Моделирование дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения
По ряду распределения составим теоретическую функцию распределения F (x), изображённую на рис. 2. Смоделируем дискретную случайную величину, имеющую геометрический закон распределения, методом Монте — Карло. Для этого надо: Вывод: Из математического моделирования с помощью Turbo Pascal видно, что частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к рассчитанной теоретически… Читать ещё >
Моделирование дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Московский авиационный институт
/государственный университет/
Филиал «Взлет».
Курсовая работа
по Теории вероятности и математической статистике
Выполнил: студент группы
Р 2/1 Костенко В.В.
Проверил: Егорова Т.П.
г. Ахтубинск 2004 г.
Задание № 1: Проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы. Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения
Задание № 2: Смоделируем случайную величину, имеющую геометрический закон распределения случайной величины
Задание № 3: Проверка критерием Колмогорова: имеет ли данный массив соответствующий закон распределения
Список используемой литературы
Задание № 1. Проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы
Определение: При неограниченном увеличении числа опытов n частота события A сходится по вероятности к его вероятности p.
План проверки: Составить электрическую схему из последовательно и параллельно соединенных 5 элементов, рассчитать надежность схемы, если надежность каждого элемента: 0.6 < pi < 0.9. Расчет надежности схемы провести двумя способами. Составить программу в среде Turbo Pascal .
Схема:
Электрическая цепь, используемая для проверки теоремы Бернулли:
Расчет:
Чтобы доказать выполнимость теоремы Бернулли, необходимо чтобы значение частоты появления события в серии опытов в математическом моделировании равнялось значению вероятности работы цепи при теоретическом расчёте этой вероятности.
Математическое моделирование в среде Turbo Pascal
Program KURSOVIK;
Uses CRT;
Const c=5;
Var op, i, j, n, m:integer;
a, rab, pp, ppp, ppp1, ppp2:real;
p:array[1.c] of real;
x:array[1.c] of byte;
Begin
ClrScr;
Randomize;
p[1]: =0.7; p[2]: =0.8; p[3]: =0.9; p[4]: =0.7; p[5]: =0.8;
Writeln (' Опытов: Исходы: Вероятность:'); Writeln;
For op:=1 to 20 do Begin
n:=op*100;m:=0;
Write (' n=', n:4);
For i:=1 to n do Begin
For j:=1 to c do Begin
x[j]: =0;
a:=random;
if a
End;
rab:=x[i]+x[2]*(x[3]+x[4]+x[5]);
If rab>0 then m:=m+1;
End;
pp:=m/n;
writeln (' M= ', m:4,' P*= ', pp:3:3);
End;
ppp1:=p[1]+p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);
ppp2:=p[1]*p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);
ppp:=ppp1-ppp2;
Writeln; Writeln (' Вер. в опыте: p=', ppp:6:3);
Readln;
End.
Результат работы программы
Опытов: Исходы: Вероятность:
n= 100 M= 94 P*= 0.940
n= 200 M= 163 P*= 0.815
n= 300 M= 247 P*= 0.823
n= 400 M= 337 P*= 0.843
n= 500 M= 411 P*= 0.822
n= 600 M= 518 P*= 0.863
n= 700 M= 591 P*= 0.844
n= 800 M= 695 P*= 0.869
n= 900 M= 801 P*= 0.890
n=1000 M= 908 P*= 0.908
n=1100 M= 990 Р*= 0.900
n=1200 M= 1102 P*= 0.918
n=1300 M= 1196 P*= 0.920
n=1400 M= 1303 P*= 0.931
n=1500 M= 1399 P*= 0.933
n=1600 M= 1487 P*= 0.929
n=1700 M= 1576 P*= 0.927
n=1800 M= 1691 P*= 0.939
n=1900 M= 1782 P*= 0.938
n=2000 M= 1877 P*= 0.939
Вероятность в опыте: p= 0.939
Теоретический расчёт вероятности работы цепи:
I способ:
II способ:
Вывод: Из математического моделирования с помощью Turbo Pascal видно, что частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к рассчитанной теоретически вероятности данного события P (A) = 0.939.
Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения
Моделирование случайной величины, имеющей геометрический закон распределения:
(X=xk) = p (1-p)k
где xk = k=0,1,2…, р — определяющий параметр, 0
k) получим теоретический многоугольник распределения, изображённый на рис. 1.
По ряду распределения составим теоретическую функцию распределения F (x), изображённую на рис. 2. Смоделируем дискретную случайную величину, имеющую геометрический закон распределения, методом Монте — Карло. Для этого надо:
1. Разбить интервал (0;1) оси ОК на k частичных интервалов:
1 — (0;р1), 2 — (р1;р1+р2) … k — (p1+p2+…+pk-1;1)
2. Разбросать по этим интервалам случайные числа rj из массива, смоделированного датчиком случайных чисел в интервале (0;1). Если rj попало в частичный интервал I, то разыгрываемая случайная величина приняла возможное значение xi.
По данным разыгрывания составим статистический ряд распределения Р*(Х) и построим многоугольник распределения, изображенный на рис. 1. Построим статистическую функцию распределения F*(X), изображённую на рис. 2. Теперь посчитаем теоретические и статистические характеристики дискретной случайной величины, имеющей геометрический закон распределения.
Рис. 1.
Рис. 2.
Задание № 2. Смоделируем случайную величину, имеющую геометрический закон распределения случайной величины
Программа в Turbo Pascal:
Program kursovik;
Uses crt;
Const M=300;
Var
K, I: integer;
P, SI, SII, SP, DTX, DSX, MX, MSX, GT, GS: real;
X:array[1.300] of real;
PI, S, P1,MMX, MS, D, DS, PS, STA, STR: ARRAY[0.10] OF REAL;
BEGIN;
CLRSCR;
randomize;
{ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РЯД}
WRITELN ('ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РЯД:');
P:=0.4; SI:=0;
FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN
IF K=0 THEN PI[K]: =P ELSE
IF K=1 THEN PI[K]: =P*(1-P) ELSE
IF K=2 THEN PI[K]: =P*SQR (1-P) ELSE
IF K=3 THEN PI[K]: =P*SQR (1-P)*(1-P) ELSE
IF K=4 THEN PI[K]: =P*SQR (SQR (1-P)) ELSE
IF K=5 THEN PI[K]: =P*SQR (SQR (1-P))*(1-P) ELSE
IF K=6 THEN PI[K]: =P*SQR (SQR (1-P))*SQR (1-P) ELSE
IF K=7 THEN PI[K]: =P*SQR (SQR (1-P))*SQR (1-P)*(1-P) ELSE
IF K=8 THEN PI[K]: =P*SQR (SQR (SQR (1-P))) ELSE
IF K=9 THEN PI[K]: =P*SQR (SQR (SQR (1-P)))*(1-P) ELSE
IF K=10 THEN PI[K]: =P*SQR (SQR (SQR (1-P)))*SQR (1-P) ELSE
SI:=SI+PI[K];
WRITELN (' P[', K,']=', PI[K]: 6:5);
END;
READLN;
WRITELN ('ИНТЕРВАЛЫ:');
P1[1]:=0.4;
FOR K:=1 TO 10 DO BEGIN
P1[K+1]: =PI[K]+P1[K];
WRITELN ('PI[', K,']=', P1[K]: 6:5);
END;
READLN;
{СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД}
WRITELN;
WRITELN ('СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД:');
FOR I:=1 TO 9 DO BEGIN
X[I]: =RANDOM;
WRITE (X[I]:5:2);
END;
READLN;
FOR I:=10 TO 99 DO BEGIN
X[I]: =RANDOM;
WRITE (X[I]:5:2);
END;
READLN;
FOR I:=100 TO 200 DO BEGIN
X[I]: =RANDOM;
WRITE (X[I]:5:2);
END;
READLN;
FOR I:=201 TO 300 DO BEGIN
X[I]: =RANDOM;
WRITE (X[I]:5:2);
END;
READLN;
PS[K]:=0;
FOR I:=1 TO M DO BEGIN
FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN
IF ((X[I]=P1[K-1])) THEN BEGIN
PS[K]: =PS[K]+1;
END;
END;
END;
FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN
STA[K]: =PS[K+1]/M;
WRITELN ('P*[', K,']=', STA[K]:6:5);
END;
WRITELN;
WRITELN ('СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИНТЕРВАЛЫ:');
STR[1]: =STA[0];
FOR K:=1 TO 10 DO BEGIN
STR[K+1]: =STR[K]+STA[K];
WRITELN (' PS[', K,']=', STR[K]: 6:5);
END;
READLN;
{ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ МАТОЖИДАНИЕ Mx}
MX:=0;
FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN
MMX[K]: =K*PI[K];
MX:=MX+MMX[K];
END;
WRITELN ('ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ МАТОЖИДАНИЕ MX:', MX:6:5);
MSX:=0;
FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN
MS[K]: =K*STA[K];
MSX:=MSX+MS[K];
END;
WRITELN ('СТАТИСТИЧЕСКОЕ МАТОЖИДАНИЕ Mx*:', MSX:6:5);
WRITELN;
{ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ Dx}
DTX:=0; DSX:=0;
FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN
D[K]: =SQR (K-MX)*PI[K];
DTX:=DTX+D[K];
DS[K]:=SQR (K-MSX)*STA[K];
DSX:=DSX+DS[K];
END;
WRITELN ('ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ Dx:', DTX:6:5);
WRITELN ('СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ Dx*:', DSX:6:5);
WRITELN;
{ТЕОР И СТАТ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ G}
GT:=SQRT (DTX);
GS:=SQRT (DSX);
WRITELN ('ТЕОР СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ G:', GT:6:5);
WRITELN ('СТАТ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ G*:', GS:6:5);
WRITELN;
READLN;
END.
Результаты:
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РЯД:
P[0]=0.40 000
P[1]=0.24 000
P[2]=0.14 400
P[3]=0.8 640
P[4]=0.5 184
P[5]=0.3 110
P[6]=0.1 866
P[7]=0.1 120
P[8]=0.672
P[9]=0.403
P[10]=0.242
ИНТЕРВАЛЫ:
PI[1]=0.40 000
PI[2]=0.64 000
PI[3]=0.78 400
PI[4]=0.87 040
PI[5]=0.92 224
PI[6]=0.95 334
PI[7]=0.97 201
PI[8]=0.98 320
PI[9]=0.98 992
PI[10]=0.99 395
Статистический ряд:
0.57 0.86 0.58 0.11 0.81 0.26 0.17 0.14 0.51 0.53 0.80 0.57 0.17 0.14 0.30 0.58 0.80 0.55 0.86 0.81 0.80 0.18 0.39 0.02 0.74 0.67 0.57 0.32 0.30 0.92 0.64 0.95 0.96 0.25 0.10 0.87 0.44 0.76 0.87 0.43 0.84 0.58 0.62 0.87 0.90 0.70 0.20 0.62 0.08 0.54 0.53 0.47 0.08 0.40 0.30 0.09 0.26 0.54 0.29 0.60 0.95 0.52 0.27 0.99 0.54 0.84 0.75 0.74 0.03 0.42 0.98 0.92 0.32 0.07 0.06 0.49 0.36 0.15 0.03 0.75 0.05 0.17 0.20 0.03 0.54 0.76 0.28 0.16 0.09 0.58 0.96 0.29 0.92 0.88 0.92 0.03 0.57 0.78 0.61 0.05 0.71 0.67 0.10 0.62 0.39 0.10 0.01 0.72 0.27 0.09 0.14 0.60 0.24 0.88 0.40 0.07 0.43 0.39 0.28 0.84 0.68 0.93 0.66 0.65 0.81 0.02 0.02 0.05 0.32 0.29 0.17 0.10 0.34 0.81 0.02 0.26 0.02 0.34 0.23 0.28 0.66 0.43 0.52 0.00 0.16 0.17 0.07 0.11 0.75 0.21 0.37 0.45 1.00 0.29 0.35 0.37 0.54 0.28 0.63 0.25 0.08 0.67 0.30 0.17 0.58 0.93 0.64 0.25 0.68 0.06 0.39 0.35 0.79 0.43 0.80 0.99 0.36 0.64 0.52 0.65 0.29 0.02 0.81 0.01 0.53 0.98 0.89 0.61 0.25 0.32 0.44 0.99 0.14 0.30 0.28 0.44 0.83 0.97 0.01 0.72 0.36 0.09 0.03 0.57 0.21 0.66 0.26 0.80 0.39 0.95 0.48 0.10 0.59 0.39 0.94 0.25
0.28 0.86 0.03 0.98 0.36 0.13 0.80 0.88 0.82 0.64 0.76 0.08 0.28 0.70 0.31 0.49 0.58 0.84 0.60 0.03 0.72 0.04 0.81 0.86 0.84 0.85 0.03 0.87 0.96 0.77 0.28 0.59 0.75 0.38 0.40 0.55 0.57 0.04 0.70 0.70 0.46 0.21 0.79 0.21 0.88 0.70 0.89 0.10 0.35 0.30 0.44 0.25 0.40 0.80 1.00 0.84 0.29 0.16 0.68 0.28 0.48 0.41 0.49 0.17 0.98 0.58 0.53 0.83 0.84 0.70 0.76 0.44 0.40 0.64 0.81 0.89 0.32 0.39 0.21 0.77 0.22 0.05 0.76 0.24
P*[0]=0.44 333
P*[1]=0.21 000
P*[2]=0.12 667
P*[3]=0.11 000
P*[4]=0.4 000
P*[5]=0.2 333
P*[6]=0.1 667
P*[7]=0.1 000
P*[8]=0.1 000
P*[9]=0.333
P*[10]=0.148
Статистические интервалы:
PS[1]=0.44 333
PS[2]=0.65 333
PS[3]=0.78 000
PS[4]=0.89 000
PS[5]=0.93 000
PS[6]=0.95 333
PS[7]=0.97 000
PS[8]=0.98 000
PS[9]=0.99 000
PS[10]=0.99 333
Числовые характеристики:
MX:1.45 465
Mx*:1.36 478
Dx:3.29 584
Dx*:3.20 549
G:1.81 544
G*:1.79 039
Задание № 3. Проверка критерием Колмогорова: имеет ли данный массив соответствующий закон распределения
Воспользуемся критерием Колмогорова. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F (x).
D = max | F*(x) — F (x)|
D = 0.04
Далее определяем величину по формуле:
= D| n ,
где n — число независимых наблюдений.
= D| n =0,04*/ 300 = 0,693
и по таблице значений вероятности P () находим вероятность P ().
P () = 0,711.
Это есть вероятность того, что (если величина х действительно распределена по закону F (x)) за счёт чисто случайных причин максимальное расхождение между F*(x) и F (x) будет не меньше, чем наблюдаемое.
Нет оснований отвергать гипотезу о том, что наш закон распределения является геометрическим законом распределения.
Воспользуемся критерием Колмогорова. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F (x).
D = max | F*(x) — F (x)|
D = 0.04
Далее определяем величину по формуле:
= D| n ,
где n — число независимых наблюдений.
= D| n =0,04*/ 300 = 0,693
и по таблице значений вероятности P () находим вероятность P ().
P () = 0,711.
Это есть вероятность того, что (если величина х действительно распределена по закону F (x)) за счёт чисто случайных причин максимальное расхождение между F*(x) и F (x) будет не меньше, чем наблюдаемое.
Нет оснований отвергать гипотезу о том, что наш закон распределения является геометрическим законом распределения.
Список используемой литературы
1. «Теория вероятностей» В. С. Вентцель.
2. «Теория вероятностей (Задачи и Упражнения)» В. С. Вентцель, Л. А. Овчаров.
3. «Справочник по вероятностным расчётам».
4. «Теория вероятностей и математическая статистика» В. Е. Гмурман.
5. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» В. Е. Гмурман.