уравнение эллипса:

____________________

Следовательно данный эллипс с полуосями и имеет центр в точке (__;__)

Задание 6. Написать уравнения директрис эллипса .

Решение:

Исходя из канонического уравнения эллипса, находим, а = __ и b = ___

Через отношение полуосей, найдем

Отсюда, уравнения директрис получаем в виде: _____________

Задание 7. Изобразить эллипс, зная, что его эксцентриситет и уравнения директрис задаются уравнениями

Решение:

По определению директрис, находим, а = _______________________

Через отношение полуосей, найдем b = ________________

Cоставляем каноническое уравнение эллипса:

____________________

Задание 8. Расстояние между директрисами эллипса равно 36. Найти уравнение этого эллипса, зная, что фокальные радиусы некоторой его точки равны 9 и 15.

Решение:

Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М1 (4; 5) и М2 (1;3).

Решение:

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________