Основы изучения темы «Многогранники»

математический геометрия преподавание многогранник Введение

I. Теоретические основы изучения темы «Многогранники»

1. Исторические аспекты

2. Понятие многогранников

3. Свойства многогранников

II. Использование моделирования при изучении темы «Многогранники»

1. Геометрическое моделирование — неотъемлемая часть современного математического образования

2. Федоровские модели пространства

3. Общие вопросы применения изображений пространственных фигур в преподавании геометрии

4. Изображения в систематическом курсе геометрии. Типичные ошибки

III. Методические аспекты изложения темы «Многогранники» в школьном курсе

1. Обзор изложения темы «Многогранники» в учебниках разных авторов

2. Виды и роль наглядных средств при изучении многогранников

3.Опорные задачи по теме «Многогранники»

4. Изучение свойств многогранников Заключение

Приложение 1

Приложение 2

Тема «Многогранники» одна из основных в традиционном курсе школьной геометрии. Они составляют, можно сказать, центральный предмет стереометрии. Изучение параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей, двугранных углов и другое, так же как введение векторов и координат, — все это только начала стереометрии, подготовка средств для исследования ее более содержательных объектов — главным образом тел и поверхностей.

Центральная роль многогранников определяется, прежде всего, тем, что многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются исходя из соответствующих результатов для многогранников; Достаточно вспомнить определение объемов тел и площадей поверхностей путем предельного перехода от многогранников.

Кроме того, многогранники сами по себе представляют чрезвычайно содержательный предмет исследования, выделяясь среди всех тел многими интересными свойствами, специально к ним относящимися теоремами и задачами. Можно, например, вспомнить теорему Эйлера о числе граней, ребер и вершин, симметрию правильных многогранников, вопрос о заполнении пространства многогранниками и др.

Многогранникам должно быть уделено в школьном курсе больше внимания еще и потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии. Уже самые простые факты, касающиеся многогранников, требуют такого соединения, которое оказывается при этом не совсем легким делом. Даже такой простой факт, как пересечение диагоналей параллелепипеда в одной точке, требует усилия воображения, чтобы его увидеть наглядно, и нуждается в строгом доказательстве [Саакян С.М., 2000].

Более того, использование многогранников с самого начала изучения стереометрии служит различным дидактическим целям. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показывать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Иллюстрация первых теорем стереометрии на конкретных моделях повышает интерес учащихся к предмету.

Также одной из основных задач обучения математики является развитие у учащихся абстрактного мышления. Этой цели в значительной мере способствует применение наглядных пособий, причем не только в младших классах, но и в старших. Широкие возможности для реализации этой цели предоставляет тема «Многогранники», в частности, самостоятельное изготовление учениками наглядных пособий. В процессе изготовления моделей многогранников, кроме теоретических знаний и навыков, ученики закрепляют сформировавшиеся новые понятия при помощи чертежа и фактического решения задач на построение. При самостоятельном изготовлении моделей образ создается по частям, в силу этого с ними можно производить различные манипуляции. При этом все их свойства и особенности легко познаются и прочно закрепляются в памяти учащихся [Стройк Д.Я., 1969].

Цель работы: рассмотреть особенности использования моделей при решении стереометрических задач (на примере изучения темы «Многогранники»).

Задачи работы:

1) рассмотреть подходы к основным определениям данной темы: многогранника, выпуклого многогранника, правильного многогранника;

2) изучить изложение данной темы в школьных учебниках;

3) выделить средства, которые могут быть применены при изучении многогранников;

4) изучить особенности использования моделей при решении стереометрических задач (на примере изучения темы «Многогранники»)

5) подобрать основные задачи для решения по данной теме;

6) разработать серию уроков с использованием моделей при решении стереометрических задач.

Гипотеза исследования: изучение темы «Многогранники» в школе будет более успешным, если при подготовке к урокам и проведении них учитель математики будет использовать модели при решении стереометрических задач:

Объект исследования: методика изучения многогранников Предмет исследования: модели при решении стереометрических задач

I. Теоретические основы изучения темы «Многогранники»

1. Исторические аспекты

Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики — это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмма, на языке математики — это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды [Ходеева Т. 2002].

Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел Дальнейшее развитие математики связано с именами Платона, Кеплера, Евклида и

Архимеда. Все использовали в своих философских теориях правильные многогранники.

Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани — правильные многоугольники. К каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер. Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны.

Платоновы тела — трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.

Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников — тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются «Начала» Евклида.

Также существует семейство тел, родственных платоновым — это полуправильные выпуклые многогранники, или архимедовы тела. У них все многогранные углы равны, все грани — правильные многоугольники, но нескольких различных типов.

2. Понятие многогранников

Само определение понятия многогранника оказывается как раз таким вопросом, где необходимо особенно внимательно сочетать наглядные представления, рассмотрение реальных примеров и логической точности формулировок. Формулировки должны исходить из реальных примеров, из наглядных представлений и возвращаться к ним для проверки и дальше — для применения.

Выделяют два основных способа введения понятия многогранника в школьном курсе стереометрии:

1) многогранник как поверхность.

2) многогранник как тело.

Чаще используется второй путь.

Дать строгое определение понятию многогранника в школе трудно, так как в определение входят такие понятия как поверхность, ограниченность, внутренние точки и др. Такая попытка была сделана в книге В. М. Клопского, З. А. Скопеца, М. И. Ягодовского «Геометрия 9−10», но было очень сложно, так как определение вводилось в несколько шагов, было много вспомогательных понятий.

Наиболее целесообразно дать описание на основе наглядных представлений школьника. Проще и короче всего определить многогранник как тело, поверхность которого состоит из многоугольников (в конечном числе).

При этом «тело» и «поверхность» можно понимать в наглядном смысле, как понимают обычно. Тело в отвлечении его от материальности — это часть пространства. Поэтому данное определение можно пересказать и так: многогранник — это часть пространства, ограниченная конечным числом многоугольников.

Например, у Погорелова А. В.: «Многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников»; У Атанасяна Л. С.: «Многогранник — это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело» [Погорелов А.В., 1990].

При этом в согласии с наглядным представлением подразумевается следующее:

(1)Имеется в виду конечная часть пространства; конечная в смысле конечности её размеров, или, как принято говорить в математике, ограниченная. (Это оговаривается, поскольку можно считать, что многоугольники, ограничивающие конечную часть пространства, ограничивают вместе с нею и остальную его часть — бесконечную; во всяком случае, они тоже образуют его границу.)

(2)Многоугольники, ограничивающие многогранник, присоединяются к нему (содержаться в нем). Они образуют его поверхность; остальная же часть многогранника — это его внутренность, так что многогранник состоит из поверхности и внутренности.

(Это можно считать описательным определением поверхности и внутренности.) Поверхность всюду прилегает к внутренности и отделяет его от остального пространства — внешнего по отношению к многограннику.

Поэтому, например, куб с «крылом», т. е. с приложенным к нему прямоугольником со стороной на ребре куба, не считается многогранником: крыло не прилегает к внутренности и никаким образом ее не ограничивает, не отделяет от остального пространства.

(3)Многогранник, и даже одна его внутренность, состоит из одного куска, или, как принято говорить в математике, связна: не выходя из нее, можно непрерывно пройти от одной ее точки до любой другой. Или, что в данном случае равносильно, любые две точки внутренности можно соединить лежащей в ней ломаной.

Поэтому, например, два куба, приставленные один к другому по ребру, т. е. имеющие общее ребро и ничего больше, не образуют многогранника, а приставленные по куску грани — образуют его, так же как объединение параллелепипеда с поставленным на него кубом и т. п.

Все сказанное содержится в наглядном представлении о многограннике и явно оговаривается для того, чтобы проанализировать это наглядное представление и тем самым выяснить, во-первых, те его элементы, которые должны фигурировать в формально строгом определении многогранника, а во-вторых, точнее различать в конкретных случаях, какая фигура должна быть признана многогранником, а какая — нет.

2)Дадим строгое определение многогранника, предложенное А. Д. Александровым.

Начнем с кратких предварительных определений; все они относятся как к пространству, так и к плоскости.

Фигура — это то же, что множество точек.

Точка называется граничной точкой данной фигуры, если сколь угодно близко от нее есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей.

Точка фигуры, не являющаяся ее граничной точкой, называется внутренней.

Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей, а множество всех ее внутренних точек — внутренностью [Александров А.Д. 1981].

Замкнутой областью называется множество точек, обладающее следующими свойствами:

(1)Оно содержит внутренние точки, а внутренность его связна.

(2)Оно содержит свою границу, и она совпадает с границей его внутренности.

Данное определение относится либо к множеству точек на плоскости, либо — в пространстве. Замкнутая область в пространстве называется телом, а на плоскости — плоской замкнутой областью или просто замкнутой областью, если ясно, что речь идет о фигуре на плоскости.

Из определения замкнутой области — как на плоскости, так и в пространстве — следует, что она состоит из внутренности и ее границы, которая оказывается так же границей самой замкнутой области.

Поэтому замкнутую область можно определить несколько иначе. Замкнутая область — это множество точек, имеющее (не пустую) связную внутренность и состоящее из нее и ее границы.

Оба данные выше определения равносильны. Граница замкнутой области всюду прилегает к ее внутренности. У «куба с крылом» «крыло» входит в границу фигуры, но не содержится в границе ее внутренности. Граница тела называется его поверхностью.

В определении замкнутой области не требуется, чтобы она была ограниченной — имела конечные размеры; допускаются и бесконечные области.

Примерами в пространстве могут служить полупространство, двугранный угол, как множество, ограниченное двумя полуплоскостями, и др. Все пространство тоже является телом — это единственное тело, не имеющее границы.

Часто в само понятие тела включают требование его ограниченности — конечности его размеров, но этого делать не будем, потому что в геометрии имеют дело и с бесконечными телами. Точно так же и в планиметрии встречаются и бесконечные области, например угол — часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Дадим теперь определение многоугольника и многогранника.

Многоугольником называется замкнутая область конечных размеров, граница которой состоит из конечного числа отрезков. Многоугольник называется простым, если его граница представляет собой одну простую замкнутую ломаную.

Многогранником называется тело конечных размеров, граница (поверхность) которого состоит из конечного числа многоугольников.

Данное определение повторяет определение на основе наглядных представлений, однако теперь входящие в него понятия тела и его поверхности понимаются не только наглядно, но и с точки зрения данных им выше определений [Болтянский В.Г., 1966].

Нередко, как уже говорилось, многогранником называют не тело, ограниченное многоугольниками, а поверхность, составленную из многоугольников; такое словоупотребление встречается вне школьного курса даже чаще. Встречается и смешение терминов, когда «многогранник» понимается то в одном, то в другом смысле. Так, когда говорят, например, «склеим из развертки куб», то имеют в виду не тело, а поверхность.

Подобное употребление одного и того же слова в разных, хотя и тесно связанных, смыслах встречается в геометрии постоянно и, можно даже сказать, характерно для нее.

Углом называют и фигуру, состоящую из двух лучей, и ограниченную ею часть плоскости; так же как двугранный угол понимается или как фигура из двух плоскостей, или как ограниченная ею часть пространства; многоугольником называют и ломаную, и ограниченную ею часть плоскости, и т. п.

В этом нет ничего страшного, если каждый раз понимать, в каком именно смысле употребляется в данный момент тот или иной термин.

3)Можно дать другое определение понятия многогранника, если учесть следующее: фигура, составленная из многогранников, прилегающих друг к другу по граням или по кускам граней, сама оказывается многогранником, и так можно из простых многогранников составлять сколь угодно сложные. Это замечание можно уточнить и получить из него новое определение многогранника, исходя из самых простых многогранников — из тетраэдров. А именно выполняется теорема.

Теорема. Всякое тело, составленное из тетраэдров, является многогранником и всякий многогранник можно разбить на тетраэдры или, что равносильно, составить из тетраэдров.

В несколько уточненной форме и не пользуясь понятием тела, эту теорему можно высказать так:

Фигура является многогранником тогда и только тогда, когда ее можно составить из конечного числа тетраэдров так, что:

(1)каждые два тетраэдра либо не имеют общих точек, либо имеют только одну общую вершину, или одно общее ребро, или одну общую грань;

(2)от каждого тетраэдра к каждому можно пройти по тетраэдрам, последовательно прилегающим один к другому по целым граням.

Данная теорема позволяет определить многогранник как фигуру, составленную из тетраэдров так, что выполнены условия (1), (2).

Такое определение, которое характеризует предмет тем способом, каким он может быть построен, называется конструктивным. Полученное определение многогранника именно такое; любой многогранник строится последовательным прикладыванием тетраэдров по граням; а как строить тетраэдры — известно.

В противоположность этому определения многогранника, рассмотренные ранее, состоят в указании его характерных свойств или, иначе говоря, в точном его описании. Такие определения называют дескриптивными, т. е. описательными.

Описательное определение многогранника позволяет судить о фигуре, является ли она многогранником или нет.

Посмотрел со всех сторон на данное тело, увидел, что всюду его поверхность состоит из многоугольников, — значит, многогранник. Такой же характер имеют, например, обычные определения призмы и пирамиды [Глаголев Н.А. 1958].

Как и для многогранника, конструктивные определения можно дать многоугольникам многогранной поверхности.

4) Другой подход к определению многогранника представлен в книге В. Г. Болтянского «Элементарная геометрия», построенный на основе вейлевской векторной аксиоматики геометрии. Этот подход не применяется в школьных учебниках, но для примера можно привести одно из определений.

При вейлевском изложении геометрии первоначальными понятиями являются точка, вектор и следующие операции над ними: паре точек сопоставляется некоторый вектор, сумма векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение, а также их свойства.

Наиболее известным примером многогранника является параллелепипед. Его можно описать следующим образом. Берется параллелограмм ABCD и из его вершин откладываются равные векторы АА₁=ВВ₁ =СС₁ =DD₁ =с, где с не параллелен плоскости параллелограмма ABCD.

Определение частных видов многогранников (призмы, пирамиды и др.) в данном подходе практически не отличаются от определений в школьном курсе, однако интересен сам подход к определению на основе другой аксиоматике.

Таким образом, определение многогранника может быть дано различными способами, и в разной литературе и в разных учебниках можно встретить различные подходы к определению.

Можно дать понятию многогранника как дескриптивное, так и конструктивное определение, как определение, основанное на наглядном представлении, так и строгое. Можно определить многогранник как тело и как поверхность.

Различны также определения многогранника, данные на основе различных аксиоматик. В школьных учебниках чаще дается какое-то одно определение, но полезно учащимся показывать и другие способы определения многогранника.

Как и при введении понятия многогранника, существуют различные способы введения выпуклых многогранников и правильных многогранников [Болтянский В.Г., 1966]. Рассмотрим эти способы подробнее.

После введения понятия многогранника в школе, как правило, рассматривают выпуклые многогранники.

Удачным считается подход, когда сразу дается определение выпуклого многогранника и для него определяются элементы, что сделать легче. Изучение свойств как выпуклых многоугольников, так и выпуклых многогранников занимает очень большое место в школьном курсе геометрии.

Однако точный смысл понятия «выпуклый» в средней школе не раскрывается и причины, заставляющие требовать выпуклости рассматриваемых многоугольников и многогранников, нигде не объясняются.

Учащиеся часто вообще не воспринимают смысла прилагательного «выпуклый» и лишь по привычке, машинально в ответ на предложение изобразить какой-либо четырехугольник рисуют фигуру.

При этом может показаться, что лишь недостаток общей математической культуры заставляет их считать все четырехугольники выпуклыми, подобно тому как наиболее слабые школьники иногда не в состоянии представить себе четырехугольника, отличного от прямоугольника, параллелограмма или, в лучшем случае, от трапеции.

В некоторых случаях игнорирование условия о выпуклости многоугольника или многогранника оказывается даже совершенно законным — какую, например, ценность имеет оговорка о выпуклости в теореме: сумма углов выпуклого n-угольника равна (n — 2).180°

Условие этой теоремы полностью сохраняет силу и для невыпуклых (простых) многоугольников; так, например, ясно, что сумма углов и невыпуклого четырехугольника равна 360. Правда, приводимое в школе доказательство теоремы справедливо лишь для выпуклых многоугольников.

Понятие выпуклого многогранника чаще всего вводят по аналогии с выпуклым многоугольником. Очень хорошо эта аналогия просматривается в учебнике Александрова. Существует два способа определения выпуклого многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой из ограничивающих его плоскостей. Такой подход принят в учебниках и. Либо многогранник называется выпуклым, если любые две его точки могут быть соединены отрезком.

Такое определение дается в учебнике. В учебнике за основу берется второе определение и доказывается возможность другого (в нашем случае первого) определения [Каченовский М.И., 1959].

Остановимся подробнее на втором определении. Чаще всего в геометрии рассматривают связные фигуры, т. е. такие, в которых любые две точки можно соединить линией, целиком принадлежащей этой фигуре.

При этом соединяющая линия может оказаться довольно сложной.

Естественно выделить класс фигур, для которых в качестве линии, соединяющей две ее точки А, В, всегда можно выбрать самую простую линию — прямолинейный отрезок АВ. Такие фигуры называются выпуклыми.

Фигура F называется выпуклой, если вместе с каждыми двумя точками А, В она целиком содержит и весь отрезок АВ.

Кроме плоских, можно рассматривать пространственные выпуклые фигуры (их обычно называют выпуклыми телами). Примерами могут служить тетраэдр, параллелепипед, шар, шаровой слой и другие.

Выпуклые тела в пространстве можно определить как пересечение некоторого множества полупространств. Простейшими выпуклыми телами являются те, которые можно представить в виде пересечения конечного числа полупространств. Такие выпуклые тела называются выпуклыми многогранниками.

Свойство, положенное в основу определения выпуклых фигур (существование в фигуре прямолинейного отрезка, соединяющего любые две ее точки), с первого взгляда может показаться несущественными, даже надуманным.

В действительности же выделяемый этим определением класс выпуклых фигур является весьма интересным и важным для геометрии. Дело в том, что «произвольные» геометрические фигуры могут быть устроены необычайно сложно.

Например, определить, находится ли точка, А «внутри» или «вне» замкнутого многоугольника, совсем не просто. Если же рассматривать фигуры, не являющиеся многоугольниками, то можно столкнуться и с гораздо большими сложностями. Существует, например, плоская фигура, ограниченная не пересекающей себя замкнутой линией и в то же время не имеющая ни площади, ни периметра.

Для выпуклых фигур такие чудовищные явления не могут иметь места: внутренняя область выпуклой фигуры сравнительно просто устроена, любая ограниченная плоская выпуклая фигура обладает определенными площадью и периметром, а пространственное выпуклое тело — объемом и площадью поверхности и т. д. Таким образом, выпуклые фигуры составляют класс сравнительно просто устроенных фигур, допускающих изучение геометрическими методами [Зив Б.Г. 2000].

С другой стороны, класс выпуклых фигур является достаточно обширным. Так, все фигуры и тела, рассматриваемые в элементарной геометрии, либо являются выпуклыми, либо представляют собой несложные комбинации выпуклых фигур и тел.

После введения выпуклых многогранников изучаются их виды: призмы, пирамиды и их разновидности.

Практически во всех учебниках они определяются одинаково. А при введении определения правильного многогранника авторы учебников расходятся во взглядах.

Поэтому интересно рассмотреть различные подходы к определению понятия правильного многогранника и их методические особенности.

В различных учебниках по стереометрии используются разные определения этого понятия. Так, в учебнике и других выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

В учебнике вместо условия равенства правильных многоугольников требуется, чтобы правильные многоугольники были с одним и тем же числом сторон. Пособие А. Д. Александрова и других по сравнению с учебником накладывает дополнительное требование равенства всех двугранных углов правильного многогранника. При этом многогранник называется выпуклым, если любые две его точки соединимы в нем отрезком.

Учебное пособие дает такое определение: выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — конгруэнтные правильные многоугольники, и все его многогранные углы имеют одинаковое число граней.

В многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны. И, наконец, в книге сказано: многогранник называется правильным, если все его граниравные правильные многоугольники, и все его двугранные углы равны.

3. Свойства многогранников

Как видим, во всех перечисленных учебниках даются различные определения понятия правильного многогранника, использующие разные свойства правильных многогранников.

Перечислим их:

1. Выпуклость многогранника.

2. Все грани — равные правильные многоугольники.

3. Все грани — правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон.

4. В каждой вершине сходится одинаковое число ребер.

5. Все многогранные углы имеют одинаковое число граней.

6. Равны все многогранные углы.

7. Равны все двугранные углы.

Возможны и другие свойства правильных многогранников, например:

8. Равны все ребра многогранника.

9. Равны все плоские углы многогранника.

Какие же свойства следует взять для определения правильного многогранника? Каким методическим требованиям оно должно удовлетворять?

Нам представляется, что для отбора свойств в определении правильного многогранника нужно руководствоваться следующими требованиями:

— Всякое определение должно быть полным, т. е. включать те свойства, которые полностью определяют данное понятие. Иными словами, любое свойство данного понятия должно быть выводимо из свойств, перечисленных в определении.

— Всякое определение должно быть по возможности экономным, т. е. не содержать лишних свойств, которые выводятся из остальных свойств правильного многогранника.

— Определение понятия правильного многогранника должно отражать уже имеющиеся представления учащихся о слове «правильный» (правильный многоугольник, правильная пирамида и т. д.).

— Определение понятия правильного многогранника должно быть пространственным аналогом определения понятия правильного многоугольника на плоскости.

— Определение правильного многогранника должно допускать возможные обобщения, например, на случай полуправильных и топологически правильных многогранников.

— Определение должно быть педагогически целесообразным, т. е. свойства, включенные в него, должны в той или иной степени использоваться при изучении правильных многогранников, нести определенные педагогические функции [Земляков А.Н., 1986].

Пространственными аналогами определения правильного многоугольника являются определения, данные в пособиях.

К числу достоинств этих определений мы относим и то, что в них отсутствует требование выпуклости, которое, с одной стороны, является довольно сложным для учащихся, а с другой — фактически не используется при доказательстве теорем и решении задач.

К недостаткам этих определений следует отнести то, что они не обобщаются на случаи полуправильных и топологически правильных многогранников. Например, равенство двугранных углов не переносится на случай полуправильных многогранников.

Для определения топологически правильных многогранников следует использовать свойства, носящие топологический характер. Такими свойствами из перечисленных выше являются 3, 4 и 5. Поэтому лучше всего для этих целей подходит определение правильных многогранников, данное в учебнике.

Таким образом, мы видим, что ни одно из рассмотренных выше определений правильного многогранника не является универсальным, т. е. удовлетворяющим всем требованиям. В зависимости от целей обучения следует выбирать и соответствующее им определение.

Так, если надо только ознакомить учащихся с определением правильного многогранника, установив аналогию с определением правильного многоугольника, не исследуя при этом подробно свойства правильных многогранников, то целесообразно использовать определения, данные в пособиях. Если же мы хотим рассмотреть свойства правильных многогранников более подробно, в частности перейти к полуправильным и топологически правильным многогранникам, то лучше всего обратиться к определениям из учебников.

II. Использование моделирования при изучении темы «Многогранники»

1. Геометрическое моделирование — неотъемлемая часть современного математического образования

На практике часто приходится иметь дело с реальными объектами, имеющими форму треугольника, прямоугольника, окружности и так далее. На листе бумаги можно непосредственно с помощью линейки нарисовать отрезок прямой и измерить его длину, с помощью циркуля нарисовать дугу окружности и транспортиром измерить угловую величину этой дуги. Все это — реальные операции над реальными объектами.

В геометрии эти реальные объекты и реальные операции идеализируются, в результате чего получаются абстрактное понятие точки как бесконечно малого по размерам следа от карандаша и абстрактное понятие прямой как бесконечно тонкой линии, проведенной тем же карандашом с помощью бесконечно длинной линейки. Эти абстрактные понятия являются геометрическими моделями реальных объектов.

На реальном объекте можно провести эксперимент. Например, на нарисованном треугольнике можно измерить линейкой и транспортиром его стороны и углы и обнаружить, что против большей стороны лежит больший угол. Возникает, таким образом, гипотеза, которая после се доказательства становится теоремой и, следовательно, выполняется для любого достаточно точно построенного реального треугольника [Зив Б.Г. 2000].

Аналогичный эксперимент провел в свое время Н. И. Лобачевский. Он вычислил сумму внутренних углов треугольника, вершины которого находятся соответственно на Солнце, Земле и Сириусе, и установил, что эта сумма не более 180° и отличается от этого числа менее, чем на 0,372″ .

Предположив, что эта сумма не равна все же 180°, Н. И. Лобачевский и построил свою «воображаемую» геометрию, которая является моделью той части реального пространства, где сумма внутренних углов треугольника меньше 180°.

Исследования Н. И. Лобачевского привели к тому, что аксиоматический метод стал основным в современной математике.

При аксиоматическом методе основные понятия никак не определяются, а основные отношения определяются системой аксиом.

Поэтому в основные понятия может быть вложен любой (допустимый) смысл, а в основные отношения — такой смысл, при котором выполняются все аксиомы данной системы аксиом.

При этом получается модель рассматриваемой аксиоматической теории. Слово «модель» здесь приобретает новое значение. С одной стороны совокупность идеализированных объектов реального пространства является моделью этого пространства, а с другой эта же совокупность является (естественной) моделью аксиоматической теории евклидова пространства.

Если в основные понятия и отношения вложить другой смысл, то получится другая модель этой же теории.

Обозначим, например, черезмножество всех троек действительных чисел. Тройку I, назовем «точкой», «расстоянием» между «точками» иназовем число

«Плоскостью» назовем четверку чисел, определенную с точностью до отношениядля которойЕсли теперь определить «принадлежность» «точки""плоскости» условием то множествостанет числовой моделью пространства.

Декартова прямоугольная система координат на естественной модели пространства каждой точке М взаимно однозначно ставит в соответствие тройкуее координат, то есть «точку» числовой модели

На любой модели пространства можно ввести декартову прямоугольную систему координат и этим взаимно однозначно с сохранением основных отношений отобразить ее па числовую модель Это означает, что все модели пространства в определенном смысле одинаковы или, как говорят, изоморфны.

Другими словами, если некоторое предложение, сформулированное в терминах основных понятий и основных отношений, выполняется на одной из моделей, то оно выполняется и на всех других моделях.

Рисунок плоской геометрической фигуры, выполненный на листе бумаги, является приближением естественной модели этой фигуры с той степенью точности, которую позволяют использованные инструменты. Обычные чертежные инструменты позволяют выполнять чертежи, степень точности которых сравнима с точностью вычислений на логарифмической линейке.

Числовая модельпространства построена в рамках теории действительных чисел. Аналогично можно строить модели пространства в рамках планиметрии — плоскостные модели пространства.

Одна из таких моделей определяется методом Г. Монжа (1746−1818), представление о котором дастся в школьных учебниках геометрии [Киселев А.П., 1956]. Этот метод является основным в черчении. Иногда его можно использовать при решении геометрических задач. Но чаше более эффективными являются плоскостные модели пространства, построенные с помощью других методов.

2. Федоровские модели пространства

Гениальный русский геометр и кристаллограф Евграф Степанович Федоров (1853 -1919), занимаясь кристаллографией, искал возможность геометрического моделирования кристаллических структур и с этой целью построил две плоскостные модели пространства, одну из которых — циклографическую — мы сейчас и рассмотрим.

Фиксируем в пространстве некоторую плоскость Н. Она разбивает все пространство па два полупространстваи. Окружность в плоскости Н будем считать положительно ориентированной, если определено движение точки по этой окружности так, что из любой точки полупространстваоно видно как выполняющееся против часовой стрелки, и отрицательно ориентированной, если движение по ней видно как выполняющееся против часовой стрелки из любой точки полупространства Н". Положительно ориентированную окружность с центром в точке, А и радиусабудем обозначать через, а отрицательно ориентированную — черезi. Точки плоскости Н рассмотрим как окружности нулевого радиуса. Ориентированные окружности и окружности нулевого радиуса называются циклами.

Определим теперь взаимно однозначное отображение пространства на множество всех циклов плоскости Н по следующему правилу. Обозначим через, А ортогональную проекцию произвольной точки пространства на плоскость Н и черездлину отрезка Поставим в соответствие точке:

окружность нулевого радиуса с центром в точке А, если цикл, если, цикл, если (рис. 1).

Построенное отображение переносит структуру пространства на множество всех циклов плоскости Н, и это множество становится (циклографической) моделью пространства. [Клопский В.М., 1979]

Рис. 1

На этой модели:

прямая, параллельная плоскости Н, изображается в виде множества всех одинаково ориентированных циклов одного радиуса, центры которых лежат на одной прямой;

прямая, пересекающая плоскость Н, представляется как множество всех гомотетичных между собой циклов с общим центром гомотетии, который является точкой пересечения этой прямой с плоскостью Н;

плоскость, параллельная плоскости Н, изображается как множество всех одинаково ориентированных циклов одного радиуса;

*плоскость, пересекающая плоскость Н по прямой d, представляется как множество всех циклов, таких, что каждые два либо одинаково ориентированы, имеют равные радиусы и прямая, проходящая через их центры, параллельна прямой d, либо их центр гомотетии лежит на прямой d, и отношение радиусов этих циклов равно отношению расстояний от их центров до прямой d [Люстерник Л.А., 1956].

Расстояние между двумя «точками» на этой модели пространства можно вычислить следующим образом. Рассмотрим, например, «точки"и. На перпендикулярах к прямой АВ в точках, А иВ по одну сторонуот прямой АВ построим соответственно точкиитакие, что, Длина отрезка и есть «расстояние» между рассматриваемыми «точками». Построенную выше циклографическую модель пространства Е. С. Федоров применял для изображения различных кристаллических структур. Например, структура, в которой атомы расположены в вершинах куба, представлена на рис. 3.

Рис. 2 Рис. 3

Замечательно, что каждой теореме стереометрии на циклографической модели соответствуют несколько теорем о циклах на плоскости. Рассмотрим, например, теорему: если точки А, В и С не принадлежат плоскости и не лежат на одной прямой, а прямые ЛВ, ВС и АС ее пересекают, то точки пересечения этих прямых с плоскостью лежат на одной прямой. За «плоскость» на циклографической модели примем «плоскость» Н. Приведенная теорема в терминах планиметрии формулируется так: три центра гомотетии каждых двух из трех данных ориентированных окружностей попарно различных радиусов лежат на одной прямой. Принимая за «плоскость» другие «плоскости», получим ещё несколько теорем планиметрии. Учитывая, кроме того, существование других моделей пространства, Е. С. Федоров, подобно Архимеду, говорил: «Дайте мне одну теорему и я создам множество теорем».

От циклографической модели пространства легко перейти к другой федоровской модели — векториальной.

Выберем на плоскости Н два взаимно противоположных направления лучей и одно из них назовем положительным, а другое — отрицательным. Поставим в соответствие каждому циклу пару точек плоскости Н так, что, если цикл является:

* окружностью нулевого радиуса с центром в точке А, то

*окружностью, то «а — точка пересечения этой окружности с лучом положительного направления, имеющим точку, А начальной;

* окружностью, то, а — точка пересечения этой окружности с лучом отрицательного направления, имеющим точку, А начальной.

Построенное взаимно однозначное отображение циклографической модели пространства на множество всех пар точек плоскости Н переносит на это множество структуру пространства и оно тоже становится моделью — федоровской векториальной моделью пространства.

Куб на этой модели пространства представлен на рис. 4. Такое изображение куба достаточно наглядно и удобно для выполнения на нем различных построений.

Рис.4

Далее, говоря «федоровская модель пространства», будем иметь в виду именно векториальную модель. Пока более подробно мы не будем её рассматривать, поскольку она является лишь частным (хотя и очень важным) случаем проекционнной модели евклидова пространства, являющейся предметом нашего дальнейшего изучения.

3. Общие вопросы применения изображений пространственных фигур в преподавании геометрии

Геометрия — составная часть математики, и поэтому главные принципы ее преподавания вытекают из основных положений обучения математики. «Математика является экспериментальной наукой — частью теоретической физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы построения и преподавания всех этих паук применимы и к математике — считает академик В. И. Арнольд. Первое из десяти основных положений, сформулированных Л. Д. Кудрявцевым в его книге «Мысли о современной математике и её изучении», гласит: «В курсе математики изучаются математические модели». При таком понимании сущности математики и её преподавания целями преподавания геометрии являются:

приобретение учащимися знаний о свойствах реального пространства, геометрических фигур в нем и (количественных и качественных) отношений между элементами этих фигур;

приобретение ими умений и навыков решения геометрических задач;

развитие теоретико-логического и образного мышления, их пространственного представления;

приобщение учащихся к исследовательской работе, проведению эксперимента;

воспитание интеллектуальных качеств личности, развитию которых способствуют занятия математикой [Паповский В.М., 1993].

Очевидно, что преподавание геометрии немыслимо без использования изображений, и вопрос лишь в том, как наиболее эффективно их применять для достижения поставленных целей.

Предварительно уточним, что понимается под изображением пространственной фигуры и какова его связь с моделью этой фигуры. Начиная с работ К. Польке, под изображением пространственной фигуры обычно понимают фигуру, подобную параллельной проекции оригинала па плоскость изображений, то есть образ оригинала при аффинном отображении пространства на плоскость изображений. Таким образом, изображение фигуры обязательно предполагает наличие оригинала. А это значит, что приняв некоторую плоскость за плоскость оснований и выбрав направление внутреннего проектирования, зная оригинал и его изображение, всегда можно построить такую модель рассматриваемой фигуры, в которой компонент Ф является ее изображением. При этом сама модель может рассматриваться как оригинал. Например, если сказано, что квадрат ABCD — изображение куба, то можно предполагать данной и федоровскую модель этого куба с основанием .

Рис. 5

Учитывая изложенное и не отождествляя понятия изображения и модели, далее при упоминании об изображении, будем иметь в виду и некоторую модель, связанную с ним.

Понятие изображения пространственной фигуры на плоскости, определенное в терминах теоретико-логического мышления, является вместе с тем и объектом образного мышления, и, поскольку речь идет об обучении, средством воспитательного воздействия на учащихся. Отсюда вытекают следующие свойства, которыми могут обладать или не обладать рассматриваемые изображения.

I. Верные изображения. Это понятие введено Н. Ф. Четверухиным, и относится оно к определенным выше изображениям. Дело в том, что в учебной литературе довольно часто встречаются иллюстрации, выдаваемые за изображения, но не являющиеся таковыми, если в слово «изображение» вкладывать его точный смысл. Подобные иллюстрации Н. Ф. Четверухин назвал «неверными изображениями».

Изображения в широком смысле, используемые в практической деятельности, очень разнообразны. Это и диаграммы, и схемы, и карты, и чертежи, и произведения изобразительного искусства. Каждое из них рассчитано на определенную область применения. Например, схема метро определяет порядок следования станций на каждой линии, но не может служить для определения расстояния между двумя станциями.

В каждом школьном учебнике геометрии приводится определение изображения пространственной фигуры на плоскости. Учащийся вполне естественно каждую иллюстрацию рассматривает как изображение. Поэтому неверные изображения, как и неправильные аргументы в доказательстве теоремы, совершенно недопустимы в преподавании геометрии, так как они препятствуют развитию теоретико-логического мышления, создают неверное пространственное представление, затрудняющее решение задач, и, возможно самое главное, воспитывают такие черты характера, как небрежность и безответственность.

II. Наглядные изображения. Изображение пространственной фигуры является наглядным, если оно создаёт в воображении четкий пространственный образ оригинала. Формирование и развитие образного мышления при обучении геометрии невозможно без использования наглядных изображений. Однако когда образное мышление учащихся уже в достаточной степени сформировано, вполне допустимо применять и не очень наглядные изображения, такие, например, как федоровские модели фигур или выполненные по методу Монжа представлено не наглядное изображение куба, но при обучении решению задач уже достаточно подготовленных учащихся оно вполне может быть использовано.

III. Изображения, простые для выполнения. Таковыми являются изображения, для построения которых требуются простые чертежные инструменты и небольшое число простых конструктивных операций. Именно этими свойствами должны обладать изображения, чтобы их можно было использовать во время учебных занятий при изучении теории и при решении простейших задач. Простое для выполнения изображение можно быстро построить, не отвлекая внимания учащихся от того основного, чему посвящено занятие. Это не означает, что в преподавании геометрии применимы только простые для выполнения изображения. Решение нетривиальных задач, исследовательская работа, проведение экспериментов, организация самостоятельной работы учащихся требуют использования иногда и довольно сложных для выполнения изображений. Графический редактор CorelDRAW 6−8 позволяет строить такие изображения и размножать их в виде различных печатных материалов, предназначенных для индивидуального использования [Клопский В.М., 1979].

IV.Изображения, простые для чтения. Изображения нужно уметь читать так же, как текст. И этому умению учащихся необходимо обучать, начиная с изображений, простых для чтения. Такие изображения должны быть оптимальных размеров, содержать немного элементов, описывать лишь две или три конструктивные операции, причем полученные; в результате каждой операции элементы должны быть четко выделены при помощи различных изобразительных средств. Фактически разбивая сначала сложные для чтения изображения на серию простых, нужно обучить учащихся делать такое расчленение мысленно.

V. Функциональные изображения. Это такие изображения, основным назначением которых является эффективное решение поставленной геометрической задачи. Функциональность изображения предполагает возможность наиболее просто выполнять на нем необходимые дополнительные построения и на этой основе строить схему или гипотезу решения задачи. Функциональные изображения не всегда бывают наглядными, но без их использования невозможно полноценное обучение решению геометрических задач. Довольно часто роль функциональных изображений выполняют федоровские модели пространственных фигур.

VI. Изображения, достаточно точно построенные. Назначением таких изображений является проведение исследований, экспериментов и приближенных вычислений. Достаточно точно построенные изображения, выполненные на бумаге с помощью чертежных инструментов, можно использовать для приближенных вычислений с точностью до двух значащих цифр, а выполненные на дисплее компьютера, — с точностью до пяти значащих цифр. Эти изображения являются таким же средством вычислений, как аналоговые вычислительные машины, только с меньшей степенью точности, а проводимые на них математические эксперименты, но своей достоверности равносильны физическим экспериментам. Применение в преподавании геометрии достаточно точно построенных изображений позволяет избежать формализма и приобщить учащихся к математическому моделированию.

VII. Композиционное изображение. Это понятие введено художником П. Я. Павлиновым и относится оно к изображениям, выполненным в соответствии с правилами художественной композиции. Эти изображения воспитывают художественный вкус, благоприятны для зрительного восприятия и таким образом поддерживают интерес к изучению геометрии.

Рассмотренные свойства изображений следует использовать в зависимости от вида учебного процесса.

4. Изображения в систематическом курсе геометрии. Типичные ошибки

Изложение курса геометрии в учебнике или во время учебных занятий (на лекциях или уроках) предполагает наличие определенной системы учебного материала. Понятно, что и изображения пространственных фигур должны быть систематизированы, то есть, должна быть предусмотрена определенная связь последующих изображений с предыдущими. Без такой систематизации изображений невозможно добиться ни полноценного усвоения учащимися геометрических знаний, ни должного уровня развития их образного мышления.

Основой развития образного мышления является графическая грамотность. П. Я. Павлинов приводит слова Дидро: «Страна, в которой учили бы рисовать так же, как учат читать и писать, превзошла бы вскоре все остальные страны во всех искусствах, науках и мастерствах и, тоже проводя параллель между обучением письму и обучением графической грамотности, считает, что «количество различных примеров должно перейти в качество свободного умения изображать всякую вещь». И далее: «Это умение должно проникнуть в подсознание, подобно тому, как при обучении письму мы сначала изучаем графическое изображение букв (А, Б, В и т. д.) и эти изображения являются на данном этапе самодовлеющими. Но проходит время, и из этих букв составляются слова. Форма буквы для буквы начинает ослабляться, её начинает замещать форма буквы в слове, связь буквы с мыслью, и, наконец, из нашего сознания эта форма исчезает, уходит в подсознание, вместо этого появляется непосредственное умение писать знаками свою мысль, звуковое сочетание» [Саакян С.М., 2000].

Обучение графической грамотности и на ее основе развитие образного мышления диктует следующие принципы системы изображений в курсе геометрии:

каждое изображение системы должно обладать свойствами, в наибольшей степени способствующими достижению целей преподавания геометрии;

изображений должно быть достаточно много;

должны использоваться различные изображения одной и той же фигуры;

сложные для построения и их чтения изображения должны складываться из сочетающихся с ними предшествующих простых, выполненных на одной и той же проекционной модели пространства.

Покажем применение этих принципов на примерах изображений основных фигур в курсе геометрии.

Плоскость. На рис. 6 приведены восемь изображений куска горизонтальной плоскости (плоскости оснований). В учебнике А. В. Погорелова читаем: «Плоскость мы представляем себе как ровную поверхность крышки стола… и поэтому будем изображать ее в виде параллелограмма». Учащиеся повседневно имеют дело со столами, с их крышками в виде прямоугольника, и поэтому изображение а) (рис. 6) куска плоскости подсознательно ассоциируется у них с изображением прямоугольника. Поэтому применение только таких изображений плоскости неизбежно приводит к ошибкам, о чем далее еще будет идти речь.

Куб. Ранее рассматривались изображения куба в связи с решением задач на построение моделей фигур. Теперь же рассмотрим изображение куба как один из основных элементов системы изображений курса геометрии.

Здесь наиболее значительная роль изображений куба состоит в том, что на их основе строятся изображения декартовой прямоугольной системы координат. Изображению куба во фронтальной диметрии (рис. 6, а) соответствует изображение декартовой прямоугольной системы координат в кабинетной проекции (рис. 7, а), федоровской модели куба (рис. 6, б) — изображение декартовой прямоугольной системы координат в военной проекции (рис. 7, б), ортогональной проекционной модели куба (рис. 6, в) — изображение декартовой прямоугольной системы координат в ортогональной проекции (рис. 7, в). Если изображение декартовой прямоугольной системы координат в кабинетной или военной проекции строится просто, то этого нельзя сказать об ортогональной проекции.