Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Краевые задачи в моделировании формования волокна

Диссертация: Краевые задачи в моделировании формования волокна
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В статье Глауэрта и Лайтхилла используется тот факт, что скорость потока вблизи поверхности цилиндра пропорциональна логарифму его расстояния от оси цилиндра. Это позволило решить задачу более точно. Подобный логарифмический профиль использовался и ранее Сакиадисом. Сакиадис нашел решение уравнения Блазиуса. Ссбан и позднее Глауэрт. В статье Ришелье рассмотрен ламинарный подход к задаче… Читать ещё >

Краевые задачи в моделировании формования волокна (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Список обозначений
  • 1. Математические модели формования волокна: аналитический обзор
    • 1. 1. Математические модели пограничного слоя, возникающего при формовании волокна
      • 1. 1. 1. Формование волокна (технический аспект)
    • 1. 2. Точные решения уравнения Навье-Стокса для слоистого плоскопараллельного течения без учета массовых сил
      • 1. 2. 1. Плоское течение Пуазейля
      • 1. 2. 2. Плоское течение Куэтта
    • 1. 3. Приближенные решения уравнений Навье-Стокса для течения с пограничным слоем
    • 1. 4. Математическая модель формования волокна в случае потока с аксиальной симметрией
      • 1. 4. 1. Осевая симметрия пограничного слоя вдоль длинного тонкого цилиндра
      • 1. 4. 2. Вывод краевой задачи с использованием преобразования Блазиуса
      • 1. 4. 3. Решение сингулярной краевой задачи на полуоси
      • 1. 4. 4. Краевая задача в моделировании теплового процесса в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем
      • 1. 4. 5. Теплопередача от движущегося волокна
      • 1. 4. 6. Теплообмен на малых расстояниях от фильеры
      • 1. 4. 7. Краевые задачи в теории охлаждения испарением в процессе формования стекловолокна
      • 1. 4. 8. Модель испарения пограничного слоя неподвижного волокна в подвижном воздухе
  • 2. Некоторые аналитические методы возникающих при моделировании формования волокна
    • 2. 1. Существование решений краевых задач в задачах с пограничным слоем
      • 2. 1. 1. Некоторые сведения из нелинейного анализа
      • 2. 1. 2. Нелинейные операторные уравнения с параметром
      • 2. 1. 3. Теорема Коши-Ковалевской
      • 2. 1. 4. Теоремы существования решений нелинейных краевых задач
      • 2. 1. 5. Решение краевых задач на неограниченном интервале
      • 2. 1. 6. Регуляризация вычислений в двухточечных сингулярных краевых задачах с помощью сеток Шишкина
    • 2. 2. Построение аналитических решений
      • 2. 2. 1. Построение решений задачи Коши для модели
  • Глауэрта — Лайтхилла
    • 2. 2. 2. Метод последовательных приближений решения задачи Коши (2.2.1)-(2.2.3)
    • 2. 3. Построение точных решений в моделях Глауэрта
  • Лайтхилла и в моделях Блазиуса
    • 2. 3. 1. Построение точного решения для модели Глауэрта Лайтхилла при линейном выборе радиуса волокна
    • 2. 3. 2. Разрешающее уравнение относительно функции тока и три точных параметрических семейства решений модели Блазиуса
  • 3. Численное решение краевых задач в теории моделирования полимеров
    • 3. 1. Краевые задачи, возникающие при моделировании импульсного теплового пограничного слоя
      • 3. 1. 1. Сингулярно возмущенная природа задачи Блазиуса!
      • 3. 1. 2. Равномерный по параметру метод для задачи с пограничным слоем

Постановка задачи и ее актуальность.

Настоящее исследование посвящено изучению краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокна из расплава полимера (см., например, работы [6], [41], [2], [25], [5], [80], [43], [8], [32], [27], [63]). Кратко опишем суть процесса формования волокна. Расплавленный полимер продавливается через сопло фильеры, охлаждается потоком воздуха, и затем полимер затвердевает. В застывшем состоянии волокно наматывается на приемный валик со скоростью значительно превосходящей скорос ть продавливания (экструзии) полимера через сопло. Отмстим, что по мерс удаления от фильеры радиус волокна уменьшается, принимая стационарное значение. В конце технологического процесса готовое волокно наматывается на приемный валик. Сразу после выхода из фильеры полимер слегка набухает, а затем сжимается, как только скорость увеличивается до конечной скорости. В промышленных установках одновременно производится несколько сотен волокон. Математическое моделирование взаимодействия волокна и воздушных потоков является достаточно сложной задачей, соответствующие модели строились и исследовались в работах А. Шона [39], Т. Готса [26], Д. Гагона [24], Борна и Элисто-на [6], Свитланда и Ленхарда [41], Р. Тассе [42], А. И. Дрегля [56], О. В. Апдрющспко [44], Б. А. Снигерева [70], С. Д. Старыгина [711. На свойства волокна влияет совокупность таких факторов, как скорость потока воздуха, поверхностное натяжение волокна в жидком состоянии, молекулярная структура полимера и другие факторы (см. работы Т. Клопе [2], Глауэрта и Лайтхила [25], Борпа и Диксона [5], Л. Красна [7], Ришелье [34], Себана [40]).

В статье Глауэрта и Лайтхилла [25] используется тот факт, что скорость потока вблизи поверхности цилиндра пропорциональна логарифму его расстояния от оси цилиндра. Это позволило [25] решить задачу более точно. Подобный логарифмический профиль использовался и ранее Сакиадисом [36]. Сакиадис нашел решение уравнения Блазиуса. Ссбан [40] и позднее Глауэрт [25| заметили, что ламинарный импульсный пограничный слой может быть описан безразмерно с помощью преобразования системы координат. Факт наличия малого ускорения установлен на основе Релеевского решения [33]. В статье Ришелье [34] рассмотрен ламинарный подход к задаче формования волокна. Используя безразмерный импульсный пограничный слой вдоль волокна с круглым сечением в аксиальном направлении, мы исследовали два типа граничных условий. Один тип называется квазиподобньш решением и вычислен на полу бесконечности, а другой тин соответствует непрерывно движущейся поверхности.

Полуаналитическое решение уравнений с погранслосм для несжимаемого потока с постоянными свойствами (т. с. не зависящими от температуры) указано в монографии Шлихтинга |80], численные методы описаны в монографии Г. И. Шишкина и его коллег [35].

При построении и исследовании математических моделей эффективным оказалось сочетание классических методов гидродинамики О. Ладыженской [62], [30], [29], численных и аналитических приближенных методов решения нелинейных задач с сингулярностями (В. И.

Юдович [81], В. В. Пухначев [66], Р. Темам [72]). Особо отмстим устойчивые разностные схемы Г. И. Шишкина [35], используемые и в наших работах [54], [17], [18], [19]. В настоящей работе мы рассматриваем единичное волокно. Условия производства волокна, в особенности его затвердевание после выхода из сопла фильеры, оказывают наиболее существенное влияние на качество и характеристики готового волокна (см. [10], [24], [71]). Глубокое понимание процесса затвердевания волокна способствует улучшению его производства. Поэтому моделирование процесса формования имеет как теоретический, так и практический интерес, привлекая внимание многих математиков.

Исследуемые физико-технические модели.

Рассматривая широкий спектр краевых задач, возникающих при математическом моделировании процесса формования волокна из расплава, можно обнаружить довольно много белых пятен и нерешенных проблем, как с точки зрения теоретического обоснования уже используемых аналитических методов, так и с точки зрения вычислительных методов.

Теория пограничного слоя — один из важнейших разделов гидродинамики [80], [9], [32], [27], [63], [62]. Основным объектом приложений этой теории была и остается задача обтекания. Вместе с тем, в последние годы область ее приложений значительно расширилась. Были изучены пограничные слои с замкнутыми линиями тока [64], в диффузорах и трубах [46], на вращающихся телах и проницаемых поверхностях, рассмотрены некоторые задачи о внутренних пограничных слоях п пограничных слоях вблизи границы раздела двух жидкостей, исследовано влияние малой вязкости па поведение слабых разрывов в жидкости, построена асимптотика неустановившихся движений конечной массы жидкости при стремлении вязкости к нулю, исследован ряд важных задач со свободной границей для уравнений Навье-Стокса.

В литературе (см. библиографию [58], [56], [60], [48], [75], [50], [74]), посвященной теории и приложениям моделирования формования волокна, известен ряд математических задач, некоторые из которых рассматриваются и впервые решаются в настоящей диссертации:

— моделирование пограничного слоя в случае осевой симметрии волокна;

— вывод краевой задачи с использованием преобразования Блази-уса;

— решение сингулярной краевой задачи на полуоси;

— исследование краевой задачи в моделировании теплообмена в подвижном цилиндрическом волокне с осесимметричным пограничным слоем;

— доказательство существования решений краевых задач, возникающих при моделировании формования волокна.

Математические модели, связанные с формованием волокон, сводятся к исследованию решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

В настоящей работе основное внимание уделяется математическим моделям, в которых исходные нелинейные модели, описываемые уравнениями в частных производных типа Навье-Стокса, мы сводим к обыкновенным дифференциальным уравнениям, для которых формулируются краевые задачи, исследуются вопросы существования решений, построения точных и приближенных решений. В диссертации используются известные строгие методы гидродинамики, нелинейного анализа и вычислительной математики. В данной работе численные расчеты с использованием адаптивных сеток являются точными в пределах погрешности входных данных и информативными, т.к. решение ищется строго в рамках пограничного слоя, учитываются такие сингулярности, как кромка (расчеты вблизи нуля, соответствующего соплу фильеры) и расчеты на бесконечности. В работах Г. И. Шишкина (см. библиографию в монографии [35]), используемых в данном исследовании, метод получил название робастного за счет устойчивости к такому важному параметру как вязкость.

Научная новизна диссертации.

В диссертации изложены следующие научные результаты, полученные автором:

— разработан аналитический метод построения решений в одномерных стационарных моделях с краевым условием, установлена сходимость рядов в асимптотическом методе Глауэрта-Лайтхилла;

— для двумерных нелинейных систем Блазиуса построено разрешающее уравнение относительно функции тока и три точных решения;

— доказана теорема существования решения краевых задач с по-гранслосм и предложен численный метод решения нелинейной краевой задачи теории погранслоя;

— разработан численный метод расчета компонент скоростей, температуры, трения и толщины пограничного слоя для плоской пластины, в котором относительные ошибки вычислений не зависят от числа Рейнольдса;

— впервые доказано существование решений краевых задач, возникающих в физико-технических моделях полимеров, с использованием теоремы Копш-Ковалевской и принципа неподвижной точки Шаудера;

— при помощи общих теорем существования решений нелинейных уравнений с векторным параметром доказано существование решений одной краевой задачи из теории пограничного слоя на неограниченном полуинтервале.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение

.

В теории материалов одной из наиболее интересных, как с точки зрения теории, так и с точки зрения приложений, является задача формования волокна из расплава .

При формовании волокон, когда жидкая струя раствора или расплава полимера переводится в твердое агрегатное состояние, одновременно протекает множество физико-химических процессов. Многообразие таких взаимосвязанных процессов и скорости их протекания в период формования не позволяют однозначным образом определить влияние каждого из них на структурные особенности получаемой нити.

Современное состояние математических моделей в этой проблематике систематизировано и изложено в диссертации. В итоге показано, что ключевую роль в теории формования волокон занимают гидродинамические модели, описываемые нелинейными краевыми задачами (см. например стр. 86). В главе I изложены некоторые результаты автора, касающиеся построения точных решений (см. стр. 35, 57, 74), аналитических и численных решений. При этом были широко использованы работы и научные отчеты, предоставленные автору Дублинским Технологическим Институтом и Тринити Коледж Дублин. Автор благодарит проф. Дафне Гильберт, проф. Лоренса Крайна, Брэндана Рэдмонда за предоставленную возможность работать с этим матсриапрограмного обеспечения (см. стр. 115−127).

3. Доказана теорема существования решения краевых задач по-гранслоя с помощью теоремы КошиКовалевской и принципа неподвижной точки Шаудера (см. 2.1.6, стр. 88).

4. Построены точные решения в ряде моделей, отвечающих различным профилям скорости потока (см. стр. 111−113).

Таким образом, в диссертации исследованы основные краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих технологию формования волокна.

Показать весь текст

Список литературы

  1. R. On the use of Shishkin Meshes to Obtain Perameter Robust Numerical Solutions of Singularly Perturbed Differential Equations: Ph.D. thesis / 1. stitut von Karman de Dynamiquc des Fluides. 1995.
  2. Asymptotic equations for the terminal phase of glass fiber drawing and their analysis / T. Clopcau, A. Farina, A. Fasano, A. Mikelic // Nonlinear analysis: 7'eal world applications.— 2010.— Vol. 11. Pp. 4533 4545.
  3. Atkinson, K. Theoretical numerical analysis: a functional analysis framework / K. Atkinson, W. Han. — Springer-Verlang, 2001.
  4. Blasius, H. Grenzschichten in flussigkeiten mit kleincr rcibung / II. Blasius // Z. Math. Phys. 1908, — Vol. 56.- Pp. 1−37.
  5. Bourne, D. E. The cooling of fibres in the formation process / D. E. Bourne, H. Dixon // Int. J. Heat Mass Transfer. 1971.— Vol. 24. Pp. 1323−1332.
  6. Bourne, D. E. Heat transfer through the axially symmetric boundary layer on a moving circular fibre / D. E. Bourne, D. G. Elliston // Int. J. Heat Mass Transfer. 1970. — Vol. 13. — Pp. 583−593.
  7. Crane, L. J. Boundary layer flow on a circular cylinder moving in fluid at rest / L. J. Crane // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 1972. — Vol. 23. — Pp. 201−212.
  8. Crane, L. J. Heat transfer on continuous solid surfaces / L. J. Crane // Ing. Arch. Bd. 1974. — Vol. 43. — Pp. 203−214.
  9. Doering, C. R. Applied Analysis of the Navier-Stokes Equations / C. R. Doering, J. D. Gibbon. — Paperback, Aug 30, 2001.
  10. Doufas, A. Simulation of melt spinning including flow-induced crystallization, part i. model development and predictions / A. Doufas, A. McHugh, C. Miller // J. Non-Newtonian Fluid. Mech.— 2000.— Vol. 92. Pp. 27−66.
  11. Dreglea, A. A model of the melt spinning process end of year report: Tech. Rep. 20−04 / A. Dreglea: Dublin Institute of Technology, 2005.
  12. Dreglea, A. A model of the melt spinning process, end of year report: Tech. Rep. 23−05 / A. Dreglea: Dublin Institute of Technology, 2007.
  13. Dreglea, A. I. Continuous solutions in boundary layer problem / A. I. Dreglea // Proceedings of Intl Conference «Differential Equations, Theory of Functions, and Applications», 2007, Novosibirsk, Russia. 2007. — Pp. 16−18.
  14. Dreglea, A. I. Continuous solutions of some boundary problem / A. I. Dreglea, N. A. Sidorov. // Proceedings of Applied Mathematics and Mechanics, PAMM, 2007, vol.7,. 2007. — Pp. 1 040 801−1 040 802.
  15. Gagon, D. Computer simulation of steady polymer melt spinning / D. Gagon, M. Denn // Polym. Eng. Sci. 1981. — Vol. 21. — Pp. 844 853.
  16. Glauert, M. B. The axisyinmetric boundary layer on a long thin cylinder / M. B. Glauert, M. J. Lighthill // Proc. R. Soc. London.— 1955. Vol. 320. — Pp. 188 203.
  17. Gotz, T. Interactions of fibers and flow: asymptotics, theory and numerics / T. Gotz // Ph.D. Thesis, University of Kaiserslautern. — 2000.
  18. Karman, T. V. Aerodynamics / T. V. Karman. — Cornell U. Press Ithaca NY, 1954.
  19. Kelly, H. R. A note on the laminar boundary layer on a cylinder in axial incompressible flow / H. R. Kelly // J. Aero. Sci. — 1954. — Vol. 21, no. 9, — Pp. 634−639.
  20. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falalccv. — Kluwer Academic Publishers, 2002.
  21. Prandtl, L. Applied Hydro and Aeromechanics / L. Prandtl, O. Tietjens, J. Hartjog. — London England: McGraw-Hill Book Company, 1934.
  22. Rayleigh, L. Raylcigh solution / L. Rayleigh // Phil. Mag. — 1911. — Vol. 21, no. 6. -P. 697.
  23. Richelle, E. Momentum and thermal boundary layer along a slender cylinder in axial flow / E. Richelle, R. Tasse, M. Ricthinuller // Int. J. Heat Mass Transfer. 1993. — Vol. 1. — Pp. 1−2.
  24. Robust Computational Techniques for Boundary Layers / P. A. Farrel, A. F. Hcgarty, J. J. H. Miller ct al. — Florida, USA: Chapman and hall CRC, 2000.
  25. Sakiadas, B. C. Boundary-layer behaivor on continuous solid surfaces: I. the boundary layer equations for two-dimentional and axisymmetric flow / B. C. Sakiadas // A.I.Ch.E. Journal. 1961. — Vol. 7, no. 26. -Pp. 467−472.
  26. Sakiadas, B. C. Boundary layer behaivor on continuous solid surfaces: Ii. the boundary layer on a continuous flat surface / B. C. Sakiadas //
  27. A.I.Ch.E. Journal. 1961. — Vol. 7, no. 221. — Pp. 467472.38| Sakiadas, B. C. Boundary layer behaivor on continuous solid surfaces: Iii. the boundary layer on a continuous cylindrical surface /
  28. B. C. Sakiadas // AIChEe Journal 1961, — Vol. 7, no. 467,-Pp. 467−472.
  29. Schone, A. Modelling of multifilament spinning / A. Schone, H. Brunig // Arch. Mech. 1990. — Vol. 42. — Pp. 571−582.
  30. Seban, R. A. Skin friction and heat transfer characteristics of a laminar boundary layer on a cylinder in axial incompressible flow / R. A. Seban, R. Bond // Ing. Arch. Bd. 1974. — Vol. 43. — Pp. 203 214.
  31. Sweetland, M. Evaporative cooling of continuously drawn glass fibres by water sprays / M. Sweetland, J. Licnhard // Int. J. Heat Mass Transfer. 2000. — Vol. 43. — Pp. 777 790.
  32. Tasse, R. Etude Theorique et Experimental du Refroidisscment a Pair de Fils Synthctiques: Ph.D. thesis / University of Limerick. — 2001.
  33. Vleggaar, J. Laminar boundary-layer behaviour on continuous, accelerating surfaces / J. Vleggaar // Chern. Eng. Science. — 1977. — Vol. 1517. P. 32.
  34. , С. Н. Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных / С. Н. Аристов, Д. В. Князев, А. Д. Полянин // Теоретические основы химической технологии. 2009. — Т. 43. -С. 547 566.
  35. , Г. И. Турбулентные пограничные слои при очень больших числах Рейнольдса / Г. И. Баренблатт // УМН, выпуск 1(355). 2004. — № 59. — С. 45−62.
  36. , А. Г. О гарантированной точности решения задач вычислительной математики в арифметике с плавающей запятой и переменной длиной мантиссы / А. Г. Бирюков, А. И. Гриневич // ТРУДЫ МФТИ. 2012. — Т. 4, № 3. — С. 171−180.
  37. , А. А. О некоторых системах уравнений, содержащих малый параметр / А. А. Дезин // Матем. сб.— 1980.-- Т. 11, — С. 323 -333.
  38. , Д. Устойчивость движений жидкости / Д. Джозеф. — Мир, Москва, 1981.
  39. , А. И. Математическая модель формования волокна / А. И. Дрегля // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике (27−31 мая 2005 г.) / Под ред. Л. В. Овсяников. — Ин-т гидродинамики СО РАН, Новосибирск, 2005. — С. 44−45.
  40. , А. И. О существовании непрерывных решений в одной модельной задаче теории пограничного слоя / А. И. Дрегля // Известия Иркутского государственного университет, а. Серия Математика. 2007. — Т. 1. — С. 113−117.
  41. , А. И. О решениях одной нелинейной краевой задачи на полуоси с малым параметром / А. И. Дрегля // Известия
  42. Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2009. — Т. 2. — С. 313 316.
  43. , А. И. Некоторые аналитические и точные решения систем уравнений в теории моделирования полимеров / А. И. Дрегля // Сиб. журн. индустр. матем. — 2008.— Т. 11, № 3.— С. 61−70.
  44. , А. И. Краевые задачи в моделировании формования волокон / А. И. Дрегля. LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012.
  45. , А. И. О применении преобразования Себана Бонда и теоремы Коши — Ковалевской в одной краевой задаче для системы Навье — Стокса / А. И. Дрегля // Известия Иркутского государственного университета. — 2012. — № 3. — С. 32−40.
  46. , А. И. О разрешимости одной краевой задачи в моделях пограничного слоя / А. И. Дрегля // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2012. — № 4. — С. 27−30.
  47. , А. И. Об одной краевой задаче в теории моделирования формования волокна / А. И. Дрегля // III Международная школа-семинар Нелинейный анализ и экстремальные задачи, Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН. 2012. — С. 26−27.
  48. , А. Л. О сингулярной задаче для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка, возникающего в гидродинамике / A. JI. Дышкова, Н. Б. Конюхова, А. И. Суков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 2007.— Т. 47. С. 1158—1178.
  49. , Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. — Наука, 1964.
  50. , О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская.- М.: ГНФМЛ, 1970.
  51. , Л. Д. Гидродинамика. Теоретическая физика, т. IV / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. 1986.
  52. , Н. В. Численное исследование сверхзвукового обтекания острых эллиптических конусов / Н. В. Леонтьева, Ю. П. Головачёв // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., том 39. — 1999. — № 3. С. 534−542.
  53. , И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский, — Наука, 1961.
  54. , В. В. Неклассичсские задачи теории пограничного слоя / В. В. Пухначев. — Новосибирский государственный университет, 1979.
  55. , Н. А. О построении ветвей решения нелинейных уравнений с параметрами регуляризоваиным методом последовательных приближений / Н. А. Сидоров, А. И. Дрегля / / Между нар. конф. «Тихонов и современная математика», М: Из-во МГУ. — 2006. С. 254−255.
  56. , Н. А. Дифференциальные уравнения с оператором Воль-терра при производной / Н. А. Сидоров // Известия ВУЗов. Математика. — 1984. — № 1. — С. 77−84.
  57. , Н. А. О малых решениях нелинейных уравнений с векторным параметром в еекториальных окрестностях / Н. А. Сидоров, Р. Ю. Леонтьев, А. И. Дрегля // Магпем. заметки. — 2012. -Т. 91.- С. 120−135.
  58. , Б. А. Неизотермическое ползущее течение вязкоупру-гой жидкости со свободной поверхностью при формовании волокон / Б. А. Снигерева, Ф. X. Тазюков // Вести. Удмургпск. унта. Матем. Мех. Компьют. науки, 2010, выпуск 2. 2010. — Рр. 101−108.
  59. , С. Д. Математическое моделирование реологических свойств полимеров / С. Д. Старыгина, Т. Н. Яку нов / / Вестн. Казанского технологического ун-та. — 2010. — Т. 10. — С. 244—-248.
  60. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. — North-Holland Publishing Company, 1979.
  61. Треноги’н, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногий. — Физ-матлит, 2002.
  62. , В. А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника-Вишика / В. А. Треногин // УМН. 1980. — Т. 25. — С. 123--156.
  63. , В. С. Применение метода интегрирования по малому параметру для расчёта ламинарного пограничного слоя на цилиндре / В. С. Челышков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1986. Т. 26. — С. 1419—1422.
  64. , Г. И. Сеточная аппроксимация сингуляро возмущенных параболических уравнений конвекции-диффузии с кусочно-гладким начальным условием / Г. И. Шишкин // Ж. вычисл. машем. и матем. физ. 2006. — Т. 46, № 1. — С. 52−76.
  65. , Г. И. Обусловленность оазностной схемы метода декомпозиции решения для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии / Г. И. Шишкин // Тр. МММ УрО РАН. — 2012. Т. 18, № 2. — С. 291−304.
  66. , Г. И. Сильная устойчивость схемы на локально-равномерных сетках для сингулярно возмущенного обыкновенного уравнения конвекции-диффузии / Г. И. Шишкин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. — Т. 52, № 6. — С. 1010−1041.
  67. , Г. И. Улучшенные аппроксимации решения и производных сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии на основе метода декомпозиции решения / Г. И. Шишкин, Л. П. Шишкина // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 2011. -Т. 51, № 6, — С. 1091−1120.
  68. , Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. Наука, 1974.
  69. , В. И. Лекции по курсу «Матеметичсские модели естественных наук» / В. И. Юдович. — Ростов-на-Дону: Ростовский гос. ун-т, 2006.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!