Коротковолновая нелучевая асимптотика в задачах дифракции: Получение и обоснование

Настоящая диссертация посвящена исследованиям в области получения и обоснования коротковолновой асимптотики для задач дифракции в особых случаях, там где обычный лучевой метод неприменим. Это либо задачи рассеяния на всевозможных негладких телах, таких как неплоские экраны, тела с ребрами и линиями разрыва кривизн, а также рассмотрение областей, куда не попадает падающее и отраженное поле, например, зона тени.

Одной из наиболее разработанных областей теории дифракции является задача дифракции на выпуклом теле. Область вне тела по характеру рассеянного поля может быть разбита на три области: освещенную область, полутень и зона тени.

В освещенной области поле определяется прямыми и отраженными лучами. Лучевой метод, восходящий к работам Ж. С. Адамара, позволяет находить отраженное поле с произвольной точностью для произвольного тела, как для скалярных (акустических), так и для векторных (электромагнитных, упругих и т. д.) задач, (см., например, [1, 3, 4, 6, 8, 31, 33,]).

Поле в полутени, угаданное еще О. Френелем, корректно получено в работах [31, 35, 48, 62, 87, 89].

Анализ точных решений, например, задачи дифракции на круговом идеально отражающем цилиндре, показал, что поле в зоне тени хотя и не равно нулю, но ничтожно мало (экспоненциально мало по k, где к—волновое число). Опираясь на эти точные решения, J.B.Keller (см. 113]) предложил эвристический метод для нахождения поля в тени для произвольной выпуклой области.

Выли предложены методы для построения равномерных асимптотических формул, справедливых во всей внешности тела (см. [12, 31, 117, 119]).

Таким образом, к середине 50-ых годов существовали методы для получения формальной асимптотики для всех трех областей. Эти решения приближенно удовлетворяли уравнению и граничному условию, т. е. делали невязку в уравнении и граничном условии сколь угодно малыми по к (к—волновое число).

Вскоре, в начале 60-х годов, в первую очередь, благодаря работам Е. игэеП'а, В. М. Бабича и В. С. Буслаева (см. [5, 6, 35, 123]) было получено строгое обоснование коротковолновых асимптотических формул в освещенной области и полутени. Для решения в зоне тени из них следовала лишь сверхстепенная малость. Позднее были получены и экспоненциальные оценки для решения в зоне тени (см., например, [18, 42, 110]), но эти оценки не давали обоснование асимптотики.

Автором было получено обоснование коротковолновой асимптотики в зоне тени для двумерного случая. Изложению этих результатов посвящены главы 1 и 2. В главе 1 обоснование получено для главного члена асимптотики в случае, когда точки источника и наблюдателя лежат на границе, которая предполагается аналитической выпуклой кривой. В главе 2 этот результат переносится на случай произвольного конечно-гладкого контура с точкой наблюдения, находящейся вне границы и для произвольного приближения. Материал этих глав опубликован в работах автора [45, 46, 80, 81].

Для многомерного случая в настоящее время получены лишь оценки вне поля в зоне тени. Наиболее точные оценки для трехмерного случая найдены в работах В. М. Бабича и Н. С. Григорьевой (см. [42 ]) и для многомерного случая в работах Н. ЬеЬеаи (см. [110]).

Обоснование асимптотики получено на следующем пути. Найдено новое интегральное уравнение для решения задачи на границе. Ядро этого интегрального уравнения представляет собой двойной интеграл по внешности области от произведения фундаментального решения и невязки. Для получения экспоненциально-точной оценки интеграла используется метод деформации области интегрирования в С2 комплексную окрестность с оценкой в ней подынтегрального выражения. Переход в комплексную область позволяет превратить осцилляции в убывание. В некотором смысле эта идея созвучна идее многомерного метода перевала. Здесь вопрос усложняется кусочной аналитичностью подынтегрального выражения.

На таком пути удается получить экспоненциально точную оценку для ядра интегрального уравнения и тем самым доказать малость интегрального оператора в некотором функциональном пространстве для случая, когда граница является аналитической кривой.

Результат для конечно-гладкого контура получается с помощью аппроксимации его аналитическим контуром и использования оценок, полученных ранее для него.

Глава 3 диссертации посвящается изучению задачи дифракции на неплоском экране, результаты опубликованы в работах [82−84] автора.

После того, как Зоммерфельдом было получено решение для задачи плоской волны на полуплоскости, возникло естественное желание получить нечто подобное и для задачи дифракции на отрезке. Но вскоре стало ясно, что нахождение подобного решения для отрезка маловероятно. Возникли два асимптотических случая: случай малого отрезка и случай большого отрезка. Были предложены два метода: метод Рэлея и метод Шварцшильда для получения разложения в этих случаях.

Метод Шварцшильда состоит в нахождении асимптотического разложения по обратным степеням ка (к— волновое число, а—- длина отрезка), каждый член ряда отвечает некоторому кратному дифракционному полю, первичному, вторичному и т. д. и соответствует дифракционному полю последовательно дифрагирующего на концах отрезка. Для нахождения каждого слагаемого получается система парных интегральных уравнений, аналогичная той, которая возникает в задаче дифракции на полуплоскости. Решение каждой системы находится явно в виде интегралов Зоммерфельда.

Метод, разработанный автором для решения задачи дифракции на неплоском экране (или искривленном отрезке), в некотором роде является обобщением метода Шварцшильда. В этом случае задача усложняется более сложной картиной лучей: кроме отраженной и краевой волны будут еще краевые волны, переотраженные от границы, волны шепчущей галереи с вогнутой и волны соскальзывания с выпуклой стороны экрана. Решение строится последовательно, сначала асимптотика находится в области ребра экрана и затем она продолжается вне окрестности ребра вблизи экрана. Это позволяет найти асимптотику тока, которая будучи подставлена в формулу Грина дает асимптотику всюду в области вне экрана. Производя асимптотическое разложение этого интеграла, можно получить, в частности, асимптотику диаграммы направленности экрана в любом направлении и в любом приближении. До этого метод Кирхгофа и метод геометрической теории дифракции (см., например, [26, 114]) позволяли получать ее только в первом приближении.

Для представления поля вблизи вогнутой поверхности экрана автором был разработан «комбинированный метод», согласно которому поле представляется в виде конечной суммы геометрооптических волн, конечной суммы нормальных волн и остатка. Для остатка получена простая формула.

Количество отщепленных геометрооптических волн (М) и нормальных волн (Л^) определяются точными оценками, показывающими, что для реальных задач эти величины невелики и исчисляются единицами. Результаты численного счета, приведенные в § 3 подтверждают это. Остаток имеет порядок последней отщепленной нормальной волны.

Комбинированный метод", разработанный автором для решения задачи дифракции на неплоском экране, позволяет получать эффективное представление для поля и в других волноводных задачах. В § 4 показывается возможность его использования для задачи распространения волн во внутреннем волноводе. Ранее использовалось представление поля в виде суперпозиции лучевого поля и интерференционной волны (см. [31, 32]), которое в некоторых случаях оказывается неудобным.

Применение «комбинированного метода» автором иллюстрируется на примере эталонной задачи, допускающей разделения переменных. Представление поля в виде комбинации геометрооптических и нормальных волн получено путем преобразования контурного интеграла, представляющего точное решение.

Для эталонной задачи представление «комбинированного метода» получается строго, но каждое из слагаемых в этом представлении допускает обобщение на случай произвольной зависимости скорости от глубины и на случай продольно неоднородного волновода. Идеология, близкая к рассматриваемой, предлагалась ранее в (см. [52]), но в отличие от рассмотрений главы 4, там результат получался на физическом уровне строгости. После опубликования работы автора (см. [85]), в которой приводились результаты, помещенные в главе 4, появилась серия работ РеЬзоп’а (см. [104, 105,.

116]) с изложением близких результатов, но следует отметить, что они отличаются неточными, а иногда и ошибочными, формулировками и отсутствием строгих доказательств.

Главы 5 и 6 диссертации посвящены рассмотрению задачи дифракции на телах с кусочно-гладкой границей. В главе 5 рассмаи л и тривается случаи границы с разрывом кривизны и в главе 6 случаи границы с ребром. Реезультаты опубликованы в работах [49, 50].

Рассмотрению задачи дифракции на области с разрывом кривизны посвящен работы ряд работ (см., например, [112]), но в них исследуется случай, когда линия разрыва находится в освещенной области. В работе автора анализируется случай, когда линия сопряжения находится в зоне тени и на нее набегает волна соскальзывания.

Метод, используемый автором для получения решения, является в некотором роде обобщением метода параболического уравнения Леонтовича-Фока. Используется свойство мультипликативности этих уравнений. Рассматривается два случая: сопряжение выпуклой поверхности и плоской и двух выпуклых поверхностей. Рассмотрение ведется для двумерной задачи Дирихле, хотя результаты с легкостью переносятся на случай других граничных условий и большего количества измерений.

В § 1,2 главы 5 рассматривается случай сопряжения выпуклой поверхности с плоской. Внешность границы разбивается на две подобласти: внешность выпуклой кривой и внешность плоской. Набегающая волна соскальзывания является решением задачи в выпуклой части. Для нахождения решения над плоской частью границы ставится начально-краевая задача для уравнения Шредингера без потенциала. Решение ее записывается в явном виде. Показывается, что полученное решение является непрерывным продолжением.

— и решения слева от линии разрыва и имеет все априорно ожидаемые физические и геометрические свойства.

В § 3 рассматривается аналогичным образом случай сопряжения двух выпуклых поверхностей. Показывается, что при удалении от точки сопряжения решение превращается в волну соскальзывания. В явном виде находится коэффициент дифракции.

В главе 6 рассматривается задача дифракции лучевого поля на теле с ребром. Изложение ведется для двумерного случая, т. е. предполагается, что граница области является углом с искривленными гранями. По методике изложение главы 6 примыкает к методам, использованным в главе 3. Как и в главе 3, решение сначала строится в окрестности ребра и затем продолжается вдоль границы. В главном приближении решение в окрестности ребра совпадает с решением для касательного клина, которое дается интегралом ЗоммерфельдаМалюженца. Поправка к решению, обусловленная кривизной, была получена в [24]. Затем в зависимости от того, является ли поверхность выпуклой или вогнутой, решение, справедливое в окрестности ребра, сшивается в случае выпуклой кривой с суперпозицией волн соскальзывания и в случае вогнутой — с суперпозицией волн шепчущей галереи. Коэффициент дифракции находится в явном виде.

Для представления поля в окрестности вогнутой поверхности, как и в случае дифракции на неплоском экране, может быть использовано представление поля, полученное с помощью «комбинированного метода». Аналогичным образом может быть рассмотрена вторичная, третичная дифракции, т. е. дифракция поля рассеянного одним ребром на другом ребре и т. д. При увеличении кратности дифракции решение уменьшается более чем в fkci (где к — волновое число, с1 — расстояние между ребрами). С точки зрения методики получение многократно дифракционного поля ничем не отличается от получения первичного дифракционного поля. Поэтому это рассмотрение в диссертации не рассматривается. В работе рассматривается случай задачи Дирихле, хотя рассмотрение других граничных условий может быть проведено аналогичным образом.

Кроме теоретических рассмотрений в диссертации приводятся результаты численного счета, выявляющие качественные характеристики решений и показывающие эффективность используемого метода. Так, в § 3 главы 3 численный счет подтверждает эффективность применения «комбинированного метода» в задаче дифракции на неплоском экране. Устанавливается, что в реальных задачах число отщепленных геометрооптических и нормальных волн исчисляется единицами.

1. Алексеев A.C., Бабич В. М., Гельчинский Б. Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов. //В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. № 5. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1961. С. 3−24.

2. Арнольд В. И. Моды и квазимоды. // Функциональный анализ. 1972. Т. 6, № 3. С. 12−21.

3. Бабич В. М. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов. // Докл. АН СССР. 1956. Т. 110, № 3. С. 355−357.

4. Бабич В. М. Метод Адамара в динамике неоднородной упругой среды. // Вестник Ленингр. ун-та. Сер. мат., мех. и астрон. 1956. Вып. 1 (№ 1). С.107−124.

5. Бабич В. М. О коротковолновой асимптотике функции Грина для внешности ограниченной выпуклой области. // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146, № 3. С. 571- 573.

6. Бабич В. М. О соображениях локальности в задачах дифракции коротких волн. //В сб.: Третий Всесоюзный симпозиум по дифракции волн. М.: Наука, 1964. С. 78−79.

7. Бабич В. М. О коротковолновой асимптотике функции Грина для уравнения Гельмгольца. // Матем. сб. 1964. Т. 65, № 4. С. 576−630.

8. Бабич В. М. О коротковолновой асимптотике решения задачи о точечном источнике в неоднородной среде. // Журн. вычислит, мат. и мат. физ. 1965. Т. 5, № 5. С. 949−951.

9. Бабич В. М. К вопросу об асимптотике «квазисобственных» чисел внешних задач для оператора Лапласа. //В сб.: Проблемыматематической физики. Вып. 2. JL: Изд-во ЛГУ, 1967. С.7−14.

10. Бабич В. М. Собственные функции, сосредоточенные в окрестности замкнутой геодезической. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 9. Математические вопросы теории распространения волн. № 1. Ленинград. С. 15−63.

11. Бабич В. М. Методика Л. Людвига и методика пограничного слоя в задаче дифракции на гладком теле. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1972. Т. 27. Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. № 6. Ленинград. С.17−32.

12. Бабич В. М. Высокочастотный точечный источник колебаний вблизи вогнутого зеркала. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1975. Т. 51. Математические вопросы теории распространения волн. № 7. Ленинград. С.5−19.

13. Бабич В. М. Математическая теория дифракции (Обзор некоторых исследований, выполненных в лаборатории Математических проблем геофизики ЛОМИ). // Тр. МИАН СССР. 1986.Т. 175, С. 47−62.

14. Бабич В. М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 456 с.

15. Бабич В. М., Булдырев B.C. Искусство асимптотики. // Вестник Ленинградского ун-та. Сер. мат., мех. и астрон. 1977. Вып. 3 (№ 13). С.5−12.

16. Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя взадачах дифракции. JI.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974. 124с.

17. Бабич В. М., Олимпиев И. В. Оценка поля в области тени при дифракции цилиндрической волны на ограниченном выпуклом цилиндре.// В сб.: Третий Всесоюзный Симпозиум по дифракции волн. М.: Наука. 1964.

18. Бабич В. М., Вулдырев B.C., Молотков И. А. Пять лекций по асимптотическим методам в задачах дифракции и распространения волн. // Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1972. 75 с.

19. Бабич В. М., Вулдырев B.C., Филиппов В. Б. Коротковолновая асимптотика в задаче дифракции на вогнутой поверхности. //В кн.: XI Всесоюзный симпозиум по распространению радиоволн, М.: Наука, 1975. кн.З. С. 47−50.

20. Белишев М. И., Рыжов В. А., Филиппов В. Б. Спектральный вариант ВС-метода: теория и численный эксперимент. // Докл. РАН. 1994. Т. 337, № 2. С.172−176.

21. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. М., Л.: Гостехиздат, 1941. 320 с.

22. Боровиков В. А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. М.: Наука, 1966. 455 с.

23. Боровиков В. А. Краевые волны в задаче дифракции на искривленной поверхности с ребром. // Препринт ИПМ, 1973. № 63. С. 1−64.

24. Боровиков В. А. Поле в окрестности кромки в задаче дифракции на клине с искривленными гранями. // Труды VII Всесоюзного симпозиума по дифракции волн. Т. 1. Москва-Ростов, 1977. С. 51−53.

25. Боровиков В. А., Кинбер Б. Е. Геометрическая теория дифракции. М.: Наука, 1978. 247 с.

26. Боровиков В. А., Попов A.B. Распространение волн в плавнонерегулярных многомодовых волноводах. //В кн.: Прямые и обратные задачи теории дифракции. М.: Изд-во ИРЭ АН СССР, 1979. С.167−266.

27. Вулдырев B.C. Поле точечного источника в волноводе // Труды ордена Ленина Математического института им. В.А. Сте-клова. Т. CXV. Математические вопросы теории дифракции и распространения волн. 1. Л.: Изд-во «Наука», 1971. С. 78−102.

28. Вулдырев B.C. Интерференция коротких волн в задаче дифракции на неоднородном цилиндре произвольного сечения. // Известия Высших Учебных Заведений. Радиофизика. 1967. Т.10, № 5. С. 699−711.

29. Вулдырев B.C. Распространение волн вблизи изогнутой поверхности неоднородного тела. //В сб.: Проблемы математической физики. Вып. 2. Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. С.61−84.

30. Вулдырев B.C. Асимптотика решений волнового уравнения, сосредоточенных вблизи оси плоского волновода в неоднородной среде. // В сб.: Проблемы математической физики. Вып. 3. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968. С. 5−30.

31. Вулдырев B.C., Ланин А. И. О вычислении функции Gjv (7). // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1975. Т. 51. Математические вопросы теории распространения волн. № 7. С.85−92.

32. Вулдырев B.C., Ланин А. И. Асимптотические формулы для волны, распространяющейся вдоль вогнутой поверхности, границы их применимости. // Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20, № 1. С. 49−58.

33. Буслаев B.C. О формулах коротковолновой асимптотики в задаче дифракции на выпуклых телах. // Вестник Ленинградского ун-та. Сер. мат., мех. и астрон. 1962. Вып. 3 (№ 13). С.5−21.

34. Буслаев B.C. Коротковолновая асимптотика в задаче дифракции на гладких выпуклых телах. // Труды МИАН АН СССР, М.: «Наука», 1964. Т.XXIII. № 2. С.14−117.

35. Вуслаев B.C. Теория потенциала и геометрическая оптика. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1971. Т. 22. Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. № 5. Ленинград. С.175−180.

36. Буслаев B.C., Скриганов М. М. Координатная асимптотика решения задачи рассеяния для уравнения Шредингера. //Теоретическая и математическая физика. 1974. Т.19. № 2. С. 217−232.

37. Бреховских Л. М. Акустика океана. М.: Наука, 1974. 693с.

38. Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Советское радио, 1966. 431 с.

39. Вайнштейн Л. А., Малюжинец Г. Д. Поперечная диффузия при дифракции на импедансном цилиндре большого радиуса. // Радиотехника и электроника. 1961. Т. 6, № 8, с. 1247−1258- № 9, с. 1489−1495.

40. Граунов О. В., Филиппов В. Б. О вычислении тока, возбужденного на неплоском экране. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1983. Т. 128. Математические вопросы теории распространения волн. № 13. С.33−47.

41. Граунов О. В., Филиппов В. Б. Диаграмма направленности шепчущей галереи для вогнутого отражателя. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1985. Т. 148. Математические вопросы теории распространения волн. № 15. С.61−67.

42. Григорьева Н. С. Оценка поля в области тени при дифракции сферической волны на выпуклой бесконечно дифференцируемой поверхности. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1975. Т. 51. Математические вопросы теории распространения волн. № 7. С.93−118.

43. Дородницын A.A. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. // Успехи математических наук АН СССР. 1952. Т. VII, вып. 6 (52). С. 3−96.

44. Заяев A.B., Филиппов В. В. О строгом оправдании асимптотических решений типа «волн соскальзывания». // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1983. Т. 128. Математические вопросы теории распространения волн. № 13. Ленинград. С. 48−64.

45. Заяев A.B., Филиппов В. Б. О строгом оправдании формул Фридлендера-Келлера. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1984. Т. 140. Математические вопросы теории распространения волн. № 14. С.49−60.

46. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. М.: ИЛ, 1954. 486 с.

47. Иванов В. И. Дифракция коротких волн на гладком выпуклом цилиндре. // НДВШ (Научные Доклады Высшей Школы) физ.-мат. науки. 1958. Т. 1, № 6. С. 192−196.

48. Кирпичникова Н. Я., Филиппов В. Б. Дифракция волн шепчущей галереи вблизи линии разрыва кривизны. // Записки научных семинаров ПОМИ. 1996. Т. 239. Математические вопросы теории распространения волн. № 26. Санкт-Петербург. С.95−109.

49. Киселев А. П. Высокочастотный источник между ветвями гиперболы. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1972. Т. 25. Математические вопросы теории распространения волн. № 4. Ленинград. С. 79−100.

50. Кудряшов В. М. Геометроволновой способ вычисления акустических полей в волноводе. // Акустический журнал. 1976. Т.22, вып. 5. С. 724−728.

51. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 832 с.

52. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.-Л.: Изд-во ГИТТЛ, 1951. Т.1, 476 е.- Т.2, 544 с.

53. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

54. Лазуткин В. Ф. Асимптотика собственных функций оператора Лапласа, сосредоточенных вблизи границы области. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7, № 6. С.1237−1249.

55. Лазуткин В. Ф. Оценка ширины лакун в спектре оператора Лапласа для плоской выпуклой области. // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 1. С. 20−23.

56. Леонтович М. А. Об одном методе решения задач о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности земли. // Известия АН СССР. Сер. физическая. 1944. Т.8, № 1. С.16−22.

57. Леонтович М. А., Фок В. А. Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности Земли по методу параболического уравнения. //Журн. эксперим. и теор. физ. 1946. Т. 16, № 7, С. 557−573.

58. Мае лов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. 549 с.

59. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механика. М.: Наука, 1976. 296 с.

60. Молотков И. А. Дифракция на выпуклом контуре с плавноменяющимся радиусом кривизны и импедансом. //В сб.: Проблемы матем. физики. Вып. 2. Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. С. 124−132.

61. Молотков И. А. Дифракция на гладком выпуклом цилиндре при существовании двух скоростей распространения. // Вестник Ленинградского ун-та. Сер. физ., хим. 1967. Вып. 2 (№ 10). С.69−79.

62. Молотков И. А. Поле точечного источника, расположенного вне выпуклой кривой. //В сб.: Проблемы матем. физики. Л.: Изд-во ЛГУ, 1970. Вып. 4. С. 83−111.

63. Молотков И. А. Продолжение поля точечного источника на любые расстояния от объекта в зоне тени. //В кн.: Проблемы мат. физики. 1973. Вып. 6. С. 51−60.

64. Молотков И. А., Филиппов В. В. Формулы коротковолновой асимптотики в зоне тени и их строгое оправдание. //В кн.: «Ме-ждун. симп. URSI по теории электромагнитн. волн», (Тбилиси, 1971), М.: Наука, 1971. С. 115−130.

65. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.

66. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М., 1990. 528 с.

67. Попов A.B. Обратное рассеяние от линии разрыва кривизны. //В кн.: «Труды V Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн», (Ленинград, 1975), Л.: Наука, 1975. С. 171−175.

68. Рытов С. М. О переходе от волновой к геометрической оптике. // Докл. АН СССР. 1938. Т. 18, № 4−5. С. 263−266.

69. Рытов С. М. Модулированные колебания и волны. // Труды физ. ин-та им. П. Н. Лебедева. 1940. Т. 2, № 1. С. 1−40.

70. Рытов С. М. Расчет скин-эффекта методом возмущений.// Журнал экспериментальной и теоретической физики. М., 1940. Т. 10, № 2. С.180−189.

71. Сивицкая Н. В., Филиппов В. Б. О распространении волн шепчущей галереи в среде с вертикальной границей раздела. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1989. Т. 179. Математические вопросы теории распространения волн. № 19. Ленинград. С.147−151.

72. Смирнов В. И. Избранные труды. Комплексный анализ. Математическая теория дифракции. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. 278 с.

73. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. 256 с.

74. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.И. Курс современного анализа. Ч. 2. М.: Физматгиз, 1963. 516 с.

75. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

76. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 352 с.

77. Филиппов В. Б. О строгом оправдании коротковолновой асимптотики для задачи дифракции в зоне тени. //В кн.: VI Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространения волн,(Цахкадзор, 1973), М.: Ереван, 1973. кн.П. С. 68−71.

78. Филиппов В. В. О строгом оправдании коротковолновой асимптотики для задачи дифракции в зоне тени. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1973. Т. 34. Математические вопросы теории распространения волн. № 5. С. 142−205.

79. Филиппов В. Б. Дифракция на искривленной полуплоскости. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1974. Т. 42. Математические вопросы теории распространения волн. № 6. С.244−249.

80. Филиппов В. Б. Коротковолновая асимптотика тока в задаче дифракции на плоских экранах. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1975. Т. 51. Математические вопросы теории распространения волн. № 7. С.172−182.

81. Филиппов В. Б. Коротковолновая асимптотика тока и диаграмма направленности для задачи дифракции на неплоских экранах. //В кн.: VII Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространения волн, (Ростов н/Д), М.: Наука, 1977. Т.1. С. 47−50.

82. Филиппов В. Б. Об одном методе расчета поля точечного источника в волноводе. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1980. Т. 99. С.146−156.

83. Фок В. А. Таблицы функций Эйри. М.: ГИТТЛ, 1946. 53 с.

84. Фок В. А. Дифракция Френеля от выпуклых тел. // Успехи физических наук. 1951. Т. 43, № 4. С. 587−599.

85. Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Изд-во «Советское радио», 1970. 517 с.

86. Фок В. А., Вайнштейн Л. А. Поперечная диффузия при дифракции на выпуклом цилиндре с плавно меняющейся кривизной. // Радиотехника и электроника. 1963. Т. 8, № 3. С. 363−388.

87. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. М.: Гостехиздат, 1937. 998 с.

88. Хединг Дж.

Введение

в метод фазовых интегралов (Метод ВКБ). М.: Мир, 1965. 237 с.

89. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. 428 с.

90. Ahluwalla D.S. Uniform asymptotic theory of diffraction by the edge of a three-dimensional body. // Siam. J. Appl. Math. 1970. Vol. 18, No. 3. P.287−301.

91. Avila G.S., Keller J.B. The high-frequency asymptotic field a pointsource in an inhomogeneous medium. // Comm. Pure Appl. Math. 1963. Vol. 16, No. 4. P. 363−382.

92. Belishev M.I., Ryzhov V.A., Filippov V.B. Spectral Variant of the BC-method: Theory and Numerical Testing. // POMI. Preprint, № 1, March. 1994. 8c.

93. Bleistein N. Uniform asymptotic expansions of integrals with stationary point near algedraic singularity. // Comm. Pure Appl. Math. 1966. Vol. 19, No. 4. P. 353−370.

94. Bloom C.O. Diffraction by a hyperbolic cylinder. // Bull. Amer. Math. Soc. 1968. Vol. 64, No. 1. P. 171−191.

95. Bloom C.O., Matkowsky B.J. On the validity of the geometrical theory of diffraction by a convex cylinders. // ARMA. 1969. Vol. 33, № 1. P. 71−90.

96. Brown W.P. On the asymptotic behavior of electromagnetic fields scattered from convex cylinders near grazing incidence. // J.Math.Analysis and Appl. 1966. Vol. 15, No. 2. P. 355−385.

97. Buchai R.N., Keller J.B. Boundary layer problems in diffraction theory. // Comm. Pure Appl. Math. 1960. Vol. 13, No. 1. P. 85−114.

98. Buslaev V.S. Shortwave asymptotic formulas in the problem of diffraction by convex bodies.// Trydi MIAN, v.73, n.2, p. l4−117,(1964).

99. Courant R., Lax P. The propagation of discontinuities in wave motion. // Proc.Nat. Acad.Sci. USA, 1956, Vol.42, No 1, P.872−876.

100. Erdelyi A., Wyman M. The asymptotic evaluation of certain integrals. // ARMA. 1963. Vol. 14, No 3. P. 217−260.

101. Felsen L.B. Backscattering from wide-angle and narrow-angle cones. // J. Appl.Phys. 1955. Vol. 26, No 2. P. 138−151.

102. Felsen L.B. Hybrid ray-mode fields in inhomogeneous waveguides and ducts.// J. Acoust. Soc. Amer. 1981. Vol. 69. P. 352−361.

103. Franz W., Deppermann K. Theorie der Beugung am Zylinder unterBeracksichtingung der Kriechwelle. // Ann. der Phys. 1952. Vol.10. P.361−373.

104. Friedlander F, G., Keller J.B. Asymptotic expansions of solutions of (V2 + k2) u = 0. // Communs Pure and Appl. Math. 1955. Vol. 8, No. 3. P.378−394.

105. Grimshaw R. High-frequency scattering by finite convex regions. // Communs Pure and Appl. Math. 1966. Vol. 19, No. 2. P. 167−198.

106. Grimshaw R. Propagation of surface waves at high frequencies. // J. Inst. Math. Applic. 1968. Vol. 4. P. 174−193.

107. Harge T., Lebeau G. Diffraction par un convexe. Prepublication. 1993. Orsay, No. 93−30. 33p.

108. Heyman E., Felsen L.B. Non-dispersive closed form approximations for transient propagation and scattering of ray fields. // Wave Motion. 1985. Vol.7. P. 335−358.

109. Kaminetzky L., Keller J.B. Diffraction coeffitients for high order edges and vertices. // Siam. J. Appl. Math. 1972. Vol. 22, No. 1. P.109−132.

110. Keller J.B. Diffraction by convex cylinder. // In: Trans. IRE, Ant. and Prop. 1956. Vol. 4, No. 3. AP-4, P. 312−321.

111. Keller J.B. The geometrical theory diffraction. //J. Appl.Phys. 1957. Vol. 28, No. 4. P. 426−444.

112. Keller J.B., Ahluwaia D.S. Uniform asymptotic solution of eigenvalue problems for convex plane domains. // Siam. J. Appl. Math. 1973. Vol. 25, No. 4. P.583−591.

113. Keller J.B., Lewis R.M., Seckler B.D. Asymptotic solution of some diffraction problems. // Communs Pure and Appl. Math. 1956. Vol. 9, No. 2. P. 207−265.

114. Lewis R.M., Bleistein N., Ludwig D. Uniform asymptotic theory of creeping waves. // Comm. Pure and Appl. Math. 1967. Vol. 20, No. 2.P. 295−328.

115. Lu I.T., Felsen L.B. Ray, mode and hybrid options for time-dependent source-excited propagation in an elastic layer. // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1986. Vol. 86. P.177−201.

116. Ludwig D. Uniform asymptotic expansions of the field scattering by a convex object at high frequencies. // Comm. Pure and Appl. Math. 1967. Vol. 20, No. 1. P. 103−138.

117. Ludwig D. Boundary layers in the field scattered by a convex object at high frequencies. // Comm. Pure and Appl. Math. 1969. Vol. 22, No. 2. P. 715−736.

118. Ludwig D. Diffraction by a circular cavity. //J. Math. Phys., 1970. Vol. 11, No. 5. P.1617−1630.

119. Philippov V.B. Diffraction by a nonplanar screen. // Wave Motion. 1981. Vol.3. P. 78−81.

120. Ursell F. On the short wave asymptotic theory of the wave equation (V2 + fc2)$. // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1957. Vol. 53, No. 1. P.115−133.

121. Ursell F. Creeping modes in a shadow. // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1968. Vol. 64, No. 1. P.171−191.

122. Weston V.H. The effect of a discontinuity in curvaturein high-frequency scattering. // IRE Trans. Antennas and Propagation. AP-10. 1962. P.775−780.