Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых групп

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации сверхразрешимых групп

Курсовая работа Исполнитель:

Студентка группы М-32

____________ Лякишева А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

____________ Скиба М.Т.

Гомель 2007

Перечень условных обозначений

Введение

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации сверхразрешимых групп

Заключение

Литература

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и —- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

—- пустое множество;

—- множество всех, для которых выполняется условие ;

—- множество всех простых чисел;

—- некоторое множество простых чисел, т. е. ;

—- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число —- любое число вида ;

—- множество всех целых положительных чисел.

—- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .

Запись означает, что предшествует в упорядочении, .

Пусть —- группа. Тогда:

—- порядок группы ;

—- порядок элемента группы ;

—- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

—- множество всех простых делителей порядка группы ;

—- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

—группа —- группа, для которой ;

—группа —- группа, для которой ;

—- подгруппа Фраттини группы, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

—- подгруппа Фиттинга группы, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

—- коммутант группы ;

—- —холловская подгруппа группы ;

—- силовская —подгруппа группы ;

—- дополнение к силовской —подгруппе в группе, т. е. —холловская подгруппа группы ;

—- группа всех автоморфизмов группы ;

—- является подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа —- неединичная собственная подгруппа;

—- является нормальной подгруппой группы ;

—- подгруппа характеристична в группе, т. е. для любого автоморфизма ;

—- индекс подгруппы в группе ;

;

—- централизатор подгруппы в группе ;

—- нормализатор подгруппы в группе ;

—- центр группы ;

—- циклическая группа порядка ;

Если и —- подгруппы группы, то:

—- прямое произведение подгрупп и ;

—- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы .

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

—- подгруппа, порожденная всеми, для которых выполняется .

Группу называют —нильпотентной, если .

Группу порядка называют —дисперсивной, если выполняется и для любого имеет нормальную подгруппу порядка. Если при этом упорядочение таково, что всегда влечет, то —дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.

Цепь —- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп —- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь называетсяцепью (с индексами); если при этом является максимальной подгруппой в для любого, то указанная цепь называется максимальнойцепью.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого .

Нормальный ряд называется главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т. е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т. е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

—- класс всех групп;

—- класс всех абелевых групп;

—- класс всех нильпотентных групп;

—- класс всех разрешимых групп;

—- класс всех —групп;

—- класс всех сверхразрешимых групп.

Пусть —- некоторый класс групп и —- группа, тогда:

—- —корадикал группы, т. е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из, для которых. Если —- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы, факторгруппа по которой принадлежит. Если —- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и. Класс групп называется наследственным илизамкнутым, если из того, что, следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Пусть —- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется:

— нормальной, если ;

— абнормальной, если .

Максимальнаяцепь называетсясубнормальной, если для любого подгруппанормальна в. Подгруппа группы называетсясубнормальной, если существует хотя бы однасубнормальная максимальнаяцепь.

Группа называется группой с плотной системойсубнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы, из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такаясубнормальная подгруппа, что. В этом случае также говорят, что множествосубнормальных в подгрупп плотно.

Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп, то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из. Среди таких обобщений выделим следующие исследования.

Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О. Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальнымитыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д. Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.

Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.

В начале 70-х годов по инициативе С. Н. Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы, обладающая некоторым свойством, называется плотной в, если для любых двух подгрупп из, где не максимальна в, найдетсяподгруппа такая, что. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С. Н. Черниковым.

В 1974 году С. Н. Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы, в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А. Манном и В. В. Пылаевым.

Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа являетсясубнормальной в, если существует цепь подгрупп такая, что являетсянормальной максимальной подгруппой в для любого. Если совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), тосубнормальная подгруппа оказывается субнормальной.

В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных —подгруппами, —субнормальными или —абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л. А. Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.

Ясно, что вопрос С. Н. Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если —- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех еесубнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С. Н. Черникова был исследован в работе для случая, когда —- класс всехнильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда —- произвольнаязамкнутая насыщенная формация либонильпотентных, либодисперсивных, либо сверхразрешимых групп.

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации сверхразрешимых групп

Пусть —- произвольная -замкнутая насыщенная формация сверхразрешимых групп, —- несверхразрешимая группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда каждая -абнормальная максимальная подгруппа из либо принадлежит , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.

Доказательство. Предположим, что недисперсивна, где таково, что равносильно. Так как —- формациядисперсивных групп, то, по лемме, лемма верна. Пусть теперьдисперсивна. В этом случае лемма верна по лемме. Лемма доказана.

Пусть —- произвольная насыщеннаязамкнутая формация сверхразрешимых групп, —- несверхразрешимаягруппа с плотной системойсубнормальных подгрупп. Тогда —- группа одного из следующих типов:

1) —- минимальная несверхразрешимая группа, у которой, ;

2), где, содержит такую абелеву подгруппу, нормальную в, что —- минимальная несверхразрешимая группа, являющаяся в максимальной подгруппой непростого индекса, подгруппа сверхразрешима, где —- любая максимальная подгруппа из ;

3), , —- минимальная нормальная подгруппа группы, подгруппа, где —- произвольная максимальная подгруппа из, является либо сверхразрешимой, либо минимальной негруппой, либо группой типа 2) из данной теоремы;

4), , где —- минимальная нормальная подгруппа группы, , подгруппа, является либо минимальной несверхразрешимой группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;

5), , —- минимальная нормальная подгруппа из, —- абелева группа, и —- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппа либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, где —- произвольная максимальная подгруппа из ;

6), , где, —- минимальные нормальные подгруппы группы, , —- минимальная несверхразрешимая группа;

7) ,), где —- минимальная нормальная подгруппа группы, сверхразрешима, подгруппа, где —- произвольная максимальная подгруппа группы, либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) или 4) из данной теоремы;

8), и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы, ,, со следующими свойствами:, —- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппы и принадлежат, где —- максимальная подгруппа из, —- максимальная подгруппа из ;

9), и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы, ,, со следующими свойствами: сверхразрешима, —- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы,, где —- максимальная подгруппа из, либо принадлежит, либо и является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы,, где —- максимальная подгруппа из, либо принадлежит, либо и является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы.

Доказательство. По лемме, группа разрешима. Если группа не дисперсивна по Оре, то к ней применима теорема, и данная теорема верна. Поэтому далее мы будем полагать, что группа дисперсивна по Оре.

1. Рассмотрим вначале случай, где и —- различные простые числа. По лемме в группе любаяабнормальная максимальная подгруппа либо сверхразрешима, либо является минимальной несверхразрешимой группой у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Эти два случая мы и рассмотрим.

1.1. Пусть в имеется несверхразрешимаяабнормальная максимальная подгруппа. По лемме, является минимальной несверхразрешимой группой и —- абелева группа. Так как, то либо, либо. Если предположить, что, то и. Поэтому немаксимальна в и, по лемме, -субнормальна в. Отсюда, по теореме,. Противоречие. Значит,, и. Из того, что группа дисперсивна по Оре, и, следует, что. Пусть —- произвольная максимальная подгруппа из. По условию, в существуетсубнормальная подгруппа такая, что. Ясно, что и, значит, сверхразрешима. Следовательно, -субнормальна в и в, где —- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем. что подгруппа сверхразрешима. Итак, в данном случае —- группа типа 2) из данной теоремы.

1.2. Пусть теперь в всеабнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, —- -группа. По лемме, либо —- максимальная подгруппа в, либо —- максимальна вабнормальной максимальной подгруппе группы .

Пусть вначале максимальна в. Пусть —- произвольная максимальная подгруппа из. Рассмотрим подгруппу. Еслисубнормальна в, то, по теореме,. Предположим, что несубнормальна в. Тогда содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из. Так как, то. Если, то, согласно лемме, —- минимальная негруппа. Пусть. Тогда и. Применяя теорему Машке, получаем, что и. Если, то. Противоречие. По лемме, —- минимальная несверхразрешимая группа. Если —- произвольная максимальная подгруппа из, то, ввиду леммы, -субнормальна в. Применяя теорему, получаем, что подгруппа. Значит, —- группа типа 2) из данной теоремы, а —- группа типа 3) из данной теоремы.

Пусть теперь немаксимальна в. Тогда, по лемме, содержится в качестве максимальной подгруппы в некоторойабнормальной максимальной подгруппе группы. Тогда группа представима в виде, где —- -группа. Предположим, что. Тогда любаянормальная максимальная подгруппа группы имеет вид, где —- некоторая максимальная подгруппа из, и, следовательно, по теореме, принадлежит формации. Получили, что группа —- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что. Тогда, по теореме Машке,. Ввиду следующего равенства получаем противоречие с тем, что. Итак, —- группа типа 1) из данной теоремы. Если же, то группа имеет вид и. Так как максимальна в, то. Рассмотрим подгруппу. Если, тосубнормальна в. Учитывая, что дисперсивна по Оре, по теореме, получаем, что. Противоречие. Каждая собственная подгруппа из будет немаксимальна в и, по лемме, -субнормальна в. Если максимальна в, то —- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае —- группа типа 4) из данной теоремы. Если предположить, что не максимальна в, то она содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из. Получили, что и. Это значит, что. Противоречие с тем, что —- максимальная подгруппа в .

2. Рассмотрим случай, где, и —- различные простые числа. Согласно лемме, в группе либо всеабнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.

2.1. Предположим, что в имеется несверхразрешимаяабнормальная максимальная подгруппа. По лемме, является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Предположим, что. Так как, то и,. Применяя лемму и учитывая, что, получаем. Из того, что разрешима, следует, что-либо, либо нормальна в. По теореме, в существует подгруппа. Подгруппа содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе группы. Предположим, что. Тогда будет немаксимальна в и, по условию, найдетсясубнормальная подгруппа такая, что. Ясно, что. Поэтому, а это значит, чтосубнормальна в. Тогда, по теореме,. Это значит, что. Ясно также, что и максимальна в. Тогда —- минимальная несверхразрешимая группа, у которой —- абелева группа. Пусть —- произвольная максимальная подгруппа из. Рассмотрим подгруппу. Предположим, что. Так как-либо, либо, то пусть для определенности. Из того, что, следует, что и. Имеем и —- минимальная нормальная подгруппа в, поэтому. Значит, подгруппа содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из. Пусть —- произвольная подгруппа из, отличная от. Тогда, по условию, в существуетсубнормальная подгруппа такая, что. Ясно, что. Поэтому. Отсюда следует, чтосубнормальна в. Предположим, что. Согласно лемме, —- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае —- группа типа 5). Пусть. Тогда, где —- -группа. Если, то, ввиду леммы, —- минимальная несверхразрешимая группа. Если, то, применяя теорему, получаем, что —- циклическая группа. Противоречие. Предположим, что. Тогда. Подгруппа самонормализуема в, так как в и, подгруппа является максимальной. Значит, —- группа Фробениуса с ядром и дополнительным множителем. По теореме,. Противоречие. Остается рассмотреть случай, когда. По теореме Машке, и. Отсюда получаем, что и. Противоречие. Значит,. Если, то проводя рассуждения, аналогично вышеизложенным, получаем, что-либо принадлежит формации, либо является минимальной несверхразрешимой группой. Итак, —- группа типа 5) из данной теоремы.

Пусть теперь —- минимальная несверхразрешимая группа и. Так как, то, и. Предположим, что. По теореме, в существует подгруппа, содержащая. Так как, то и содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из. Предположим, что. Применяя лемму, получаем, что, а значит,. Подгруппа немаксимальна в, так как, и. По условию, в существуетсубнормальная подгруппа такая, что. Отсюда следует, чтосубнормальна в, а значит, и в. Противоречие. Итак, —- минимальная несверхразрешимая группа. Так как, то. Приходим к случаю, рассмотренному выше, откуда следует, что в нетабнормальных максимальных подгрупп, порядок которых делится на три различных простых числа. Итак,, и. Ясно, что и. Ввиду того, что группа дисперсивна по Оре, получаем, что —- наибольший простой делитель и, а значит,. Из следует, что. Пусть —- произвольная максимальная подгруппа из. По условию, в существует такаясубнормальная подгруппа такая, что. Ясно, что. Поэтому сверхразрешима. Отсюда следует, чтосубнормальна в, где —- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем, что подгруппа сверхразрешима. Следовательно, —- группа типа 2) из данной теоремы.

2.2. Пусть теперь в всеабнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме —- -группа. По лемме либо —- максимальная подгруппа в, либо —- максимальна вабнормальной максимальной подгруппе группы .

Пусть максимальна в. Так как, то. Согласно доказанному выше, получаем, что в этом случае группа типа 7) из данной теоремы.

Предположим теперь, что не максимальна в. Тогда, где —- -группа. Предположим, что. Тогда любаянормальная максимальная подгруппа группы имеет вид, где —- некоторая максимальная подгруппа из, и, следовательно, по теореме принадлежит формации. Получили, что группа —- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что. Тогда, по теореме Машке,. Ввиду следующего равенства получаем противоречие с тем, что. Итак, —- группа типа 1) из данной теоремы. Пусть теперь. В этом случае. Так как, то. Согласно лемме, подгруппы и будутсубнормальны в. Очевидно, что,. Поэтому и. Рассмотрим подгруппу. Подгруппа содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе группы. Если, то —- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что. Тогда, где —- -группа и. Так как, то —- элементарная абелева группа. Значит, и —- минимальная несверхразрешимая группа. Следовательно, —- группа типа 6) из данной теоремы.

3. Рассмотрим случай, где, , и —- различные простые числа. Согласно лемме, в группе либо всеабнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.

3.1. Предположим, в имеется несверхразрешимаяабнормальная максимальная подгруппа. По лемме, является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Так как, то и,. Отсюда получаем, что и. Применяя леммы и получаем, что. Рассмотрим подгруппу. Такая группа существует согласно теореме. Так как, то содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из. Если, то и, согласно лемме,. Подгруппа немаксимальна в. Поэтому, по лемме, -субнормальна в, а значит, и в. Противоречие. Следовательно, и, согласно лемме, —- минимальная несверхразрешимая группа, у которой является минимальной нормальной подгруппой. Отсюда следует, что и. Рассмотрим подгруппу. Подгруппа циклическая согласно теореме. Поэтому —- абелева группа. Так как, то. Аналогично получаем, что коммутантом группы. является. Пусть. Легко видеть, что сверхразрешима. Ввиду теоремы,. Так как и, то и. Отсюда получаем, что. Значит, и. Пусть —- произвольная максимальная подгруппа из. По условию, в существуетсубнормальная максимальная подгруппа такая, что. Ясно, что. Поэтому принадлежит исубнормальна в. Применяя теорему, получаем. Так как и —- циклические группы, согласно теоремы, то в два класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы и, где —- максимальная подгруппа из, —- максимальная подгруппа из. Значит, подгруппы вида и принадлежат, и —- группа типа 8) из данной теоремы.

3.2. Пусть теперь в всеабнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, —- -группа. По лемме, либо —- максимальная подгруппа в, либо максимальна вабнормальной максимальной подгруппе группы .

Предположим, что —- максимальная подгруппа в. В существует максимальная подгруппа, несубнормальная в и. Рассмотрим подгруппу. Так как и, то содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе группы. Если, то, по лемме, —- минимальная несверхразрешимая группа. Тогда. Если, то, по лемме, —- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим теперь, что. Тогда, ввиду леммы. Подгруппа, поэтому, согласно теоремы Машке, и. Рассмотрим подгруппу. Подгруппа будет минимальной нормальной подгруппой группы, в противном случае в существует минимальная нормальная подгруппа, для которой и. Применяя лемму, получаем, что —- минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что в существует подгруппа такая, что —- минимальная несверхразрешимая группа. Значит,, и —- циклические группы. Последнее справедливо ввиду теоремы. По доказанному выше, может быть группой типа 2), 7) из данной теоремы. Если —- группа типа 7), то так как согласно лемме любая максимальная подгруппа изсубнормальна в, —- минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что подгруппа —- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо является группой типа 2) из данной теоремы.

Так как подгруппа максимальна в и, то и. Из того, что все силовские подгруппы из циклические, следует, что в всего четыре класса максимальных сопряженных подгрупп. Так как и —- циклическая группа, то максимальная подгруппа из нормальна в. Подгруппа максимальна в. Рассмотрим теперь подгруппу. Если, то. Если предположить, что, то содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из. Если, то —- минимальная несверхразрешимая группа и. Противоречие. Пусть. Тогда максимальна в, причем —- минимальная несверхразрешимая группа и. Противоречие. Итак,. Пусть. Тогда и, согласно доказанному выше, либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.

Пусть, где —- максимальная подгруппа из. Рассмотрим подгруппу. Если, то и, по доказанному, -субнормальна в. По теореме,. Пусть. Тогда и, согласно доказанному выше, либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.

Подгруппа, и циклические, поэтому в три класса максимальных сопряженных подгрупп и, значит, в три классанормальных максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы:, и. Группа в этом случае является группой типа 9) из данной теоремы.

Пусть теперь не максимальна в. Тогда, где. Если, то —- минимальная несверхразрешимая группа и. Противоречие. Пусть. Тогда. Ввиду дисперсивности группы. Пусть —- произвольнаянормальная максимальная подгруппа. Если —- -число, то сверхразрешима. Предположим, что —- степень. Тогда. содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из. Если, то —- минимальная несверхразрешимая группа и. Противоречие. Значит,. Подгруппа максимальна в, так как в противном случае сверхразрешима. По лемме —- минимальная несверхразрешимая группа и. Противоречие. Итак, сверхразрешима. Ввиду произвольности выбора, получаем, что —- минимальная несверхразрешимая группа и. Противоречие.

4. Рассмотрим случай. Согласно лемме в группеабнормальные максимальные подгруппы либо сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Если в имеется несверхразрешимаяабнормальная максимальная подгруппа, то и, ввиду разрешимости группы,. Противоречие. Пусть теперь в всеабнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, —- -группа. По лемме, либо —- максимальная подгруппа в, либо —- максимальна вабнормальной максимальной подгруппе группы. Если немаксимальна в, то, по доказанному выше,. Остается случай, когда —- максимальная подгруппа в. В этом случае и в найдется максимальная подгруппа, несубнормальная в. Рассмотрим подгруппу.. Ввиду леммы, каждая собственная подгруппа изсубнормальна в. Подгруппа содержится в некоторойабнормальной максимальной подгруппе из. Если, то, по лемме, —- минимальная несверхразрешимая группа. Противоречие. Значит, и максимальна в. По лемме, —- минимальная несверхразрешимая группа. Тогда. Противоречие. Теорема доказана.

В случае, когда —- формация всех сверхразрешимых групп, из теоремы вытекает результат Л. Н. Закревской.

Заметим, что в работе при описании групп с плотной системойсубнормальных подгрупп, где —- формация всех сверхразрешимых групп, Л. Н. Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда является холловойабнормальной максимальной подгруппой, порядок которой делится на простое число, и холловаподгруппа группы сверхразрешима, утверждается, что холловаподгруппа из не максимальна в, что в общем случае не верно.

Заключение

В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системойсубнормальных подгрупп в случаях, когда —- либо произвольнаязамкнутая формациянильпотентных групп, либо произвольнаязамкнутая формациядисперсивных групп, либо произвольнаязамкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе, не принадлежащей, существуют несубнормальные подгруппы и такие, что, не максимальна в, и из всегда следует, что несубнормальна в .

1.Гольфанд Ю. А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. —- 1948. —- Т. 60,№ 8. —- C. 1313—1315.

2.Закревская Л. Н. Конечные группы с плотной системойсубнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. —- Минск: Наука и техника, 1984. —- 71—88.

3.Закревская Л. Н. Конечные группы сплотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. —- Мн.:Наука и техника, 1986. —- 59—69.

4.Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. —- Минск: Бел. навука, 2003. —- 254 с.

5.Кехмадзе Ш. С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. —- 1964. —- № 155. —- С. 1003—1005.

6.Монахов В. С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. —- 1972. —- Т. 11, № 2. —- C. 183—190.

7.Пылаев В. В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. —- Киев: Инст. математики АН УССР, 1975. —- С. 197—217.

8.Пылаев В. В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. —- Киев: Инст. математики АН УССР, 1976. —- С. 111—138.

9.Семенчук В. Н. Минимальные негруппы // Алгебра и логика. —- 1979. —- Т. 18, № 3. —- C. 348—382.

10.Черников С. Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. —- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. —- С. 5—29.

11.Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. —- 1967. —- № 6. —- С. 111—131.

12.Черников С. Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. —- 1968. —- № 1. —- С. 45—50.

13.Чунихин С. А. Освойствах конечных групп // Матем. сб. —- 1949. —- Т. 25, № 3. —- с. 321—346.