Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядка в различных случаях зависимости правой части от первой производной

Данная диссертация посвящена изучению ряда краевых задач с малыми параметрами, возникших на основе усложнения и развития следующей сингулярно возмущённой задачи (см. [1], [2]).

Наиболее простым из возможных решений (1) является погранслойное решение, характерная особенность которого заключается в наличии вблизи граничных точек областей резкого изменения искомой функции от граничных значений до некоторого решения вырожденного уравнения (уравнения, получающегося из исходного при обращении параметра возмущения в пуль).

При рассмотрении сингулярно возмущённых уравнений, как правило, ставится задача построения асимптотического представления некоторого точного решения. В работах [1], [2] с помощью метода пограничных функций была построена асимптотика погранслойного решения (1). Суть этого метода заключается в представлении решения у (х, е) в виде суммы трёх составляющих: регулярной у (х, е), левой П (т, е) и правой Q (p, e) пограничных и построении асимптотического разложения каждой из них в отдельности. При этом члены левого погранслоя зависят от растянутой переменной т = х/е, а правого от р = (х — 1)/е.

Таким образом, метод пограничных функций даёт представление решения в виде некоторого ряда по степеням малого параметра.

1) у (х, е) = у0(х) + еу^х) + ••• П (т, е) = П0(т) + elli® + ••• Q (p, e) = Q0(p) + eQi (p) + •••.

2) y{xi e) = Шх) + По (т) + Q0(p)) +? (j7x (x) + П,(г) + Q^p)) + ¦

Каждая конечная сумма этого ряда удовлетворяет уравнениям задачи (1) по невязке (сам ряд, вообще говоря, расходится). Недостатком метода погранфунций является то, что сам по себе он не предлагает доказательства существования решения близкого к получаемому на основе данного метода представлению. Указанное доказательство обычно называют обоснованием асимптотики.

Для обоснования асимптотического разложения может быть использован метод дифференциальных неравенств (см. [3], [4]). В основе его применения для краевых задач первого рода лежит построение упорядоченной пары функций (так называемых барьеров), удовлетворяющих некоторым конечным и дифференциальным неравенствам. После осуществления этого построения на основании соответствующей теоремы, делается вывод о существовании решения, заключённого между данными барьерами. Таким образом, мы получаем приближение этого решения с точностью, определяемой расстоянием между барьерными функциями (чем меньше расстояние, тем выше точность).

Недостаток метода дифференциальных неравенств, в свою очередь, заключается в том, что он не предлагает никакого ответ на вопрос о способе построения барьерных функций. Этот ответ в определённом смысле даёт метод пограничых функций (см. [5]). Дело в том, что барьерные решения могут быть получены с помощью незначительных модификаций любой из конечных сумм получаемого с его помощью ряда. Поскольку расстояние между барьерами при этом оказывается асимптотически малым, то можно говорить о получении асимптотического представления рассматриваемого решения.

Таким образом, видно, что соединённые вместе, эти методы лишают друг друга присущих им недостатков. Метод пограничных функций способствует построению барьерных решений, а метод дифференциальных неравенств обоснованию асимптотичности получаемого на основе метода погранфункций представления.

В работах [1], [2] помимо погранслойных исследуются решения с внутренними слоями (называемые также контрастными структурами). Под последними подразумеваются решения, имеющие резкие изменения в окрестностях внутренних точек области определения. Частным случаем подобных решений являются контрастные структуры типа стуиеньки (КСТС). В них речь идёт об изменении искомой функции от одного решения вырожденного уравнения до некоторого другого его решения.

В своё время был поставлен вопрос об обобщении уравнения (1) на случай зависимости правой части от первой производной e2y" =F{y', y, x). (3).

Метод пограничных функций для построения асимптотического разложения (3), вообще говоря, не работает, т.к. у' — величина ~ 1/е. Здесь возможно использование метода сращивания (см. [6]). Были предприняты попытки отыскать классы функций F, для которых метод погранфункций всё же оказывается применим. Было избрано два варианта: первый — линеаризация F по у' и второй — ослабление её первого аргумента.

1) F = у’А (у, х) + В (у, х),.

2) F = F (eky', y, x).

Для первого случая соответствующая задача рассмотрена в [7]. Использование метода погранфункций не встретило здесь принципиальных ограничений. Отметим только, что растянутые переменные, задействованные при построении асимптотики её решений, имели порядок 1/е2.

Во втором варианте вопрос о применимости метода ногранфункций во многом ставится в зависимость от величины к (предполагается, что к принимает лишь положительные рациональные значения). Можно выделить две качественно различные ситуации. При к > 1 данная задача как по виду решений так и по характеру их построений сближается со случаем (1) (т. е. с полным отсутствием зависимости правой части от первой производной). Для к = 1 она рассмотрена в [8]. Если же к < 1, то получение асимптотики для случая с произвольной правой частью прежними способами, вообще говоря, не представляется возможным. В связи с этим, в работе [9] проанализирована задача с функцией F линейной по первому аргументу: F = у/е у' А (у, х) + В (у, х) (в качестве к взято конкретное значение к = ½).

Итак, в [9] была рассмотрена задача при прежних граничных условиях (1) (с целью удобства изложения у/е переобозначен через е). Было построено асимптотическое разложение для случая погранслойного решения и с помощью метода дифференциальных неравенств проведено его обоснование. Отличительной особенностью данного решения является то, что его левая и правая погранслойные части зависят от растянутых переменных разного порядка (одна из них имеет порядок 1/е, а другая — 1/е3) — Что касается КСТС (т. е. решений с внутренними переходными слоями) для уравнения (4), то их построение, составляет одно из основных направлений исследования настоящей диссертации (см. также [10]). Выяснилось, что здесь, при определённых условиях, могут возникать КСТС двух видов. В ступеньках первого вида растянутая переменная внутреннего переходного слоя имеет порядок 1/е (переход плавного типа), а в ступеньках второго — 1/е3 (переход резкого типа).

Другим важным направлением исследования данной диссертации, является изучение возможности применения результатов, полученных при рассмотрении (4) для случая, когда функции, А и В, входящие в правую часть, допускают зависимость от первой производной (см. также [12]-[14]). Это удалось сделать для следующего уравнения е4у" = еу’А (у, х) + В (у, х),.

4) е4 у" = е у' А (е3у', у, х) + В (еУ, у, х).

5).

Именно, в случае (5) с помощью метода пограничных функций было построено по-гранслойное решение, в качестве растянутых переменных левой и правой пограничных частей которого использовались т = х/е3 и р = (х — 1)/е соответственно. Обоснование асимптотики было проведено методом дифференциальных неравенств.

Отметим одно важное обстоятельство, связанное с применимостью последнего. Дело в том, что метод дифференциальных неравенств, вообще говоря, не может быть использован в случае, когда правая часть уравнения имеет более чем квадратичный рост по первой производной (при у' —> оо). В то же время в (5) никаких специальных ограничений на характер роста функций, А и В по своим первым аргументам не накладывается. Таким образом, возникает задача распространения метода дифференциальных неравенств на уравнения, правая часть которых допускала бы произвольный порядок роста по производной искомой функции. Её разрешение также представляет собой один из основных результатов данной диссертации (см. также [15], [16]).

Завершающим этапом диссертации является естественное обобщение на задачи для уравнений параболического типа соответствующих постановок для обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналогом (4) выступает задача по отысканию Т-нериодиче-ского по t решения следующей системы (о периодичесуих решениях сингулярно возмущенных параболических уравнений см. также в [17]-[19]) при дополнительных условиях задачи (6).

Всё сказанное по поводу обыкновенных дифференциальных уравнений в полной мере относится и к этим постановкам. Так же как и в случае с (5) при рассмотрении (7) для обоснования асимптотики пришлось пойти на расширение границ области применимости метода дифференциальных неравенств, распространив его на уравнения, допускающие более чем квадратичный рост правой части, но пространственной производной ду/дх.

Отметим в заключение, что параболическое уравнение (6) является уравнением типа реакция-адвекция-диффузия и может выступать в качестве модельного для описания динамики вязкой жидкости, а также процессов тепло-массопереноса с конвективными потоками.

6).

7).

Краткое содержание работы.

Первая глава посвящена рассмотрению краевой задачи первого рода для уравнения (5). В ней было проведено построение асимптотики обычного погранслойного решения (т. е. решения без внутренних, в том числе переходных, слоёв). При её обосновании используется теорема, доказательство которой находится в дополнении А.

Содержание второй главы составляет построение и обоснование асимптотического разложения контрастных структур типа ступеньки для случая (4) (т. е. для случая линейной зависимости от первой производной). Отметим, что наличие даже линейной зависимости по у' оказалось способным внести качественно новые (по сравнению с её отсутствием) элементы как в саму структуру этих решений, так и в условия их возникновения.

Третья глава посвящена изучению (7), представляющей собой краевую задачу Дирихле для одномерного параболического уравнения с условием периодичности по времени. Здесь также как и в первой главе строится асимптотика решения, имеющего только пограничные слои. Её обоснование опирается на теорему, доказательство которой содержится в дополнении В.

Наконец, в четвёртой главе рассматривается соответствующая задача для уравнения (6). В ней, также как и во второй главе, изложение сконцентрировано на исследовании КСТС.

1. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

2. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

3. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостехиздат, 1950.

4. Nagumo М. Uber die Differenzialgleichung у" = f (x, y, y') // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1937. V. 19. P. 861−866.

5. Нефёдов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. № 7. С. 1132−1139.

6. Виишк М. И., Люстерник Л. А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // Докл. АН СССР. 1960. Т. 132. № 6. С.1242−1245.

7. Васильева А. Б. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1995. Т. 35. № 4. С. 520−531.

8. Васильева А. Б., Давыдова М. А. О контрастной структуре типа ступеньки для одного класса нелинейных сингулярно возмущённых уравнений второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1998. Т. 38. № 6. С. 938−947.

9. Васильева А. Б., Давыдова М. А. Сингулярно возмущённое уравнение второго порядка с малыми параметрами при первой и второй производных // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1999. Т. 39. № 9. С. 1504−1512.

10. Букжалёв Е. Е. Решение сингулярно возмущенной краевой задачи с внутренними переходными слоями, зависящими от растянутых переменных разного порядка // Матем. методы и прилож. (Тр. X матем. чтений МГСУ). М.: Изд-во МГСУ, 2003. С. 32−35.

11. Букжалёв Е. Е. Контрастные структуры типа ступеньки, растянутые переменные которых зависят от различны^ степеней параметра возмущения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 20 057 Т. 43. JVM.

12. Васильева Л. В., Букжалёв Е. Е. Сингулярно позмущенная краевая задача с ио-гранслоями, зависящими от растянутых переменных разных порядков // Матем. методы и прштож. (Тр. VIII матем. чтений МГСУ). М.: Изд-во МГСУ, 2001. С. 1215.

13. Васильева Л. Б., Букжалёв Е. Е. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, правая часть которого квадратичным образом содержит производную искомой функции // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 6. С. 724 734.

14. Букжалёв Е. Е. Сингулярно возмущенное уравнение с погранслойным решением, растянутые переменные которого зависят от различных степеней параметра возмущения. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 12. С. 1801−1811.

15. Васильева А. Б., Букжалёв Е. Е. О построении верхних и нижних решений по методу Нагумо // Матем. методы и прилож. (Тр. IX матем. чтений МГСУ). М.: Изд-во МГСУ, 2002. С. 33−36.

16. Букжалёв Е. Е. О построении верхних и нижних решений, но методу Нагумо // Девятая Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2002». Секция «Физика». Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ, 2002. С. 45−46.

17. Васильева А. Б., Омельченко О. Е. Периодические контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 2. С. 198−208.

18. Васильева А. Б. О периодических решениях уравнений параболического типа с малыми параметрами. // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. JV?12. С. 2076;2081.

19. Васильева А. Б., Волков В. Т. Периодические решения некоторых сингулярно возмущенных уравнений параболического типа. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25. № 4. С. 609−614.

20. Тихонов А.II., Свешников А. Г., Васильева А. Б. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1998.

21. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Нефёдов II.II. Асимптотическая теория контрастных структур // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. С. 4−32.

22. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Нефёдов Н. Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундамент, и ирикл. матем. 1998. Т. 4. jY"3. С. 799−851.

23. Васильева А. Б. К вопросу о близких к разрывным решениях в системе с малым параметром при производных условно устойчивого типа // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 9. С. 1560−1568.

24. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущённые уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978.

25. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. 8-е изд. М.: Гостехиздат, 1959.

26. Sattinger D.H. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V.21. № 11. P.979−1001.

27. Amann H. Periodic solutions of semi-linear parabolic equations. In «Nonlinear Analysis: A Collection of Papers in Honor of Erich Rot he», New York, Academic Press, 1978. P. 129.

28. Amann H. Existence and multiplicity theorems for semi-linear elliptic boundary value problems // Math. Z. 1976. V. 150. P. 281−295.

29. Нефедов II.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 4. С. 719−722.

30. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H.II. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.