Механика, молекулярная физика и термодинамика

МЕХАНИКА, МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Конспект лекций для 1 семестра изучения курса «Физика»

I. МЕХАНИКА И ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

1. Кинематика поступательного и вращательного движений материальной точки

Механическим движением тел называют изменение их положения (или положения их частей) в пространстве с течением времени. В основе классической механики лежат законы Ньютона.

Кинематика изучает механическое движение с геометрической точки зрения и не рассматривает причины, вызывающие это движение. В механике рассматривается движение таких объектов, как материальная точка и абсолютно твердое тело.

Материальной точкой называется тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Абсолютно твёрдым телом называется тело, деформацией которого в данных условиях можно пренебречь. Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко связанных между собой.

1.1 Кинематические характеристики движения материальной точки

Описать движение материальной точки — значит знать ее положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Системой отсчёта называется система координат, связанная с телом отсчёта и снабжённая синхронизированными часами. Наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат (рис. 1).

Рис. 1

Положение материальной точки характеризуется радиусом-вектором, проведённым из начала координат в данную точку (рис. 1). Проекции радиуса-вектора на координатные оси соответствуют координатам точки в выбранной системе координат (рис. 1):

.

Движение материальной точки задано, если известна зависимость координат точки от времени, т. е.

или.

Данные уравнения являются кинематическими уравнениями движения материальной точки, или законом движения точки. В процессе движения конец радиуса-вектора, связанный с точкой, описывает в пространстве кривую, называемую траекторией движения материальной точки. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения.

Перемещением материальной точки называют вектор, проведённый из начальной точки в конечную точку траектории (рис. 1):

.

Вектор может быть выражен через приращения координат и орты соответствующих осей (единичные векторы, направленные по осям):

.

Модуль вектора перемещения можно определить следующим образом:

.

Путь материальной точки S₁₂ это длина траектории.

Скорость векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения тела в пространстве, равная перемещению тела за единицу времени. Различают среднюю и мгновенную скорости.

средняя скорость;

мгновенная скорость;

среднее значение модуля скорости.

Вектор средней скорости направлен так же, как и вектор перемещения. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения так же, как вектор элементарного перемещения:. Так как, где dS элементарный путь, то модуль мгновенной скорости равен производной пути по времени:

.

В декартовой системе координат скорость можно представить через её проекции на оси:

Модуль скорости может быть найден по следующей формуле:

.

При рассмотрении движения тела относительно двух различных инерциальных систем отсчета используют классический закон сложения скоростей: скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы и скорости самой движущейся системы относительно неподвижной :

.

Ускорение векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости с течением времени, равная приращению скорости за единицу времени. Различают среднее и мгновенное ускорения.

среднее ускорение,

мгновенное ускорение.

Вектор ускорения может быть представлен через его проекции на координатные оси:

где, , .

Модуль ускорения можно определить следующим образом:

.

1.2 Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения

Часто используется представление ускорения через две составляющие: тангенциальное и нормальное ускорения (рис. 2):

;

.

Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю (величине) и направлено по касательной к траектории:

где производная модуля скорости, единичный вектор касательной, совпадающий по направлению со скоростью.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и направлено по радиусу кривизны к центру кривизны траектории в данной точке:

где R радиус кривизны траектории, единичный вектор нормали.

Модуль вектора ускорения может быть найден по формуле

.

1.3 Основная задача кинематики

Основная задача кинематики заключается в нахождении закона движения материальной точки. Для этого используются следующие соотношения:

; ;;;

.

Частные случаи прямолинейного движения:

1) равномерное прямолинейное движение: ;

2) равнопеременное прямолинейное движение:.

1.4 Вращательное движение и его кинематические характеристики

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для характеристики вращательного движения вводятся следующие кинематические характеристики (рис. 3).

Угловое перемещение вектор, численно равный углу поворота тела за время и направленный вдоль оси вращения так, что, глядя вдоль него, поворот тела наблюдается происходящим по часовой стрелке.

Угловая скорость характеризует быстроту и направление вращения тела, равна производной угла поворота по времени и направлена вдоль оси вращения как угловое перемещение.

Рис. 3

При вращательном движении справедливы следующие формулы:

;; .

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости с течением времени, равно первой производной угловой скорости и направлено вдоль оси вращения:

;; .

Зависимость выражает закон вращения тела.

При равномерном вращении: = 0, = const, = t.

При равнопеременном вращении: = const, ,

.

Для характеристики равномерного вращательного движения используются период вращения и частота вращения.

Период вращения Т — время одного оборота тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью.

Частота вращения — количество оборотов, совершаемых телом за единицу времени.

Угловая скорость может быть выражена следующим образом:

.

Связь между угловыми и линейными кинематическими характеристиками (рис. 4):

2. Динамика поступательного и вращательного движений

2.1 Законы Ньютона

Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.

Тела, не подверженные внешним воздействиям, называются свободными телами. Система отсчёта, связанная со свободным телом, называется инерциальной системой отсчёта (ИСО). По отношению к ней любое свободное тело будет двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в состоянии покоя. Из относительности движения следует, что система отсчёта, движущаяся равномерно и прямолинейно по отношению к ИСО, также является ИСО. ИСО играют важную роль во всех разделах физики. Это связано с принципом относительности Эйнштейна, согласно которому математическая форма любого физического закона должна иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчёта.

К основным понятиям, используемым в динамике поступательного движения, относятся сила, масса тела, импульс тела (системы тел).

Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой механического действия одного тела на другое. Механическое действие возникает как при непосредственном контакте взаимодействующих тел (трение, реакция опоры, вес и т. д.), так и посредством силового поля, существующего в пространстве (сила тяжести, кулоновские силы и т. д.). Сила характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.

Одновременное действие на тело нескольких сил ,…, может быть заменено действием результирующей (равнодействующей) силы :

=++…+=.

Массой тела называется скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Под инертностью понимается свойство материальных тел сохранять свою скорость неизменной в отсутствие внешних воздействий и изменять её постепенно (т.е. с конечным ускорением) под действием силы.

Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: .

Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов точек, составляющих систему:

.

Второй закон Ньютона: скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе:

.

Если масса тела остается постоянной, то ускорение, приобретаемое телом относительно инерциальной системы отсчета, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела:

.

Третий закон Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению:

где — сила, действующая на первое тело со стороны второго,

— сила, действующая на второе тело со стороны первого.

Из третьего закона следует, что в любой механической системе материальных точек геометрическая сумма всех внутренних сил (т.е. сил, с которыми взаимодействуют между собой материальные точки системы) равна нулю.

2.2 Динамика вращательного движения твердого тела

Вращательное действие силы характеризуется моментом силы относительно точки (рис. 5а) и относительно оси (рис. 5б).

Для того чтобы определить момент силы относительно точки О, проведем из точки О радиус-вектор в точку приложения силы (рис. 5а). Моментом силы относительно точки О называется векторная физическая величина, равная векторному произведению радиуса-вектора на силу :

Модуль момента силы M = rFsin = Fd, где d = rsin — плечо силы.

Для того чтобы определить момент силы относительно оси Z, выберем на оси Z произвольную точку, найдем момент силы относительно этой точки, а затем спроецируем на ось Z момент силы относительно точки. Таким образом, момент силы относительно оси — величина скалярная.

Разложим силу на три составляющие (рис. 5б):

— осевая, параллельная оси вращения,

— радиальная, перпендикулярная оси вращения,

— касательная, перпендикулярная и оси вращения.

Составляющую можно определить как проекцию силы на направление вектора, направленного по касательной к окружности радиусом R, проведенной через точку приложения силы перпендикулярно оси вращения. Направление вектора образует с осью Z правовинтовую систему.

Составляющие и вращения тела относительно оси Z не вызывают. Вращающее действие силы обусловлено составляющей. Можно показать, что момент силы относительно оси Z

Рис. 5

Инертные свойства тела при вращательном движении характеризует момент инерции. Он зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Момент инерции материальной точки массой m, находящейся на расстоянии r от оси: .

— момент инерции системы материальных точек;

— момент инерции тела, где — плотность тела.

Рис. 6

Момент инерции тела относительно произвольной оси может быть рассчитан по теореме Штейнера: моментинерции тела относительно оси O’O равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной O’O, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 6):

.

Моментом импульса материальной точки относительно некоторой точки называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса-вектора на импульс материальной точки (рис. 7а):

.

Моментом импульса системы материальных точек называется геометрическая сумма моментов импульсов точек, составляющих систему:

.

Моментом импульса материальной точки относительно оси Z называется скалярная величина, равная проекции момента импульса относительно произвольной точки, лежащей на оси Z, на эту ось. Аналогично моменту силы относительно оси, момент импульса относительно оси Z

где p — проекция импульса на направление вектора, направленного по касательной к окружности радиусом, проведенной через материальную точку перпендикулярно оси вращения (рис. 7б). Направление вектора образует с осью Z правовинтовую систему.

Рис. 7

Момент импульса тела относительно оси вращения

L_Z = I_ZZ,

где I_Z — момент инерции тела относительно оси Z, _Z — проекция угловой скорости тела на ось Z. Для однородного тела, вращающегося относительно оси симметрии:

.

Основной закон динамики вращательного движения:

Скорость изменения момента импульса тела относительно оси равна результирующему моменту внешних сил относительно этой же оси (проекция углового ускорения на ось пропорциональна результирующему моменту внешних сил относительно оси и обратно пропорциональна моменту инерции тела относительно этой же оси):

Из законов динамики поступательного и вращательного движений следует условие равновесия тел:

3. Работа и механическая энергия

3.1 Работа и мощность при поступательном и вращательном движениях

Работа — это физическая величина, характеризующая процесс превращения одной формы движения в другую. В механике принято говорить, что работа совершается силой.

Элементарной работой силы называется величина, равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение:

где — элементарный путь точки приложения силы за время dt, — угол между векторами и .

Если на систему действуют несколько сил, то результирующая работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности. Работа силы на конечном участке траектории или за конечный промежуток времени может быть вычислена следующим образом:

.

Если = const, то А=.

При вращательном движении работа определяется проекцией момента сил на направление угловой скорости:

если М = const, то, А = М.

Быстроту совершения работы характеризует мощность. Мощностью называется скалярная величина, равная работе, совершаемой в единицу времени:

— средняя мощность; - мгновенная мощность.

При вращательном движении мощность определяется следующим образом:

.

3.2 Консервативные и неконсервативные силы

Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил — работа на замкнутой траектории равна нулю:

К консервативным силам относятся: сила тяжести, гравитационная сила, сила упругости и другие силы.

Неконсервативными силами называются силы, работа которых зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Работа этих сил на замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным силам относятся: сила трения, сила тяги и другие силы.

3.3 Кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях

Кинетической энергией тела называется функция механического состояния, зависящая от массы тела и скорости его движения (энергия механического движения).

Кинетическая энергия поступательного движения

.

Кинетическая энергия вращательного движения

.

При сложном движении твёрдого тела его кинетическая энергия может быть представлена через энергию поступательного и вращательного движения:

.

Свойства кинетической энергии.

1. Кинетическая энергия является конечной, однозначной, непрерывной функцией механического состояния системы.

2. Кинетическая энергия не отрицательна: Е_К 0.

3. Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему.

4. Приращение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело: .

3.4 Потенциальная энергия

Потенциальная энергия системы — это функция механического состояния системы, зависящая от взаимного расположения всех тел системы и от их положения во внешнем потенциальном поле сил. Убыль потенциальной энергии равна работе, которую совершают все консервативные силы (внутренние и внешние) при переходе системы из начального положения в конечное.

Е_П1 — Е_П2 = Е_П = А_12конс,.

Из определения потенциальной энергии следует, что она может быть определена по консервативной силе, причём с точностью до произвольной постоянной, значение которой определяется выбором нулевого уровня потенциальной энергии.

.

Таким образом, потенциальная энергия системы в данном состоянии равна работе, совершаемой консервативной силой при переводе системы из данного состояния на нулевой уровень.

Свойства потенциальной энергии.

1. Потенциальная энергия является конечной, однозначной, непрерывной функцией механического состояния системы.

2. Численное значение потенциальной энергии зависит от выбора уровня с нулевой потенциальной энергией.

Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной силе, так и консервативная сила может быть найдена по потенциальной энергии:

причем

, .

Примеры потенциальной энергии:

1) — потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h относительно нулевого уровня энергии в поле силы тяжести;

— потенциальная энергия упругого деформированного тела, х — деформация тела.

4. Законы сохранения в механике

4.1 Закон сохранения механической энергии

Механическая энергия системы тел равна сумме их кинетических энергий и потенциальной энергии взаимодействия этих тел друг с другом и с внешними телами:

Е = Е_к + Е_п.

Приращение механической энергии системы определяется работой всех неконсервативных сил (внешних и внутренних):

.

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия системы тел, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.

4.2 Закон сохранения импульса. Центральный удар двух тел

Закон сохранения импульса: полный импульс замкнутой системы остается постоянным.

Для замкнутой системы будут сохраняться и проекции импульса на координатные оси:

.

Если 0, но =0, то будет сохраняться проекция импульса системы на ось Х.

Рассмотрим центральный удар двух тел. Центральным называется удар, при котором тела движутся вдоль прямой, соединяющей их центры масс. Выделяют два предельных вида такого удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Для двух тел массами m₁ и m₂, движущихся со скоростями и вдоль оси х, проекции их скоростей на ось х после абсолютно упругого центрального удара можно найти по формулам:

;.

При этом сохраняются импульс и механическая энергия системы тел.

Если удар абсолютно неупругий, то

.

Тела после такого удара движутся вместе. Импульс системы тел сохраняется, а полная механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии переходит в энергию неупругой деформации и во внутреннюю энергию тел.

4.3 Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел сохраняется:

если .

Если результирующий момент внешних сил не равен нулю, но равна нулю его проекция на некоторую ось, то проекция момента импульса системы на эту ось не изменяется.

5. Элементы специальной теории относительности

5.1 Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца

Первый постулат Эйнштейна: никакими физическими опытами, производимыми внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится эта система или движется прямолинейно и равномерно.

Второй постулат Эйнштейна: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

Рассмотрим две системы отсчета S и S (рис. 8). Систему S будем считать условно неподвижной. Система движется относительно со скоростью вдоль оси X системы. Для перехода от одной системы отсчета в другую в специальной теории относительности используются преобразования Лоренца.

Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают.

Тогда:

Здесь с = 310⁸ м/с — скорость света в вакууме.

5.2 Следствия из преобразований Лоренца

Рассмотрим системы и (рис. 8).

Относительность промежутков времени между событиями:

где — промежуток времени между событиями, произошедшими в системе отсчета (отсчитывается по часам, находящимся в системе); - промежуток времени между этими событиями, отсчитанный по часам, находящимся в системе .

Изменение размеров движущихся тел

где L — длина стержня, расположенного вдоль оси и покоящегося в системе S (отсчитывается в системе отсчета S); L — длина этого же стержня, измеренная в системе отсчета .

Релятивистский закон сложения скоростей:

Пусть некоторое тело движется вдоль оси x в системе отсчета со скоростью относительно последней. Найдем проекцию скорости этого тела в системе отсчета на ось х этой системы:

5.3 Релятивистские масса и импульс. Взаимосвязь массы и энергии

Эйнштейн показал, что масса тела зависит от его скорости:

где m₀ — масса тела в той системе отсчета, где тело покоится (масса покоя); m — масса тела в той системе, относительно которой тело движется (релятивистская масса); - скорость тела относительно системы отсчета, в которой определяется масса m.

Релятивистский импульс где m — релятивистская масса.

Закон взаимосвязи массы и энергии:

где m — релятивистская масса; Е — полная энергия материального объекта.

Кинетическая энергия объекта

где — полная энергия; - энергия покоя.

Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что всякое изменение массы тела на m сопровождается изменением его энергии на E:

E=mc².

II. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

Молекулярная физика и термодинамика — разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в них атомов и молекул (макроскопические системы). Для исследования этих процессов применяются два качественно различных метода: статистический и термодинамический. Первый лежит в основе молекулярной физики, второй — термодинамики.

Молекулярная физика изучает макроскопические процессы исходя из представлений об атомно-молекулярной природе вещества и рассматривает теплоту как беспорядочное (тепловое) движение атомов и молекул. Тепловое движение определяет внутреннее состояние любого макроскопического тела (системы).

Термодинамика является аксиоматической наукой, она не вводит каких-либо конкретных представлений о строении вещества и физической природе теплоты. Ее выводы основаны на общих принципах или началах, которые являются обобщением опытных фактов. Теплота рассматривается как какое-то внутреннее движение без его конкретизации.

Важным свойством теплового движения является его способность «заставлять» макроскопическую систему «забывать» свое начальное состояние, если исключены меры, поддерживающие начальное состояние. Если систему поместить в неизменные внешние условия, то независимо от начального состояния системы она перейдет в стационарное состояние (не меняющееся со временем). При отсутствии движения через границы системы вещества, энергии, импульса, электрического заряда такое состояние называется состоянием теплового или термодинамического равновесия (равновесное состояние).

Свойства равновесного состояния не зависят от деталей движения отдельных частиц, а определяются поведением всей их совокупности. Это поведение характеризуется небольшим числом величин, называемых термодинамическими параметрами. Равновесное состояние системы характеризуется постоянством во времени ее параметров. Термодинамические параметры определяют некую усредненную картину движения частиц системы, поэтому они имеют смысл средних значений физических величин, описывающих поведение отдельных частиц системы. Это проявляется в существовании статистических флуктуаций значений термодинамических параметров, которые в равновесном состоянии очень малы.

Процесс самопроизвольного перехода системы в равновесное состояние называется релаксацией, а время этого процесса временем релаксации. До истечения времени релаксации состояние системы остается неравновесным, а сам процесс релаксации является неравновесным.

При изменении внешних условий или воздействии на систему параметры состояния будут изменяться и система перейдет в новое состояние. Этот процесс перехода называется термодинамическим процессом, он может быть равновесным или неравновесным. Процесс называется равновесным, если в ходе его система проходит последовательность равновесных состояний. Равновесными процессами являются бесконечно медленно протекающие процессы (хорошим приближением являются процессы, время протекания которых много больше времени температурной релаксации). Равновесное состояние и равновесный процесс изображаются на диаграмме состояний соответственно точкой и линией.

Рассмотрим основные термодинамические параметры: V — объем системы или тела; Р — давление (абсолютное значение средней силы, действующей со стороны вещества жидкости или газа на каждую из поверхностей помещенной в них единичной площадки); Т — абсолютная температура, характеризует интенсивность теплового движения частиц системы. В случае классического характера движения частиц системы средняя кинетическая энергия поступательного движения одной частицы пропорциональна температуре:

где m — масса одной частицы, — ее скорость, _кв — средняя квадратичная скорость движения молекул, k = 1,3810^-23Дж/К — постоянная Больцмана.

1. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

1.1 Уравнение состояния

В состоянии термодинамического равновесия объем V, давление Р и температура Т находятся в функциональной зависимости, которую можно выразить уравнением

F (P, V, T) = 0.

Это соотношение называется уравнением состояния тела (системы). Вид функции F (P, V, T) различен для разных тел и точно установлен только в одном случае, а именно для идеального газа. Идеальным называется газ, в котором

где среднее время столкновения частиц, среднее время свободного пробега частиц. При этом средняя длина свободного пробега частиц должна быть много меньше размеров сосуда, в котором заключен газ. Данные условия выполняются достаточно хорошо для газов, молекулы которых имеют простое строение даже при давлениях, близких к атмосферному.

Уравнение состояния идеального газа можно получить, рассмотрев давление, создаваемое газом на стенку сосуда. Оно возникает в результате передачи импульса участку стенки при столкновениях с ним молекул газа. Учитывая, что в равновесном состоянии соударения молекул в среднем носят упругий характер, давление идеального газа оказывается пропорциональным средней энергии поступательного движения частиц, заключенных в единице объема:

где n — плотность (концентрация) частиц, n = N/V, N — число частиц.

Используя связь кинетической энергии молекул и температуры, получаем

P = nkT.

Существует несколько форм записи этого уравнения:

PV = NkT;

PV = N_AkT = RT,

где =- количество вещества, R = N_Ak = 8,31 Дж/(мольК) — универсальная газовая постоянная. Используя выражение для количества вещества через массу и молярную массу газа можно получить известное уравнение Клапейрона — Менделеева

PV =RT,

где М — масса газа, — молярная масса газа.

Из последнего уравнения состояния можно получить известный закон Дальтона и уравнения изопроцессов:

а) давление механической смеси газов равно сумме парциальных давлений газов, входящих в смесь:

PV = ()RT;

б) изотермический процесс — Т=const, PV = const, P₁V₁ = P₂V₂;

изобарический процесс — P = const, ;

изохорический процесс — V = const, .

1.2 Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса

При увеличении плотности (давления) поведение газа все сильнее отличается от поведения идеального газа. Это объясняется тем, что при малых средних расстояниях между молекулами все большее значение приобретают силы межмолекулярного взаимодействия. На малых расстояниях эти силы являются силами отталкивания, а на больших — силами притяжения. Влияние этих сил на вид уравнения состояния можно приближенно учесть следующим образом. Для реальных газов давление должно резко возрастать при конечном объеме, равном по порядку величины объему всех частиц газа. Обозначим этот конечный объем для одного моля через b, тогда давление газа может быть записано в виде

.

Действие сил притяжения между молекулами проявляется в уменьшении давления газа по сравнению с приведенной величиной. Уменьшение давления связано с тем, что на молекулу, находящуюся у стенки сосуда, действует сила, направленная внутрь сосуда. Она обусловлена притяжением со стороны молекул газа, находящихся в его объеме. В первом приближении ее величина пропорциональна концентрации молекул

n =,

а, учитывая, что давление само пропорционально концентрации, поправка на уменьшение давления будет пропорциональна

n² = .

Учитывая это, можно прийти к соотношению

P = ,

которое в форме

называется уравнением Ван-дер-Ваальса (для одного моля газа). Поправки a и b — постоянные Ван-дер-Ваальса, учитывающие соответственно действие сил притяжения и отталкивания между молекулами газа.

1.3 Внутренняя энергия

Важной характеристикой состояния системы является ее внутренняя энергия. Она определяется как среднее значение полной энергии ее частиц. Во внутренней энергии можно выделить следующие составляющие:

— энергия поступательного, вращательного и колебательного движений атомов и молекул;

— энергия межмолекулярного взаимодействия;

— энергия связи атомов в молекулах (химическая энергия);

— энергия связи электронов в атомах;

— энергия связи атомных ядер и др.

При различных процессах в системе изменяется внутренняя энергия. Как правило, это происходит из-за изменения одной или нескольких составляющих внутренней энергии, поэтому и в самой внутренней энергии следует учитывать только те составляющие, которые изменяются в ходе процесса. Отметим общие свойства внутренней энергии:

— в состоянии теплового равновесия движение частиц системы таково, что в любой момент времени полная энергия частиц с высокой степенью точности равна внутренней энергии (статистические флуктуации очень малы);

— внутренняя энергия системы является функцией ее термодинамических параметров;

— внутренняя энергия обладает свойством аддитивности, т. е. внутренняя энергия системы равна сумме внутренних энергий частей (макроскопических), составляющих данную систему.

Определим внутреннюю энергию идеального газа в равновесном состоянии — это энергия поступательного, вращательного и колебательного движений атомов и молекул. Поступательное движение частиц газа носит классический характер, а вращательное и колебательное движение — квантовый, т. е. такие движения возникают только про сообщении молекулам конечной порции энергии Е. Для большинства газов Е^кол 10^-20Дж, что соответствует температуре Т^кол 10³ К, Е^вр10^-21 Дж, а температура Т^вр 10 К. Общая закономерность квантовых движений следующая: с ростом температуры квантовое движение быстро приобретает классический характер. Поэтому при обычных условиях можно движение молекул считать классическим и для вычисления внутренней энергии воспользоваться законом равнораспределения энергии по классическим степеням свободы: «В состоянии теплового равновесия на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится в среднем энергия, равная кТ/2, а на колебательную — кТ».

Числом степеней свободы называется минимальное количество координат, однозначно определяющих положение тела (системы) в пространстве, или количество независимых движений, благодаря которым тело обладает энергией. В атомарном газе каждый атом имеет три поступательных степени свободы, в газе с двухатомными молекулами каждая молекула имеет три поступательных и две вращательных степени свободы, в газе с многоатомными молекулами, в общем случае, три поступательных и три вращательных. Тогда внутренняя энергия газ имеет вид

U = N = ,

где i — число степеней свободы молекул газа.

1.4 Статистические распределения

При тепловом движении положения частиц, величина и направление их скоростей изменяются случайным образом. Вследствие гигантского числа частиц случайный характер их движения, проявляется в существовании определенных статистических закономерностей в распределении частиц системы по координатам, значениям скоростей и т. д. Подобные распределения характеризуются соответствующими функциями распределения. Функция распределения (плотность вероятности) характеризует распределения частиц по соответствующей переменной (координаты, величины скоростей и т. д). В основе классической статистики лежат следующие положения:

— все частицы классической системы различимы (т.е. их можно пронумеровать и следить за каждой частицей);

— все динамические переменные, характеризующие состояние частицы, изменяются непрерывно;

— в заданном состоянии может находиться неограниченное число частиц.

1.4.1 Распределение Максвелла

В состоянии теплового равновесия как бы не изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул в газе, при Т=cоnst, остается постоянной и равной

.

Это объясняется тем, что в газе устанавливается некоторое стационарное статистическое распределение молекул по значениям скоростей, называемое распределением Максвелла. Распределение Максвелла описывается некоторой функцией f (), называемой функцией распределения молекул по скоростям.

где N — общее число молекул, dN () — число молекул, скорости которых принадлежат интервалу скоростей от до + d.

Таким образом, функция Максвелла f () равна вероятности того, что величина скорости наугад выбранной молекулы принадлежит единичному интервалу скоростей вблизи значения. Или она равна доле молекул, скорости которых принадлежат единичному интервалу скоростей вблизи значения .

Явный вид функции f () был получен теоретически Максвеллом:

.

График функции распределения приведен на рис. 12. Из графика следует, что функция распределения стремится к нулю при 0 и и проходит через максимум при некоторой скорости _В, называемой наиболее вероятной скоростью. Этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно _В. Значение наиболее вероятной скорости можно найти, используя условие для максимума функции f ().

.

На рис. 13 показано смещение _В с изменением температуры, при этом площадь под графиком остается постоянной и равной 1, что следует из условия нормировки функции Максвелла

.

Условие нормировки следует из смысла данного интеграла — он определяет вероятность того, что скорость молекулы попадает в интервал скоростей от 0 до. Это достоверное событие, его вероятность, по определению, принимается равной 1.

Знание функции распределения молекул газа по скоростям позволяет вычислять средние значения любых функций скорости, в частности средней арифметической скорости <>.

.

Рис. 12 Рис. 13

По функции Максвелла можно определить долю молекул, скорости которых принадлежат заданному интервалу скоростей или превышают некоторое значение скорости, например вторую космическую, что определяет рассеяние атмосферы.

.

1.4.2 Распределение Больцмана

Тепловое движение частиц тела приводит к тому, что положение их в пространстве изменяется случайным образом. Поэтому можно ввести функцию распределения частиц по координатам, определяющую вероятность обнаружения частицы в том или ином месте пространства.

где плотность вероятности, т. е. вероятность обнаружения частицы в единичном объеме вблизи точки с радиус-вектором .

При отсутствии внешних силовых полей существует равномерное распределение частиц идеального газа по координатам, при этом можно записать

где n концентрация частиц, N полное число частиц газа.

Внешнее силовое поле изменяет пространственное распределение частиц, при этом концентрация частиц и функция распределения зависят от координат. Если внешнее силовое поле является потенциальным, то концентрация частиц вблизи точки пространства с радиусом-вектором зависит от потенциальной энергии частиц в данном месте:

где n_o концентрация частиц в том месте, где E_p=0.

В этом случае вероятность обнаружить частицу в объеме dV вблизи точки с радиусом-вектором определяется выражением

.

Этот закон называется распределением Больцмана.

Для идеального газа давление связано с концентрацией соотношением Р=nkT. В поле земного тяготения концентрация изменяется с высотой над поверхностью Земли, и если газ находится в равновесном состоянии при температуре Т, то изменение давления с высотой происходит по закону

.

Последнее соотношение называется барометрической формулой. В действительности земная атмосфера не находится в равновесном состоянии, ее температура меняется с высотой, и барометрическую формулу следует применять к участкам атмосферы, в пределах которых изменением температуры можно пренебречь. Из барометрической формулы следует, что давление различных газов изменяется с высотой по-разному. На рис. 14 показано изменение давления газа с высотой для различных газов при T = const, а на рис. 15 — изменение давления газа (= const) при разных температурах.

1.5 Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Расстояния, которые проходят молекулы между двумя последовательными столкновениями, изменяются случайным образом. Поэтому можно говорить о средней длине свободного пробега молекул <>.

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры молекул, называется эффективным диаметром молекулы d. Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т. е. от температуры. За 1 с молекула проходит путь, равный <>, и если среднее число столкновений за единицу времени, то

.

Движущаяся молекула (рис. 16), сталкивается только с теми молекулами, центры которых находятся внутри цилиндра радиусом 2r=d.

более точно при учете движения других молекул.

Рис. 16

.

1.6 Явления переноса в газах

В газе, находящемся в неравновесном состоянии, возникают необратимые процессы, называемые явлениями переноса. В ходе этих процессов происходит пространственный перенос вещества (диффузия), энергии (теплопроводность), импульса направленного движения (вязкое трение). Если течение процесса не изменяется со временем, то такой процесс называется стационарным. В противном случае это нестационарный процесс. Стационарные процессы возможны только в стационарных внешних условиях. В термодинамически изолированной системе могут возникать только нестационарные явления переноса, направленные на установление равновесного состояния.

Диффузия, теплопроводность, вязкость являются необратимыми процессами, возникающими самопроизвольно вследствие теплового движения при отклонении вещества (газа) от равновесного состояния. Это отклонение заключается в неоднородном распределении вещества, его температуры, в различии скоростей направленного движения макроскопических частей среды.

Диффузия

Под диффузией обычно понимается взаимопроникновение вещества в различных смесях, сопровождающееся направленным переносом массы вещества из мест с высокой плотностью в места с меньшей плотностью. Перенос массы вещества подчиняется закону Фика: «Плотность потока вещества (масса, переносимая за единицу времени через единичную площадку) прямо пропорциональна градиенту плотности»:

где D — коэффициент диффузии. Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности.

Масса вещества, перенесенная в результате стационарной диффузии через площадь S за время t:

.

Согласно кинетической теории газов,

Теплопроводность

Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул температура выравнивается. Процесс передачи энергии в форме тепла подчиняется закону Фурье: «Плотность потока тепла (количество теплоты, переносимое за единицу времени через единичную площадку) прямо пропорционально градиенту температуры»:

где коэффициент теплопроводности. Знак минус показывает, что при теплопроводности энергия переносится в сторону убывания температуры. Количество тепла, переносимое в стационарном процессе теплопроводности (стационарное пространственное распределение температуры) через площадь S за время t:

.

Для идеального газа

где c_v — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, плотность газа.

Вязкость

Вязкое трение в газе или жидкости это результат переноса импульса направленного движения. Механизм возникновения внутреннего трения между слоями газа (жидкости), движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее увеличивается, что приводит к появлению сил вязкого трения. Внутреннее трение подчиняется закону Ньютона: «Плотность потока импульса направленного движения (равная силе вязкого трения, действующей на единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса) пропорциональна градиенту скорости направленного движения»:

где динамическая вязкость (коэффициент вязкости), градиент скорости направленного движения. Знак минус указывает, что сила трения направлена против скорости u. Коэффициент вязкости для идеального газа

.

Сила F, действующая на площадь S, пропорциональна этой площади и градиенту скорости :

.

Коэффициенты переноса связаны между собой простыми соотношениями

2. Основы термодинамики

2.1 Первое начало термодинамики

Внутренняя энергия макроскопической системы качественно отличается от механической энергии частиц, образующих систему. Это проявляется в существовании двух форм изменения внутренней энергии — работы и теплопередачи (теплообмена). Работа совершается в тех случаях, когда при взаимодействии системы с окружающими телами возникает какое-либо упорядоченное движение. В частности, газ совершает работу только при изменении его объема. В процессе теплопередачи также может происходить изменение внутренней энергии, обусловленное изменением энергии частиц, образующих систему, и не связанное с совершением работы. Изменение внутренней энергии в этом случае измеряется количеством тепла.

Закон сохранения энергии, в котором учитывается особая форма передачи энергии путем теплопередачи, является фундаментальным законом физики и называется первым началом термодинамики: «Количество тепла, полученное системой, расходуется на приращение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами (системами)».

Первое начало сформулировано на основании обобщения опытных фактов и справедливо для всех тепловых процессов. Последнее соотношение является термодинамическим определением внутренней энергии системы.

«Внутренняя энергия системы является функцией ее состояния, определенной с точностью до произвольной постоянной, приращение которой равно разности между количеством тепла, полученным системой, и работой, совершенной системой в ходе теплового процесса».

Изменение внутренней энергии зависит только от начального и конечного состояний системы. Работа и количество тепла зависят от вида процесса, переводящего систему из начального состояния в конечное, т. е. они не являются функциями состояния системы.

Если система периодически возвращается в первоначальное состояние, то U=0 и A=Q, т. е. нельзя построить вечный двигатель, который совершал бы большую по величине работу, чем количество сообщенной ему извне энергии.

По форме обмена энергией можно выделить три вида систем:

1) изолированные (Q=0, A=0),

2) теплоизолированные (адиабатические) (Q=0, A0),

3) тепловые резервуары (A=0, Q0).

2.2 Работа газа при изменении его объема

Найдем работу, совершаемую газом при изменении его объема. Рассмотрим газ, находящийся под поршнем в цилиндрическом сосуде (рис. 17).

Если газ, расширяясь, передвигает поршень на расстояние dx, то он производит работу против сил внешнего давления р_е:

где S площадь поршня, dV изменение объема газа. Полная работа А₁₂, совершаемая газом при изменении его объема от V₁ до V₂:

.

Если процесс расширения газа является равновесным, т. е. идущим без перепадов давлений и температур, то работа может быть вычислена через давление самого газа (р_е=р). Графически работа газа равна площади под кривой процесса на диаграмме PV (рис.18). Если газ совершает круговой процесс (цикл), то работа будет равна площади цикла.

Работа газа при изопроцессах:

1) изохорический

V=const, dV=0, A₁₂=0;

2) изотермический T=const,

;

3) изобарический р=const,

2.3 Теплоемкость

Теплоемкость тела или системы скалярная физическая величина, характеризующая процесс теплообмена и равная количеству тела, полученному системой при изменении его температуры на один кельвин.

Теплоемкость можно отнести к одному молю или к единице массы вещества. Соответствующие теплоемкости называются молярной С или удельной с. Единицами измерения теплоемкостей являются: Дж/К (полная теплоемкость), Дж/(мольК) (молярная теплоемкость), Дж/(кгК) (удельная теплоемкость). Зная теплоемкости, можно вычислить количество тепла, полученное системой:

Q=CT, Q=CT, Q=cMT.

Теплоемкость, как и количество тепла, зависит от вида теплового процесса. Различают теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме, если в процессе нагревания вещества поддерживаются постоянными соответственно давление и объем. Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил равна нулю и сообщенная газу извне теплота идет на увеличение его внутренней энергии:

.

Используя первое начало термодинамики, можно показать, что молярная теплоемкость газа при постоянном объеме C_V и молярная теплоемкость газа при постоянном давлении C_P связаны соотношением

.

Это соотношение называется уравнением Майера.

При рассмотрении тепловых процессов важно знать характерное для каждого газа отношение C_P к C_V, которое называется показатель адиабаты или коэффициент Пуассона:

Из последних формул следует, что молярные теплоемкости не зависят от температуры в тех областях, где = const.

2.4 Применение первого начала термодинамики к изопроцессам

Изохорический процесс (V = const). Газ не совершает работу, т. е. A=0. Из первого начала термодинамики следует, что вся теплота, сообщаемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии:

.

Изобарический процесс (p = const). Теплота, сообщаемая газу, идет на приращение внутренней энергии и на совершение работы над внешними телами:

.

Изотермический процесс (T = const). Внутренняя энергия газа не изменяется и все количество тепла, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил:

.

2.5 Адиабатический процесс

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен

(Q = 0) между физической системой и окружающей средой. Близкими к адиабатическим являются все быстропротекающие процессы. Из первого начала термодинамики для адиабатического процесса следует, что, т. е. работа совершается за счет убыли внутренней энергии системы. Используя первое начало термодинамики, можно получить уравнения адиабатического процесса:

;

.

Вычислим работу, совершаемую газом в адиабатическом процессе. Если газ расширяется от объема V₁ до V₂, то его температура падает от T₁ до T₂ и работа расширения идеального газа Это выражение для работы при адиабатическом процессе можно преобразовать к виду

.

2.6 Обратимые и необратимые процессы. Коэффициент полезного действия теплового двигателя

К обратимым процессам относятся процессы, после проведения которых в прямом и обратном направлениях в окружающих систему телах не остается никаких изменений. Для обратимых процессов характерно следующее: если в ходе прямого процесса система получила количество тепла Q и совершила работу А, то в ходе обратного процесса система отдает количество тепла Q = -Q и над ней совершается работа, А = -А. К обратимым процессам относятся все равновесные процессы. В случае необратимого процесса, после возвращения системы в исходное состояние, в окружающих систему телах остаются изменения (изменяются положения тел и их температуры). Все реальные процессы в большей или меньшей степени необратимы.

В процессе преобразования тепла в работу используется тепловой двигатель, работающий по какому-либо круговому процессу (циклу). Коэффициент полезного действия такого двигателя (термический КПД) определяет долю тепла, превращаемую в работу:

где, А работа, совершенная двигателем за цикл, Q₁ количество тепла, полученного двигателем, Q₂ количество тепла, отданного двигателем в окружающую среду. Работу теплового двигателя можно представить на диаграмме состояний в виде некоторого теплового кругового процесса (рис.19). Общая работа, А определяется площадью цикла 1а2в1. Если за цикл совершается А>0, то цикл называется прямым, и если А<0, — обратным.

Прямой цикл используется в тепловом двигателе, совершающем работу за счет получения извне теплоты. Обратный цикл используется в холодильных машинах, в которых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой (рис. 20).

Важной задачей термодинамики является изучение процессов преобразования тепла в работу и установления возможных границ повышения термического КПД.