Нелокальные задачи со смещением и интегральными условиями первого рода для гиперболических уравнений

Основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных сформировались при решении классических задач математической физики, возникших при моделировании различных процессов, и многие разделы к настоящему времени приобрели законченный вид. Классические задачи для уравнений в частных производных классифицированны и хорошо изучены. Но современные проблемы естествознания приводят к необходимости обобщения классических задач математической физики, а также к постановке качественно новых задач. В настоящее время широко изучаются математические модели таких физических процессов, граница области протекания которых недоступна для непосредственного измерения, но возможно получение информации о некоторых его свойствах во внутренних точках области, либо о соотношении значений искомого решения в различных точках границы. Такие задачи были названы нелокальными задачами. Часто такая информация поступает в виде некоторых средних значений искомого решения. При математическом моделировании такую информацию удобно представить в виде интеграла.

По-видимому, термин «нелокальные условия «был впервые введен A.A. Дезиным в работе [12]. Задолго до начала систематических исследований появились работы, в которых рассмотрены задачи с нелокальными условиями различного вида. В книге Я. Д. Тамаркина [76] поставлена задача с интегральными условиями для обыкновенного дифференциального уравнения. В. А. Стеклов в своей работе.

74] рассмотрел задачу об охлаждении неоднородного стержня, которая состоит в нахождении решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего условиям, заданным в виде линейной комбинации значений искомой функции и ее производных в различных точках границы: aiux{Q, t) + a2ux (l, t) + a3u (0, t) + a4u (l, t) = 0,.

0.1) hux (0,t) + b2ux (l, t) + bzu (Q, t) + b4u{l, t) = 0, которые впоследствии стали называть условиями смещения.

Задачи со смещением для уравнений различных типов, в том числе для уравнений смешанного типа и уравнений высокого порядка, изучались в работах Ф. И. Франкля [77], A.M. Нахушева [51], В. И. Жегалова [25], В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [28, 29], Н. И. Ионкина и Е. И. Моисеева [31], А. Н. Зарубина [5, 27], Н. И. Ионкина [33, 32], H.JI. Лажетича [43, 44], L. Byszewski [81], А. П. Солдатова [73]. Большой вклад в развитие теории задач со смещением внесли работы A.M. Нахушева [49, 51] и его учеников [52, 53, 7, 69], в которых не только получены важные теоретические результаты, но и приведены обоснования математических моделей, содержащих нелокальные условия.

Начало систематических исследований нелокальных задач с интегральными условиями восходит к работам Д. Кэннона [83] и Л. И. Камынина [34], в которых рассматривались параболические уравнения. В статье [83] рассматривалась задача нахождения классического решения уравнения теплопроводности, когда одно из граничных условий задается в виде интеграла от искомого решения. В статье.

34] изучена задача для общего параболического уравнения на плоскости с двумя интегральными условиями.

Дальнейшее иследование задач с интегральными условиями для параболических уравнений было продолжено в работах Н. И Ион-кина [30] - [33], JI.A. Муравья и A.B. Филиновского [47], [48], С. А. Алексеевой и Н. И. Юрчука [1], [2], А. И. Кожанова [38], А. Бузиани [80], JI.C. Пулькиной [58], A.B. Картынника [35] и других авторов.

Начало систематического исследования нелокальных задач для эллиптических уравнений положено в статье A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [4]. Дальнейшие глубокие результаты исследования разрешимости и качественных свойств решений нелокальных задач для эллиптических уравнений были получены в работах А. К. Гущина [9], А. К. Гущина и В. П. Михайлова [10], [11], A.JI. Скубачевского [70]-[72].

Нелокальные задачи для гиперболических уравнений стали исследоваться позже, но к настоящему времени уже имеется значительное число работ, посвященных изучению нелокальных задач для уравнений гиперболического типа, как с условиями смещения, так и с нелокальными интегральными условиями. Среди последних можно выделить три класса задач:

— интегральные аналоги задачи Гурса, в которых нелокальное условие задается в виде интеграла вдоль характеристик;

— смешанные задачи с классическими начальными условиями и пространственно нелокальными интегральными условиями;

— задачи с нелокальными по времени условиями.

В представленной диссертации рассмотрены задачи, относящиеся ко второму классу. Смешанные задачи с пространственно нелокальными интегральными условиями рассматривались в работах Д. Г. Гордезиани и Г. А. Авалишвили [8, 82], А. Бузиани [80], А. И. Кожанова [40], Л. С. Пулькиной [56] - [65], С. А. Бейлина [3, 79], В. Б. Дмитриева [13].

Уточним, что под нелокальными интегральными условиями мы понимаем соотношения между значениями искомого решения или его выводящей производной на боковой границе области фт = (0,1) х (0, Т) и интегралом от искомого решения: I.

А 1и + ! К (х, 1) и (х, Ь)(1х = 0, (0.2) о где «граничный оператор», например, 1и = аи (0, + ¡-Зих{ Если, А ф 0, то (0.2) называется нелокальным интегральным условием второго рода. Если же, А = 0, — то первого.

Заметим, что в большинстве упомянутых работ изучались задачи с интегральными условиями второго рода.

Исследования нелокальных задач показали, что наличие нелокальных условий любого вида в большинстве случаев не позволяет использовать хорошо известные стандартные методы, такие, например, как метод Фурье и методы, опирающиеся на свойства сопряженных операторов. Интегральные условия первого рода вносят дополнительные трудности в исследование разрешимости задач с такими условиями, поэтому вопрос разработки методов доказательства разрешимости нелокальных задач остается актуальным.

В предлагаемой работе рассмотрены задачи с динамическими условиями смещения В. И. Стеклова и задачи с нелокальными условиями первого рода. Заметим, что оба класса задач, рассмотренных в работе, тесно связаны между собой.

Первая глава посвящена исследованию задачи с динамическими условиями смещения для гиперболического уравнения:

Задача 1. Найти в области Qt = (О, I) х (О, Т) решение уравнения utt-uxx + c (x, t) u = f (x, t), (0.3) удовлетворяющее начальным данным и (х, 0) = (р (х), щ (х, 0) = ф (х) (0.4) и условиям смещения ai (t)ux (u}t) + a2(t)ux{l, t) +a3(t)u (0,t) + a4(t)u (l, t) = 0,.

0.5).

6i (iK (0,i) + b2(t)ux{l, t) + bz{t)u{0,t) + b4(t)u (l, t) = 0. Особенностью этой задачи является зависимость коэффициентов в условиях (0.5) от переменой i, что весьма существенно. В частном случае щ = const, = const задачу с условиями В. А. Стеклова для уравнения utt ~ ихх + q (x)u (x, t) = f (x, t) исследовал H.JI. Лажетич [43, 44].

Им доказана однозначная разрешимость этой задачи в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций. Основным инструментом исследования был метод Фурье. При этом существенным условием является самосопряженность оператора —v" (x) + д (х)у (х) = 0 с областью определения, порожденной условиями смещения.

Задачу с динамическими условиями В. А. Стеклова для параболического уравнения рассматривал А. И. Кожанов в [39] и доказал её разрешимость методом регуляризации и продолжения по параметру.

В настоящей работе доказано существование единственого решения задачи 1 с динамическими условиями смещения (0.5) для гиперболического уравнения в пространстве И^Ч^т).

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

Н1. с (х^)еС (<2т), ф (х) е Ь2(0,1), е Ь2(Ят),.

Я2. с*(*), А№ е Сх[0,71, аг (г) > о, /з2(г) < О, яз. а!(*)й + (&(*) — а2й)66 — > о,.

НА. а2(*)+АОО = о V* е [о, Т].

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (0.3) — (0.5).

Здесь обозначено: азМЫ*) ~ ог (*)Ьз (*) а^Ыг) — а2(1)Ь (1) а1Ч = -д-> а2{1) = -д-,.

Обобщенное решение понимается как функция и (х, ?)? И^Ог)? удовлетворяющая условию и (х, 0) = (р (х) и тождеству т I т !(—щУ1 + ихух + сиу) с1хсИ + J V (0, ¿-)[а1 (¿-)и (0, + /31(£)и (7, 0 0 о т I Т I.

— I у (1,г)[а2^)и (0^)+(32^)и (1,г)](И = I Ф (х)у{х, 0) dx+J I/у (1х (И, о ООО для любой v е У/КЯт), у (х, Т) = 0.

Во второй главе рассматривается нелокальная задача с интегральными условиями I рода:

Задача 2. Найти в области С}т = (0,1) х (0, Т) решение уравнения.

Щь-ихх + с (х^)и = /(ж,*), (0.6) удовлетворяющее начальным данным и (ж, 0) = щ (х, 0) = ф (х) (0.7).

I г I.

J Кг (х, Ь) ийх + У У Щх, т) ийх (1т = 0, ъ = 1, 2, (0.8) и нелокальным условиям.

I г I 0, г = 1, 2, О 0 0 где Нг (х^), заданы в.

Отметим особенности поставленной задачи, связанные с видом нелокального условия (0.8). Одним из разработанных к настоящему времени методов исследования нелокальных задач с итегральными условиями является метод вспомогательных задач, основная идея которого заключается в применении нелокального условия к решению некоторой классической задачи с неоднородными граничными условиями. Однако реализация этого метода в случае нелокального условия I рода приводит к операторному уравнению I рода относительно неизвестных граничных условий вспомогательной задачи, что делает невозможным применение теории Фредгольма. Это затруднение может быть преодолено, если интегральное условие I рода удается свести к интегральному условию II рода. При этом оказывается весьма существенным, зависит ли ядро интегрального оператора, входящего в нелокальное условие, от переменной t. Специальный вид условия (0.8), не ограничивающий общности, позволяет выявить особенности исследования разрешимости поставленной задачи как в случае ядра, зависящего только от пространственной переменной, так и в случае зависимости его и от переменной t. В обоих случаях задача с нелокальными условиями I рода сводится эквивалентным образом к задаче с нелокальными интегральными условиями II рода специального вида, содержащими итегральный оператор и оператор смещения. К изучению разрешимости полученной задачи удалось применить метод компактности. Реализация этого метода в данном случае существенно опирается на результаты, полученные в первой главе.

Если в условиях (0.8) 2 К и 4- Hi = 0, то справедлива Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

Я1.с (м) 6 c (qr), Ф) е ^(0,0, Ф{х) е l2(o, Q, /ОМ) е L2(QT),.

Ki (x, t) € CQT) nC (QT), Hi (x, t) € CQT) nC (QT), Kixxt G C (QT);

H2. «,•(*),&(*) eC%TЯЗ. aiO%2 + ШШ2 — Ml > o, v* e [0, T];

HA. a2(i)+/3i (<) = 0 Mt 6 [0,T], Тогда существует, единственное обобщенное решение задачи 2.

Здесь обозначено:

— К2х (1^)К1{1,1)) д а2(г) ~(к1х (1,1)к2{ъ, 1) — к2х (1,г)кг (<�д, г)) А (-^ММЖзСМ — ^(0^)^1(0,^)) А.

Решение понимается как функция е УУ2(€}Т), удовлетворяющая условию и (х, 0) = ср (х) и интегральному тождеству т I т т.

J J (-utvt—uxvx + cuv) dxdt-J Ф2(*)г-(М)сЙ + ! Фх^МО, г)(И = о о i т т т i J Ф (х)у (х, 0)(1х + J д2у (1^)сИ + ! дгу (+ J ^ ¡-уйхсИ, О О О 0 0 где обозначено I о г = 1,2.

Если 2Кц (х, Ь) + Нг (х^) Ф 0, то в нелокальных условиях второго рода, к которым сводятся условия (0.8), содержится производная щ (х, ?). Получение априорной оценки в этом случае может привести к дополнительным условиям на входные данные. Однако удалось так модифицировать процесс сведения нелокальных условий I рода к условиям II рода, что этих трудностей не возникает. Для того, чтобы избежать слишком громоздких преобразований, рассмотрена задача с одним нелокальным условием.

Задача 3. Найти в области QT = (0,1) х (О, Т), I, Т < оо решение уравнения utt ~ Uxx + с (х)и = f (x, t), (0.9) удовлетворяющее начальным данным и (ж, 0) = 0, щ (х, 0) = 0 (0.10) и условиям u*(0,f)=0, (0.11) t I.

J jK (x, t) u (x, t) dx + J J H (x, r) u (x:t)dxdr = 0. (0.12) 0 0 0.

Теорема 3. Пусть выполняются следующие условия:

K (x, t) eC2(QT), KxxteC (QT),.

Kx (o, t) = o, K (i, t)^ovte[o, T], H (x, t) 6 C (QT), Hxx e C (QT), /(®, f) G L2(Qr). Тогда существует единственное обобщенное решение задачи 3.

Целью настоящей работы является исследование смешанных задач с нелокальными условиями, содержащими оператор смещения и интегральный оператор для гиперболических уравнений.

В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств C.JI. Соболева.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Доказана однозначная разрешимость задачи с динамическими условиями смещения для гиперболического уравнения.

2. Разработан метод сведения интегральных условий первого рода к интегральным условиям второго рода специального вида и доказана их эквивалентность.

3. Доказана однозначная разрешимость двух задач с интегральными условиями первого рода.

По теме дисертации опубликовано 12 работ [14] — [24], [57], отражающие ее основные результаты, которые докладывались на следующих конференциях и семинарах:

— научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета в 2008, 2009гг. (руководитель — д. ф-м.н., профессор О.П. Филатов);

— научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета «Неклассические задачи математической физики». 2010;2011 г. (руководитель — д. ф-м.н., профессор Пулькина Л.С.) — научном семинаре кафедры математического анализа физико-математического факультета Поволжской государственной социально-гуманитарной академии в 2010 г. (руководительд.ф-м.н., профессор К.Б. Сабитов);

— Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XIX «Современные методы теории краевых задач». Воронеж, 2008;

— VII школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик — Хабез. Июнь, 2010;

— международной конференции «Дифференциальные уравнения и динамические системы». Суздаль. Июль 2010;

— девятой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения — 2010». Казань, октябрь 2010;

— Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XXII». Воронеж, май 2011;

— IX школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Кабардино-Балкария, Нальчик, май, 2011;

— конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», СамДиф — 2011. Самара, июнь 2011;

— международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел», Белгород, октябрь, 2011;

— международной конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики». Кабардино-Балкария, Нальчик, 2011.

1. Алексеева, С.М., Юрчук, Н. И. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегралънымю краевым условием.// Дифференц. уравнения, 1998, Т.34, № 4, с.495−502.

2. Алексеева, С.М., Юрчук, Н. И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений.// Дифференциальные уравнения, 1986, Т.22, № 12, с.2117−2126.

3. Бейлин, С. А. Об одной нелокальной задаче с интегральным условием. Матем. заметки ЯГУ, 2004, Т. 11, № 2. С. 22−29.

4. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях эллиптических краевых задач.// Доклад АН СССР, 1969, т. 185, № 4, с. 739−740.

5. М. В. Бурцев, Зарубин А. Н. Теорема единственности смешанной задачи для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по обеим переменным// Матем. моделирование и краев, задачи, 2007, N" 3, с. 42−44.

6. Васильева, А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М: Физматлит, 2004, с. 159.

7. Водахова, В. А. Краевые задачи с нелокальным условием A.M. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопе-реноса.Ц Дифференц. уравнения, 1982, t. XVIII, № 2, с. 280−285.

8. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды.// Матем. моделир. 2000. Т. 12. т. С. 94−103.

9. Гущин, А. К. Условия компактности одного класса операторов и его применение к исследованию нелокальных задач для эл-лептических уравнений.// Матем. сборник, 2002, Т. 193, № 5, с. 17−36.

10. Гущин, А.К., Михайлов В. П. О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения.// Матем. сборник, 1995, Т. 186, № 2, с. 37−58.

11. Гущин, А.К., Михайлов В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка.// Матем. сборник, 1994, Т. 185, № 1, с. 121−160.

12. Дезин, A.A. Простейшие разрешимые расширения для псевдо-парабалического и ультрогиперболического операторов.// ДАН СССР, 1963, Т. 148, № 5, с. 1013−1016.

13. Дмитриев В. Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения.// Вестник СамГУ, 2006, № 2, С. 12−27.

14. Дюжева A.B. Нелокальная задача для уравнения гиперболического типа.// Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XIX «Современные методы теории краевых задач», 2008, с.85−86.

15. Дюжева A.B. О некоторых задачах с нелокальными условиями I рода.// Материалы VIII школы Молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик-Хабез, июнь, 2010, с. 40−41.

16. Дюжева A.B. Об одной нелокальной задаче с переменными по времени краевыми условиями для гиперболического уравнения./ / Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и динамические системы». Суздаль, июль 2010, с. 78.

17. Дюжева A.B. О некоторых нелокальных задачах с интегральными условиями первого рода.// Труды Математического центра им. Лобачевского. Казань, 2010, с. 125−128.

18. Дюжева A.B. Об одной краевой задаче для уравнения высокого порядка.// Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXII». Воронеж, май 2011, с. 60−61.

19. Дюжева A.B. Теорема единственности решения краевой задачи для уравнения четвертого порядка.// Материалы IX Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Кабардино-Балкария, Нальчик, май 2011, с. 41−45.

20. Дюжева A.B. Об одной смешанной задаче с нелокальными условиями I рода.// Тезисы докладов конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (СамДиф-20 011), Самара, июнь 2011, с.41−42.

21. Дюжева A.B. Нелокальные задачи с интегральными условиями первого рода для гиперболического уравнения.// Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел», Белгород, октябрь 2011, с. 50.

22. Дюжева A.B. Нелокальная задача с интегральными условиями I рода для гиперболического уравнения.// Вестник СамГУ, естественнонаучная серия, 2011, № 5(86), с.29−36.

23. Дюжева A.B., Пулькина J1.C. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральным условием 1-го рода.//Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. Вып 26. № 5(124).

24. Жегалов, В. И. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии.// Ученые записки Казанского университета, 1962, т 122, № 3, с. 3−16.

25. Жегалов, В. И. Задача Франкля со смещением. //Известия Вузов. Математика. 1979. N0 9(208). С. 11−20.

26. Зарубин А. Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения и запаздывающим аргументом в производной// Дифференц. уравнения, 2010, Т. 46, № 12, с. 1710−1721.

27. Ильин, В. А., Моисеев Е. А. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиувиля в дифференциальной и разностной трактовке.// Дифференц. уравнения, 1987, Т.23, № 7, с.1198−1207.

28. Ильин В. А., Моисеев Е. А. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями.// Дифференц. уравнения, 2000, Т.36, № 5, с.656−661.

29. Ионкин, Н. И. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевым условием.// Дифференц. уравнения, 2000, Т.36, № 7, с.884−888.

30. Ионкин, Н.И., Моисеев Е. А. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями.// Дифференц. уравнения, 1979, Т. ХУ, № 7, с.1284−1295.

31. Ионкин, Н. И. Об устойчивости одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием.// Дифференц. уравнения, 1979, Т.1, № 4, с.1279−1284.

32. Ионкин, Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием.// Дифференц. уравнения, 1977, Т. 13, № 2, с.294−304.

33. Камынин, Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими условиями.// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1964, Т. 4, 6, с. 1006−1924.

34. Картынник, А. В Трехточечная смешанная задача с интегральным условием по пространственной переменной для параболических уравнений второго порядка.// Дифференц. уравнения, 1990, Т.26, К0- 9, с. 1568−1575.

35. Кечина, О.М., Пулькина JI.C. Нелокальная задача для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике.// Вестник СамГУ, 2008, № 8(2), с.203−211.

36. Колмогоров А. Н., Фомин О. П. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1968.

37. Кожанов, А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальными граничными условиями для линейных параболических уравнений.// Вестник Самарского государственного технического университета, естественнонаучная сеоия, 2009, № 6 (72), с. 5157.

38. Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных задач для линейных параболических уравнений.// Вестник СамГУ, 2008, № 3(62), с. 165−174.

39. Кожанов А. И., Пулькина JI.C. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений.// Математический журнал. 2009, Т9, № 2(23), с. 7892.

40. Кузь, A.M., Пташник, Б. И. Задачи с интегральными условиями по временной переменной для гиперболических уравнений./ / Тезисы докладов конференции СамДиф 2011 «Дифференциальные уравнения и их приложения», 2011, с. 65−66.

41. Ладыженская, O.A. Краевые задачи математической физики. М: Наука, 1973.

42. Лажетич, Н.Л. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка.// Дифференц. уравнения, 2006, Т. 42, № 8, с. 1072−1077.

43. Лажетич, Н.Л. О существовании классического решения смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка.// Дифференц. уравнения, 1998, Т. 34, № 5, с. 682−694.

44. Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М: Из-во иностранной литературы, 1961, с. 120.

45. Михлин, С. Г. Курс математической физики. М: Наука, 1968, с. 462−468.

46. Муравей, Л.А., Филиновский, A.B. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения.// Матем. заметки, 1993, Т. 54, № 4, с. 98−116.

47. Муравей, Л.А., Филиновский, A.B. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения. Матем. сборник, 1991, Т. 182, № 10, с. 1479−1512.

48. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии. М: Высшая школа, 1995, с. 135.

49. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегродифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги. Дифференц. уравнения, 1979, т 15, № 1, с. 96- 105.

50. Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М: Наука, 2006.

51. Нахушева, З. И. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных.Дифференц. уравнения, 1986, Т.22, № 1, с. 171−174.

52. Нахушева, В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006, 174 с.

53. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений М: Издательство Московского университета, 1984.

54. Понтрягин JT. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М: Наука, 1965.

55. Пулькина JI. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения.Матем. заметки, 2003, Т. 74, № 3, с. 435−445.

56. Пулькина Л. С., Дюжева A.B. Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравненияВестник СамГУ, 2010, № 4(78), с.56−64.

57. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности. Неклассические задачи математической физики. ИМ СО АН. Новосибирск, 2005, с. 231−239.

58. Пулькина, Л.С. смешанная задача с интегральными условием для гиперболического уравнения.Мат. заметки., 2003, Т. 74, вып. 3, с. 435−445.

59. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения.Дифференц. уравнения, 2004. Т. 40, № 7, с. 887−892.

60. Пулькина, JI.С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями на плоскости. ИМ СО РАН, Новосибирск, 2007, с. 232−236.

61. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями первого рода для многомерного гиперболического уравнения. Доклады РАН, 2007.

62. Пулькина, Л.С. Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для многомерного гиперболического уравнения.Дифференц. уравнения, 2008. Т. 44, № 8, с. 1084−1089.

63. Пулькина, Л. С. Об одной краевой задаче со смещением для гиперболического уравнения. Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, тнория приближений», Новосибирск. 2008.

64. Пулькина, Л. С. Нелокальные задачи с интегральными условиями для одномерного волнового уравнения. Доклады АМАН, 2010. Т. 12, № 2.

65. Пулькина, Л.С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения. Дифференц. уравнения, 2000, Т.36, № 2, с. 279−280.

66. Репин, O.A. Нелокальные задачи A.M. Нахушева для уравнения смешанного типа. Вестник СамГТУ. Физ-мат. науки. 2001, вып. 12. с. 5−9.

67. Самарский, А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений.Дифференц. уравнения, 1980, т 16, 1, с. 1925; 1933.

68. Сербина, Л. И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007, с. 165.

69. Скубачевский, А.JI. Неклассические краевые задачи.I. Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 26(2007), с.3−132.

70. Скубачевский, А.Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач.Матем. сборник, 1982, Т. 117(159), № 4, с. 548−558.

71. Скубачевский, А. Л. Разрешимость эллиптических задач с краевыми условиями БицадзеСамарского.Дифференц. уравнения, 1985, Т.21, № 4, с. 701−706.

72. Солдатов, А.П., Шхануков, М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием A.A. Самарского для псевдопараболического уравнения высокого порядка. ДАН, 1987, Т. 297, № 3.

73. Стеклов, В. А. Задача об охлаждении неоднородного твердого тела. Сообщения Харьковского мат. общества. Сер.2. 1896. Т.5, № 3−4, с. 136−181.

74. Стеклов, В. А. Основные задачи математической физики. М: Наука, 1983.

75. Тамаркин, Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряд. Петроград, 1917.

76. Франкль, Ф. И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся скачком уплотнения. ПММ 20, вып. 2, 1956, с. 196−202.

77. Чабакаури Г. Д. Существование и единственность обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелинейным нелокальным граничным условием. Дифференц. уравнения, 2004, том 40, № 1, с. 77−81.

78. Beilin S. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with nonlocal conditions. Electronic Journal of Differentiol Equations, 2001, T. 2001, p. 1−8.

79. Bouziani, A. Solution forte d’un probleme mixte avec conditions non locales pour une classe d’equations hyperboliques. Bull.Cl.Sci., Acad.Roy.Belg. 1997, № 8, p. 53−70.

80. Byszewski L. Existence and uniqueness of solutions of nonlocal problems for hyperbolic equation. //Journal of Applied Math, and Stochastic Analysis. 1990. Vol.3, № 3. Pp. 163−168.

81. Gordeziani, D., Avalishvili G. On Integral Nonlokal Boundary Value Problems for some Partial Differential Equations. Bulletin of the Georgian national Akademy of Sciences, 2011, № 5, c. 31−37.

82. Cannon, J.R. The solution of heat equation subject to the specification of energy.quaxt.Appl.Math, 1963, T. 21. № 2. P. 155−160.