Сходимость почти всюду рядов Фурье и смежные вопросы

§ 0.1.

Пусть / — определенная на действительной оси 2ттпериодическая ве-щественнозначная интегрируемая по Лебегу на периоде функция, fc.

7 Г.

7 г.

— J f (t) cos kt dt, к = 0,1,2. ж.

7 г.

Ък =.

7 Г.

J f (t) sin ktdt, к = 1,2 ., (0.1.1) 7 г ее коэффициенты Фурье и оо.

—h cos кх + Ьк sin кх) (0.1.2).

2 jfe=i тригонометрический ряд Фурье функции /. Как известно, пая частичная сумма Sn (f, x) ряда (0.1.2) может быть представлена в следующем виде: a If.

5П (/, х) = + VVofc cos fea- + sin kx) = - / ?>n (?)/(z +, 2 pi эт./.

A~i -7Г где sin (n + ½)f nW 2 sin (i/2) ядро Дирихле. Определим также оо ak sin кх — bk cos кх) (0.1.3) k=1 сопряженный ряд ряда (0.1.2). Тогда n-ая частичная сумма Sn (f, x) ряда (0.1.3) представима в виде п.

Sn (f, х) = sin кх — бдcos kx) =.

7 Г ~ J Ai (i)/(®+ *)<&, 7 Г где j, f, cos (t/2) — cos (n + l/2)t 2sin (i/2) сопряженное ядро Дирихле.

Примеры разложения некоторых элементарных функций в ряды по синусам или косинусам кратных дуг были известны еще в XVIII веке. Так разложение.

7 Г — X.

-— = sin х + sin 2х + sm Зж +. упоминается в работах Л. Эйлера в 1755 году (в этом параграфе результаты, для которых не указана ссылка, цитируются по [15]). Представления функций тригонометрическими рядами получались у Эйлера и других математиков того времени с помощью различных методов, зависящих каждый раз от конкретной функции. Были, в частности, заимствованы методы, использовавшиеся при разложении функций в степенные ряды.

Идея о возможности представить в виде суммы тригонометрического ряда произвольную функцию впервые возникла, по-видимому, в 50-х годах XVIII столетия у Д. Бернулли в связи с исследованиями задачи о колебании струны. Основываясь на результатах экспериментов и руководствуясь физическими соображениями, Вернул ли заключил, что решение волнового уравнения д^у 9 д^у а2 2/(M)=2/(U) = 0, в общем случае может быть представлено в виде.

Е°° irkat 7ткх Рк cos —-— sm —j—. fc=l.

Отсюда, фактически, следовало, что произвольная 2-тгпериодическая функция f{x) может быть представлена в виде суммы ряда (0.1.2) с иекоторыми коэффициентами а^, Ьк. Однако, Бернулли не смог указать способа, с помощью которого коэффициенты ряда могли бы быть найдены. За это Бернулли подвергся критике со стороны многих современных ему математиков, которые небезосновательно полагали, что невозможность определить коэффициенты ряда (0.1.2) лишают саму идею такого представления как практической ценности, так и теоретической значимости. Стоит заметить, что Л. Эйлер, являвшийся одним из критиков идеи Бернулли, позднее (в 1777 году) получил интегральное выражение коэффициентов суммы (сходящегося) тригонометрического ряда путем формального почленного интегрирования этого ряда, однако мысли о том, что с помощью такого способа можно получить коэффициенты разложения произвольной функции в ряд (0.1.2), то есть получить формулы (0.1.1), в работах Эйлера нет.

Идея о возможности представления произвольной функции в виде суммы ряда (0.1.2) — (0.1.1) принадлежит Ж.-Б.Фурье и содержится в его работе «Аналитическая теория тепла», представленной в 1807 году. Исследования Фурье в области тригонометрических рядов, как и исследования его предшественников, были продиктованы необходимостью решения конкретных физических, астрономических и других естественнонаучных задач. При этом математическая строгость получаемых результатов этих исследователей мало заботила.

Однако, в начале XIX века в анализе назрела необходимость более точного определения используемых понятий и более строгого обоснования как уже в большом количестве имевшихся старых, так и получаемых новых результатов.

В этой связи возник интерес уже к чисто математической постановке задачи о сходимости рядов Фурье: какие (как можно более общие) условия надо наложить на функцию, чтобы эта функция всюду на периоде представлялась своим рядом Фурье.

По-видимому, первый математически строго обоснованный факт, касающийся сходимости тригонометрических рядов Фурье, был получен в 1829 году Л.Дирихле. Результат Дирихле может быть сформулирован следующим образом: если определенная на отрезке [—7г, 7г] функция /(ж) непрерывна всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, и имеет конечное число точек максимума и минимума, то ее ряд Фурье (0.1.2) -(0.1.1) сходится в каждой точке х? [—7Г, 7г] к полусумме левого и правого пределов функции в этой точкев частности, если функция непрерывна в точке х, то З^/, ж) сходится к /(ж). Дирихле был убежден в том, что это утверждение может быть распространено на произвольные непрерывные функции. Гипотезу о сходимости в каждой точке ряда Фурье произвольной непрерывной функции долгое время пытался подтвердить П. Дюбуа Реймон. В итоге он пришел к противоположному результату: существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в одной точке [28]. Дюбуа Реймон видел, что модернизация его метода позволяет строить функции с рядами Фурье, расходящимися в двух, трех, любом конечном числе точек и даже на всюду плотном множестве.

Появление в самом начале XX века меры и интеграла Лебега привело к появлению новых задач и новых возможностей при изучении рядов Фурье. Поскольку множества расходимости рядов Фурье функций, построенных методом Дюбуа Реймона имели лебегову меру нуль, то задачу о поточечной сходимости рядов Фурье непрерывных и в более общем случае суммируемых (то есть интегрируемых по Лебегу) на [0, 2−7г) функций, стало естественным переформулировать в следующем виде: какие условия нужно наложить на суммируемую функцию, чтобы ее ряд Фурье сходился почти всюду (то есть мера Лебега множества, где он не сходится, равна нулю).

Пусть ц): [0,+оо) —[0,+оо) — неубывающая функция. Обозначим через ф (Ь) = </?(?) ([0,2тг)) множество всех измеримых по Лебегу 2тгпериодических функций / таких, что.

2тг.

J ip (f (t))dt.

Естественность при рассмотрении рядов Фуръе использования класса Х2([0, 2тт)) сделала в 1900;х годах популярной следующую задачу об условиях сходимости рядов Фурье функций из L2: найти как можно более медленно растущую неубывающую последовательность положительных чисел такую, чтобы из сходимости ряда оо.

2wk (a2k + b2k) к=1 следовала сходимость ряда (0.1.2). Числа wk получили название множителей Вейля. Результаты в этой задаче последовательно получали П. Фату ([29], в качестве множителей Вейля можно взять wk = к), Г. Вейль ([55], wk = к*), Е. Гобсон ([34], wk = ке,? > 0), М. Планшерель ([46], wk = log3 к), Г. Харди ([33], wk = log2 к).

Г. Харди также принадлежит следующий результат о поведении на множестве полной меры сумм Фурье произвольных интегрируемых по Лебегу функций [33]: если / Е Ь ([0, 2тт)), то для почти всех х Е [0, 2п).

S"(/, s) = o (lnn). (0.1.4).

Заметим, что оценка (0.1.4), полученная в 1913 году, до сих пор не улучшена, и не доказана ее неулучшаемость (о современных результатах, связанных с (0.1.4) будет упомянуто ниже).

Пусть / Е L ([0,2ir)). Определим тригонометрически сопряженную к / функцию /. Положим.

7 Г = -— J f (x + t) ctg tdt, к где интеграл понимается в смысле главного значения, то есть как Нш^ ^ / +. Как хорошо известно, сопряженная функция / непосредственно связана с сопряженным рядом (0.1.3) функции /: если /(ж) существует для почти всех значений х Е [0, 27г) и / интегрируема по Лебегу, то ряд (0.1.3) является рядом Фурье функции f.

В 1915 году Н. Н. Лузин опубликовал свою диссертацию «Интеграл и тригонометрический ряд» [12] (см. [13]), где, в частности, рассматривал вопрос о существовании сопряженной функции. В [13, с.213−215] установлено, что если / Е Ь2([0, 27г)), то /(&) существует почти всюду и также принадлежит Ь2([0, 27г)).. Отсюда, как нетрудно видеть, следует, что для произвольной д Е ?2([0, 27г)) интеграл тс о (х + а) — а (х — а) 7 .

-^-¿-</а, (0.1.5).

7 г определенный как lirn^ /, существует почти всюду и является функцией из L2([0,27t)). Одним из основных результатов работы [12] является следующий критерий сходимости почти всюду ряда Фурье суммируемой с квадратом функции: для того, чтобы ряд Фурье функции / Е £2([0,2тг)) сходился почти всюду, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение.

7 г f о (х + а) — а (х — а), , lim -—^-L • cos тьа da = 0, (0.1.G) п->со J a 0.

7 г где g[x) = /(ж), а интеграл определен как lim f. Сравнивая (0.1.5) и s^+o е.

0.1.6) и заметив, что интегралы в этих формулах отличаются «. лишь множителем cos па, который принимает положительные и отрицательные значения, равномерно распределяющиеся на области [0, 2-к], когда п стремится к +оо .» [13, с.219], Лузин на основании этого выдвигает гипотезу о том, что ряд Фурье любой функции из ?2([0, 2тг)) сходится почти всюду. То есть, согласно этой гипотезе, в задаче о множителях Вейля можно взять wk = 1 •.

Возвращаясь к задаче об условиях существования сопряженной функции, напомним, что И. И. Привалов [16] обобщил сформулированный выше результат Лузина, доказав существование почти всюду сопряженной функции произвольной / G L ([0,27r)), а затем А. Н. Колмогоров [39] показал, что сопряженная функция f (x) любой суммируемой функции / удовлетворяет условию.

2тг mes{.T G [0, 2тг): |/"| > у} < - [ f (i)dt, у > 0.

У J о.

Если же f? Ьр ([0, 27г)), р > 1, то / также принадлежит Lp{[0,27г)) (М.Рисс [48]).

В 1922 году А. Н. Колмогоров [38]. исследуя проблему Лузина, построил пример суммируемой функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду (о дальнейших результатах в этом направлении см. далее). Как отмечено в [38], построенная функция не принадлежит классу L2([0,27t)). Результатом положительного характера в этой тематике в 20-е годы прошлого столетия явилась оценка, полученная А. Н. Колмогоровым и Г. А. Селиверстовым [41] и А. И. Плеснером [47]: если / Е L2([0,27r)), то = о ((lnn)*) п.в. (0.1.7).

Дж.Литтлвуд и Р. Пэли [45] обобщили оценку (0.1.7) на функции из классов? Р ([0,2тг)), р > 1: если / G Lp ([0,2ti)), то.

Sn (/, s) = o ((lnn)p) п.в. (0.1.8).

Оценка (0.1.8) вплоть до сере/щны 60-х годов прошлого века оставалась наиболее сильным и общим результатом в «положительном» направлении.

10 в изучении проблемы Лузинане было даже известно, у всякой ли непрерывной функции ряд Фурье сходится почти всюду.

§ 0.2.

Справедливость гипотезы Лузина была установлена Л. Карлесоном в 1966 году. В работе [25] с помощью нового метода, были получены следующие результаты: a) если / € Ь (1п+ ?)1+5([0, 2тг)), 6 > 0, то о (1п1пп) п.в. здесь и далее для и > 0 будем полагать 1п+ и = + е)) — b) если / 6 2тг)) при р > 1, то.

5П (/, х) = о (1п1п1пп) п.в. — c) если / 6 Ь2([0, 2тг)), то ряд Фурье функции / сходится почти всюду. Доказательство утверждения а) с подробным изложением первой части метода Карлесона имеется в работе Н. И. Черных [22]. Ч. Фефферманом [31] было предложено другое доказательство утверждения с). Подробное изложение этого доказательства дано в [11]. Недавно М. Лэйси и К. Тиле опубликовали [44] еще одно доказательство теоремы Карлесона (утверждения с)). Тем не менее, имеющиеся доказательства все-таки достаточно сложны как в техническом, так и в идейном плане, поэтому задача поиска более простого доказательства теоремы Карлесона и ее обобщений (о которых речь ниже) остается, на наш взгляд, по-прежнему актуальной.

П.Биллард [24], используя идеи Карлесона, перенес его метод на ряды Фурье по системе Уолша и доказал сходимость почти всюду ряда Фурье-Уолша произвольной функции из Ь2([0,1]). Доказательство теоремы Бил-ларда, принадлежащее Р. Ханту [36], можно найти в книге [3, гл. 9, § 9.2].

В 1968 году Р. Хант [35], развивая метод Карлссона, распространил утверждение о сходимости почти всюду тригонометрических рядов Фурье на функции из классов 27т)), р > 1, и даже для содержащего все эти классы класса L (ln+ L)2([0, 2тг)). Пусть.

M (f, x) = 8vpSn (f, x), х G [0, 27г), п> 1 мажоранта частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции / G £([0,27г)). Обозначим через xf характеристическую функцию произвольного измеримого 27гпериодического множества F: il, xeF, xf (x) = <

О, xi F, через mes F — лебегову меру множества F П [0, 27г). Основным результатом работы [35] является следующая оценка mes {х G [0, 2тг): M (xf, x) > у} < (Вр)ру~р ¦ mes F, (0.2.1) где у > 0, 1 < р < оо, Вр < const • р2/(р — 1). Из (0.2.1) Хант доказал, что.

1) \M (fr)\p<�Р<�оо, feLP ([0,2тг));

2) ||М (/, -)|| 1 < С f |/(ж)|(1п+ f (x))2dx + С, / G L (n+ Ь)2([0, 27г));

7 Г.

3) mes {х G [0, 2тг): M (f, x) > у} < Сехр (-pfc), У > 0, / G L°°([0, 27Г)).

Из утверждений 2) и 1) следует сходимость почти всюду Sn (f, x) к f (x) для функций из классов L (ln+L)2([0, 27г)) и Zp ([0, 2тт)), р > 1, соответственно.

В 1969 году П. Шёлин [49] перенес оценку (0.2.1) на случай мажоранты Mw (f, х) частичных сумм ряда Фурье по системе Уолша. Далее в этой работе Шёлин показал, что путем оптимального выбора числа р для каждого у в оценке (0.2.1) и аналогичной оценке для случая рядов Фурье-Уолша получается оценка mes {х Е, А: M (xf, x) > у} < C^ln • mes .F, 0 < y < 1/e, (0.2.2) где С — абсолютная константа, в качестве M могут быть взяты как М (/, ж) — определенная выше мажоранта частичных сумм тригонометрического ряда Фурье, так и Ми f (x) — мажоранта частичных сумм ряда Уолша, а, А — период [0, 27т) либо отрезок [0,1] соответственно. Приближая произвольные функции / линейными комбинациями характеристических функций и используя (0.2.2), Шёлин установил, что если / принадлежит классу L (ln+ L)(ln+ ln+ L) на периоде [0, 2тт) либо на отрезке [0,1], то тригонометрический ряд Фурье либо соответственно ряд Фурье-Уолша функции / сходится почти всюду.

В 1996 году автором [23] с использованием оценки (0.2.2) для тригонометрического случая было доказано, что более общее, чем в работе [49], условие / G L (ln+L)(ln+ln+ln+L)([0, 2-я-)) также является достаточным для сходимости почти всюду тригонометрического ряда Фурье функции /. Отметим, что при доказательстве в [23] применена конструкция, позволяющая приближать, в частности, частичные суммы тригонометрического ряда Фурье функции / частичными суммами ряда Фурье линейных комбинаций характеристических функций YlakXFk> но при этом функция /, вообще говоря, функциями ]Г) a>kXFk не приближается. Именно за счет достигнутой с помощью этого большей свободы и удалось получить усиление результата Шёлина [49].

В настоящей диссертации метод, использованный в [23], переносится с частичных сумм тригонометрических рядов Фурье Sn (f, x) на случай по.

13 еледовательноетей операторов более общего вида. Из полученной в главе 1 диссертации основной теоремы в качестве следствий вытекают утверждения о том, что если / Е Ь (Ы+ Ь)(Ы+ 1п+ 1п+ Ь) на [0, 2тт) или на [0,1], то тригонометрический ряд Фурье либо, соответственно, ряд Фурье — Уол-ша функции / сходятся почти всюдукак следствие основной теоремы получена также оценка скорости роста частичных сумм тригонометрических рядов Фурье функций из классов, промежуточных между Ь ([0, 27т)) и Ь (1п+?)(1п+1п+1п+?)([0,2тг)).

Отметим, что опубликованный нами в работе [56] результат о сходимости почти всюду рядов Фурье — Уолша функций из 1/(1п+ Ь)(1п+ 1п+ 1п+ ?)([0,1]) позднее был также получен П. Шелиным и Ф. Сориа [51].

Как уже отмечалось, А. Н. Колмогоровым [38] в 1922 году был построен пример функции из класса ?([0, 2тг)), тригонометрический ряд Фурье которой неограниченно расходится почти всюду. Чуть позднее им же [40] была показана возможность построения суммируемой функции с рядом Фурье, расходящимся в каждой точке. Эти примеры Колмогорова послужили идейной основой для получения в дальнейшем многими авторами различных примеров интегрируемых функций с наложенными на них дополнительными условиями и «нехорошим» поведением последовательностей частичных сумм их тригонометрических рядов Фурье, а также рядов Фурье по другим ортогональным системам. Полученные во второй половине 60-х годов прошлого столетия Карлесоном и его последователями результаты в задаче о нахождении как можно более широкого класса такого, что ряд Фурье каждой функции из этого класса сходится почти всюду, пробудили интерес исследователей к получению на основе колмогоровских примеров отрицательных результатов в этой задаче. В. И. Прохоренко [17] и, независимо, Й. Чень [27] построили функции из классов Ь (1п+ 1п+ Ь) е ([0, 2тг)) ,.

О <? < 1, с рядами Фурье, расходящимися почти всюду. (Заметим, что в работе [17] сформулированный результат получен как следствие другого результата — о расходимости ряда Фурье функции с ограничением на интегральный модуль непрерывностиэтот результат будет сформулирован позднее.) К. Тандори [53] доказал, что для любого 0 < е < 1 и любой последовательности положительных чисел An = o ((lnlnn)1-e) существует функция / из класса L (ln+ln+L)e ([0, 27г)), такая что всюду на [0, 2и).

Sn (f, x) Sn (f, x) м sup—-=-boo, sup-г-= -fco. n Лn n.

Отсюда, в частности, следует, что результат Прохоренко-Ченя можно усилить, заменив расходимость почти всюду на расходимость всюду. Позднее В. Тотиком [54, теорема 3] было доказано, что если в некотором классе </?(£)([О, 2тг)) существует функция с тригонометрическим рядом Фурье, расходящимся на множестве положительной меры, то в этом же классе найдется функция, ряд Фурье которой неограниченно расходится всюду. Кёрнер [43] несколько усилил результат работы Тандори [53] в части расходимости: если функция ф: [0,+оо) [0,+оо) удовлетворяет условию ф{и) = o (loglogn) при и —оо, то существует функция из класса Ьф (Ь)([0, 2тг)) с расходящимся всюду рядом Фурье. Другое доказательство этого результата Кёрнера имеется в [21].

Наилучший на сегодняшний день результат, касающийся расходимости на множестве положительной меры тригонометрических рядов Фурье функций из классов ц>(Ь)([0,2-к)) принадлежит С. В. Конягину [8]: если неубывающая функция ф: [0, -f оо) —> [0, -f оо) и последовательность {An}, An > 1, п = 1,2,., удовлетворяют условию ф{п)п — о [^/Ып/ In In nj при п оо, то существует функция / € Ьф{Ь){[0, 27т)) такая, что r Sn{f, x) lim sup -—^-— = оо п-¥оо лп для всех х 6 [0, 27г). Отсюда, в частности, вытекает следующее утверждение: для любой неубывающей функции 9?: [0, Н-оо) —"• [0, +оо), удовлетворяющей условию ф{и) = о (иу/ 1п и/ 1п 1п и^ при и —"• оо, найдется функция из класса ср (Ь){[0,27т)) такая, что ее ряд Фурье неограниченно расходится всюду на [0,2тг). Для любого класса <�р (Ь)([0, 27г)), «промежуточного» между Ь (1п+ 1п+ ([0, 2-к)) и.

Ь (1п+ Ь)(п+ 1п+ 1п+ Ь)([0, 2тг)), ответ на вопрос, существует ли в таком классе функция с расходящимся на множестве положительной меры (а значит и всюду) рядом Фурье или для каждой функции из этого класса ее ряд Фурье сходится почти всюду, к настоящему времени неизвестен.

Наиболее сильный в настоящий момент результат, касающийся расходимости на множестве положительной меры рядов Фурье-Уолша, принадлежит С. В. Бочкареву [2]: если ф: [0,+оо) —> [0,+оо) — неубывающая функция, удовлетворяющая условию ф (и) = о и^ при и —ь сю, то существует функция /? Ьф (Ь)([0,1]), ряд Фурье-Уолша которой расходится всюду на [0,1]. Таким образом, «зазор» между наилучшими положительным и отрицательным результатами в случае рядов Уолша несколько меньше, чем в тригонометрическом случае.

Пусть / е Ь ([0, 27г)). Обозначим через модуль непрерывности функции / в метрике £([0,27г)):

2тг вир / ^{х + Ъ) — ?(х)<1х. h<5J О.

Пусть и: [0,+оо) —у [0,+со) — произвольный модуль непрерывности, то есть непрерывная, неубывающая, полуаддитивная, равная в нуле нулю функция (см., напр., [10, § 7.1]). Определим множество Щ следующим образом:

Щ = {/ е Ц[0, 2тг)): Ц/, 5) г = 0(ш (6))}.

Заметим, что если и из2 — два модуля непрерывности, и в некоторой окрестности нуля = 0(ш, то С Н" 2 .

А.Зигмунд [5, т.2, гл. XIII, теорема (3.10)] доказал, что если си удовлетворяет условию & < оо о это условие эквивалентно сходимости ряда Хл^ ш (к~1)/к), то тригонометрический ряд Фурье функции / б Щ сходится почти всюду. Несмотря на простоту доказательства (с помощью теоремы Фубини тривиально показывается, что для удовлетворяющей условиям теоремы функции / почти всюду выполняется условие Дини о см. напр. [5, т.1, гл. 2, п. 2.6])), этот результат Зигмунда до сих пор не улучшен (в том смысле, что не распространен на более широкие классы Щ), и не доказана его неулучшаемость.

Из результата Зигмунда, в частности, следует, что если модуль непрерывности ш удовлетворяет условию ш{8) = 0((1п (1/?))-1е:), е > 0, то ряд Фурье любой функции / € Щ сходится почти всюду. В связи с последним утверждением в [5, т.2, гл. XIII, с.258] была сформулирована проблема: останется ли утверждение верным при е — 0? Исследуя эту проблему Зигмунда, В. И. Прохоренко [17] построил пример функции ^ е Д[0,2тг)) такой, что и (Г, 5)1 = О^Ып^/Д))" 1), и ее ряд Фурье расходится почти всюду. Отсюда с помощью одной теоремы вложения П. Л. Ульянова [20, теорема 2 (следствие 4)] Прохоренко получил уже упоминавшийся выше результат о существовании функции из класса £(1п+ 1п+ Ь) е ([0,2тг)), 0 < е < 1, с расходящимся почти всюду рядом Фурье.

В настоящей диссертации в главе 2 получено значительное усиление первого из только что сформулированных результатов Прохоренко [17]. А именно, построен пример функции F с расходящимся почти всюду рядом Фурье и интегральным модулем непрерывности, удовлетворяющим условию со (F, 5)! = О (yinln (l/<5)/ln (l/?)). При этом наше доказательство существенно опирается на основную лемму работы [8].

Пусть Л = {Ап}^ — последовательность положительных чисел, / 6 L ([0,27r)). Положим.

М (/, A>a0 = sup|5n (./>a-)l, *е[0,2тг). neN лп.

В случае Лп = 1, если ряд Фурье функции / сходится почти всюду, в частности, если / (Е Н", где со удовлетворяет условию < оо, то мажоранта M (f,{l}, x) почти всюду конечна. Для произвольной функции / Е L ([0,27r)) конечные значения почти во всех точках принимает мажоранта М (/, {Inn}, х). Это следует из оценки Г. Харди (0.1.4). Однако, функция М (/, (1п?г}, ж) при этом может быть не интегрируемой: в [5, гл. ХШ, п.2] построен пример функции F 6 L ([0,27r)), у которой M (F, {Inn},-) .

В настоящей диссертации (в главе 2) рассматривается задача о наиболее общих условиях на модуль непрерывности со, достаточных для того, чтобы для всех / 6 Щ мажоранта М (/, А, •) была интегрируемой. Установлено (теорема 2.2), что при некоторых разумных условиях на последовательность Л = {Ап}^ условие.

00 к=1 является достаточным для того, чтобы для каждой функции /? Щ мажоранта М (/, Л, •) была интегрируема. Показано, что условие (0.2.3) при соответствующих условиях на Л является неулучшаемым (теорема 2.3):

18 если ряд в левой части (0.2.3) расходится, то существует функция F? Н" такая, что мажоранта Л, •) не интегрируема.

Хорошо известно [39], что для произвольной функции /? ?([0, 27т)) и для 0 <? < 1.

2тг 2тг.

J |5П (/, х) — ?(х)Ых 0, J 1?"(./" - /(х)Ых 0 при п оо. о о.

Отсюда следует, что тригонометрический ряд Фурье произвольной функции / 6 Ь ([0, 2тг)) сходится по мере. Значит, последовательность частичных сумм ряда Фурье любой иитегрируемой функции имеет сходящуюся почти всюду подпоследовательность.

Однако, не существует такой возрастающей последовательности натуральных чисел {пк}^-1, чтобы для любой / 6 Д[0,27г)) подпоследовательность х) сходилась бы почти всюду: для любой возрастающей последовательности {те^}^ С N найдется функция /? Ь ([0,27т)) такая, что 5Па.(/, х) расходится почти всюду [32] (всюду [54]). Недавно С. В. Конягин [9] усилил результат В. Тотика [54], показав, что для любой возрастающей последовательности с N и любой неубывающей функции </?: [0, оо) [0, оо), удовлетворяющей условию <-р (и) — о (ита.Ыи), и оо, найдется функция Р? <�р (Ь) такая, что подпоследовательность 3Пк (Р, х) неограниченно расходится всюду.

Поведение подпоследовательностей сумм Фурье, в частности, условия сходимости почти всюду подпоследовательностей сумм Фурье интегрируемых функций в терминах величин наилучших приближений этих функций тригонометрическими полиномами в пространстве £([0,27г)), изучались К. И. Осколковым [14]. Пусть Еп{}) — величина наилучшего приближения функции / тригонометрическими полиномами порядка не выше п в пространстве Ь ([0,2тг)), — возрастающая последовательность натуральных чисел, ф (и) — положительная невозрастающая на (0,1] функция.

19 такая, что 1 и оо. (0.2.4) иф{и) о.

Тогда [14, теорема 2] для любой /? ?([0, 27г)) при почти всех х е [0, 27т) X) — /(х) = о (ЯПк (/^ (Я&bdquo-4 (/)) 1п к).

В частности, если оо.

ЕЕПкЦ). к=1 к то подпоследовательность (/, х) сходится почти всюду, а если / — произвольная функция из Ь ([0, 2тг)), то.

Япк (/, х) = о (пк) п.в. (0.2.5).

Из сформулированных результатов работы [14] с помощью неравенства Джексона Еп (/) < Са-(/, 1/тг)х непосредственно вытекают следующие утверждения.

A) Пусть {пк}1}?^ — возрастающая последовательность натуральных чисел, ф (и) — положительная функция, невозрастающая на [0,1] и удовлетворяющая условию (0.2.4), — некоторый модуль непрерывности. Тогда для любой функции /? Щ (/.")-/(*) = «(«(?) *(«(?)) ь*) п.в.

B) Пусть возрастающая последовательность с N и модуль непрерывности ш удовлетворяют условию оо ш к к-1 оо.

Тогда для любой функции /? Щ подпоследовательность 5Пд. (/, х) сходится почти всюду.

Отметим, что утверждение В) и оценка (0.2.5) в частном случае п^ = к превращаются соответственно в приводившийся выше результат Зигмунда [5, гл. XIII, теорема (3.10)] и классическую оценку Харди (0.1.4).

В настоящей диссертации (во второй главе) рассматривается задача о границах возможного усиления утверждений А) и В) в случае, когда последовательность {пд-}^ растет достаточно быстро, в частности, когда она лакунарная: существует р > 1 такое, что щ+i/rik > р, к 6 N. В этой же главе при некоторых условиях на функцию tp: [0, +оо) —)¦ [0, +оо) и модуль непрерывности ш построен пример функции с расходящимся почти всюду тригонометрическим рядом Фурье и принадлежащей классам.

Перейдем теперь к рассмотрению многомерного случая, точнее, к обзору результатов, касающихся поведения на множестве полной меры кратных тригонометрических рядов Фурье. Будем в основном придерживаться обозначений, принятых в [4].

Пусть d — натуральное число, Zd — целочисленная решетка в M. d, к = (кг, ., kd) eZd, х = (жь ., xd) е Rd, кх = kxxi +. + kdxd, / — определенная на Rd, 2-кпериодическая по каждой переменной и интегрируемая по Лебегу на [0, 2rc) d функция. Ряд.

X] akelkx, (0.2.6) kezd где i J f (t)eiktdt,.

— Tr, 1i) d называется кратным тригонометрическим рядом Фурье функции / .

Для целочисленного вектора n = (ni, п-2, ¦., nd) с неотрицательными координатами п^, 1 < у < (I, сумму.

5&bdquo-(/, х)= ^ аке гкх будем называть п-ой прямоугольной частичной суммой ряда (0.2.6) или пой прямоугольной суммой Фурье.

Пусть В — некоторое непустое подмножество множества первых с1 натуральных чисел: В = {г,. , Г[} с {1,.. ., с1]. Ряд называется сопряженным к ряду (0.2.6) по переменным, номера которых входят во множество В, или Всопряженным, а п-я прямоугольная частичная сумма 5П), д (/, х) ряда (0.2.7) определяется аналогично п-й прямоугольной частичной сумме ряда (0.2.6). При (I = 1 ряды (0.2.6) и (0.2.7) совпадают соответственно с обычным одномерным тригонометрическим рядом Фурье (0.1.2) 2ттпериодической функции и его сопряженным рядом (0.1.3). В случае, когда множество В пустое, будем считать, что ряд (0.2.7) совпадает с рядом (0.2.6). Вообще, всюду далее произведение П, в котором множество сомножителей пусто, будем по определению считать равным единице.

Пусть с1 > 2. Ряд (0.2.6) (ряд (0.2.7)) называется сходящимся по кубам (в случае <1 = 2 — по квадратам) в точке х 6 [0, 27г)^, если последовательность кубических частичных сумм (то есть последовательность х) = 5П (/, х) (х) = 5"-5(/, х)), где п = (п, п,., п)) имеет предел при п со .

Пусть (р: [0, +оо) —> [0, +оо) — неубывающая функция. Обозначим, как и в одномерном случае, через </?(?)([0,2^)^) множество всех определенных на множестве [0, 2тт) с1 и измеримых по Лебегу функций /, удо.

0.2.7).

7=1 влетворяющих условию.

I <�р (№)(И <оо.

0,2тг)'г.

Сходимость почти всюду по квадратам рядов Фурье функций /? ?2([0, 2тг)2) была установлена Н. Р. Тевзадзе [18]. Ч. Фефферман [30] распространил этот результат на функции / Е Ьр ([0,, р > 1, с? > 2, а затем П. Шёлин [50] доказал, что если функция / принадлежит классу 1/(1п+ Ь) й (1п+ 1п+ Ь)([0,, то ее ряд Фурье сходится по кубам почти всюду.

Наилучший на сегодня результат, касающийся расходимости по кубам на множестве положительной меры кратных рядов Фурье функций из </?(?)([0, 2-кУ), с/ > 2, также, как и в одномерном случае, принадлежит С. В. Конягину [42]: для любой функции <�р (и) = о (гг (1п1п1пи) при и —ь оо существует функция /? ср (Ь)([0,27г)а) с расходящимся всюду по кубам рядом Фурье.

В настоящей диссертации (в главе 3) рассматриваются последовательности частичных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье (кратных прямоугольных сумм Фурье) несколько более общего вида, чем кубические, а именно, последовательности 5П-,(/, х) такие, что векторы щ = (п^, ., п^) удовлетворяют условию.

•п?к = а5тк + 0{1), /сем, 1<3<(1, (0.2.8) где, а = («1,., а^ — вектор с положительными координатами, а {тк}&-=1 ~~ бесконечно большая последовательность натуральных чисел. Доказана теорема, позволяющая переносить результаты о сходимости почти всюду одномерных рядов Фурье функций из классов <£>(С)([0, 2ж)) на случай сходимости последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье вида (0.2.8) для функций из классов (/э (?)(1п+ Ь) сг1([0,2тг)(1). Отсюда.

23 и из нашего результата [23] о сходимости почти всюду тригонометрического ряда Фурье любой функции из класса Ь (1п+ 1/)(1п+ 1п+ 1п+ 2у)([0, 2тг)) вытекает сходимость почти всюду последовательностей (/, х) с вида (0.2.8) для функций из Ь (Ы+ £)<*(1п+ 1п+ 1п+ ?)([0, 2тг)^). В частном случае кубических частичных сумм это является усилением результата Шёлина [50].

В третьей главе диссертации также рассматривается задача о скорости роста на множестве полной меры последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье. Г. А. Карагулян [6, следствие 4] получил следующий аналог оценки Осколкова (0.2.5) для двумерного случая: для любой последовательности щ = (п, п|) и для каждой функции /? Ып+ Ь ([0, 2-к)2) х) = о (1п2 к) п.в. (0.2.9).

Нами показано, что в случае, когда отношения координат векторов щ близки к постоянным по к, точнее, когда щ. удовлетворяет (0.2.8), оценка (0.2.9) может быть улучшена: для любой функции /? ЦЫ+ ЬУ^ЦО^ттУ), с/еМ, х) = о (1п к) п.в.

Отметим в заключение, что описанные результаты главы 3 доказаны одновременно и для (кратных) рядов Фурье, и для всех их сопряженных рядов.

§ 0.3.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации по главам.

1. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ. 1961. 936 с.

2. Бочкарев C.B. Всюду расходящиеся ряды Фурье по системе Уолша и мультипликативным системам // Успехи мат. паук. 2004. Т.59, № 1. С.103−124.

3. Голубов Б. И., Ефимов A.B., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. М.: Наука. 1987. 344 с.4J Дьяченко М. И. Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов // Успехи мат. наук. 1992. Т.47, № 5. С.97−162.

4. Зигмунд А. Тригонометрические рядыв 2 т. М.: Мир. 1965. Т.1. 616 с. Т.2. 538 с.

5. Карагулян Г. А. Преобразование Гильберта и экспоненциальные интегральные оценки прямоугольных частичных сумм двойных рядов Фурье // Мат. сборник. 1996. Т. 187, № 3. С.55−74.7j Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999. 560 с.

6. Конягин C.B. О расходимости всюду тригорюметрических рядов Фурье // Мат. сборник. 2000. Т. 191, № 1. С. 103−126.

7. Конягин С. В. О расходимости всюду подпоследовательностей частных сумм тригонометрических рядов Фурье // Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т.11, № 2. С. 112−119.

8. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976. 320 с.

9. Лукашенко Т. П. Сходимость почти всюду рядов Фурье функций, суммируемых с квадратом, М.: изд-во МГУ, 1978. 109 с.

10. Лузин H.H. Интеграл и тригонометрический ряд. М. 1915. 242с.

11. Лузин H.H. Интеграл и тригонометрический ряд. M.-JI.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1951. 550 с.

12. Осколков К. И. Подпоследовательности сумм Фурье интегрируемых функций // Труды МИАН. Т. 167. 1985. С. 239−260.

13. Паплаускас А. Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега. М.: Наука, 1966. 276 с.

14. Привалов И. И. Интеграл Коши, Саратов, 1919, 96 с.

15. Прохоренко В. И. О расходящихся рядах Фурье // Мат. сборник. 1968. Т. 75 (117), № 2. С. 185−198.

16. Тевзадзе Н. Р. О сходимости двойного ряда Фурье функции, суммируемой с квадратом // Сообщ. АН ГССР. 1970. Т. 58, № 2. С. 277−279.

17. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара // Мат. сборник. 1964. Т. 63 (105), № 3. С. 356−391.

18. Ульянов П. Л. Вложение некоторых классов функций Н// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т. 32, № 3. С. 649−686.

19. Хеладзе Ш. В. О расходимости всюду рядов Фурье функций из класса Lip (L) // Труды Тбилисского математического института. Т. 89. 1988. С.51−59.

20. Черных Н. И. О поведении частичных сумм тригонометрических рядов Фурье // Успехи мат. наук. 1968. Т.23, № 6. С.3−50.

21. Antonov N.Yu. Convergence of Fourier scries // East Journal on Approximations. 1996. V.2, № 2. P. 187−196.

22. Billard P. Sur la covergence presque partout des series de Fourier Walsh des fonctions de l’espace L2(0,1). Studia Math! 1967. V.28. P. 363−388.

23. Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta math. 1966. V.116, № 1−2. P.135−157.

24. Chen Y.M. On Kolmogoroff’s divergent Fourier series // Archiv der Mathematik. 1963. V. 14, № 2. P. 116−119.

25. Chen Y.M. An almost ewerywhere divergent Fourier series of class L (log+ log+ L)1e // J. London Math. Soc. 1969. V. 44. P. 643−654.

26. Du Bois-Reymond P. Untersuchungen uber die Convergenz und Divergenz der Fourierschen Darstellungsformen // Abhandl. Akad. Wissensch., Munchen. 1876, V.12. P. 1−103.

27. Fatou P. Series trigonometriques et series de Taylor // Acta. Math. 1906. V.30. P.335−400.

28. Fefferman C. On the convergence of multiple Fourier series // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 77, № 5. P. 744−745.

29. Fefferman C. Pointwise convergence of Fourier series // Ann. Math. 1973. V.98. P.551−571.

30. Gosselin R. P. On the divergence of Fourier series // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V.9, № 2. P. 278−282.

31. Hardy G.H. On the summability of Fourier series // Proc. London Math. Soc. 1913. V.12. P.365−372.

32. Hobson E.W. On the convergence of series of orthogonal functions // Proc. London Math. Soc. 1913. V.12. P.297−308.

33. Hunt R.A. On the convergence of Fourier series // Orthogonal expansions and their continuous analogues. SIU Press, Carbondale, Illinois. 1968. P.235−255.

34. Hunt R.A. Almost everywhere convergence of Walsh-Fourier series of L2 functions // Actes Congr. int. mathematiciens, 2, 1970. Paris. 1971. P.655−661.

35. Hunt R.A. An estimate of the conjugate function // Stud. Math. 1972. V.44. P.371−376.

36. Kolmogoroff A. Une serie de Fourier Lebesgue divergente preque partout // Fund. math. 1923. V. 4. P. 324−328.

37. Kolmogoroff A. Sur les fonctions harmoniques conjuguees et les series de Fourier // Fund. math. 1925 V.7. P.24−29.

38. Kolmogoroff A. Une serie de Fourier Lebesgue divergente partout // C. r. Acad. sei. Paris. 1926. V. 183. P. 1327−1329.

39. Kolmogoroff A., Seliverstoff G. Sur la convergence des series de Fourier // Rend. Acad. Naz. Lincei. 1926. V.3. P.307−310.

40. Konyagin S.V. On divergence of trigonometric Fourier series over cubes // Acta Sei. Math. (Szeged). 1995. V.61. P.305−329.

41. Korner T.W. Ewerywhere divergent Fourier series // Colloq. Math. 1981. V. 45, № 1. P. 103−118.

42. Lacey M., Thiele C. A proof of boundedness of the Carlcson operator // Mathematical Research Letters. 2000. V.7. P. 361−370.

43. Littlewood J.E., Paley R.E.A.C. Theorems on Fourier series and power series // (1) Journal London Math. Soc. 1931. V.6. P. 230−233. (11) Proc. London Math. Soc. 1936. V.42. P.52−89, (111) Proc. London Math. Soc. 1937. V.43. P.105−126.

44. Planclierel M. Sur la convergence des series de fonctions ortogonales // C. r. Acad. sei. Paris. 1913. V.157. P.539−541.

45. Plessner A. Uber Konvergenz von trigonometrischen Riehen // Journal fur reine und angew. Math. 1926. V.155. P.15−25.

46. Riesz M. Sur les fonctions conjuguees // Mathematische Zeitschrift. 1927. V.27. P.218−244.

47. Sjolin P. An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh-Fourier series // Arkiv for mat. 1969. V.7. P.551−570.

48. Sjolin P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv for mat. 1971. V. 9,№ 1. P. 65−90.

49. Sjolin P., Soria F. Remarks on a theorem by N.Yu.Antonov // Studia math. 2003. V.158. № 1. P.79−96.

50. Stein E.M. On limits of sequences of operators /'/ Annals of Math. 1961. V.74, № 1. P.140−170.

51. Tandori K. Ein Divergenzsats fur Fourierreihen // Acta Sei. math. 1969. V. 30. P. 43−48.

52. Totik V. On the divergence of Fourier series// Publ. Math. (Debrecen). 1982. V.29, № 3−4. P. 251−264.

53. Weyl H. Uber die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunctionen fortschreiten // Math. Ann. 1909. V.67. P.225−245.

54. Antonov N.Yu. Conditions for the finiteness of majorants for sequences of operators and convergence of Fourier series // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl.l. 2001. P. S1-S19.

55. Антонов Н. Ю. О сходимости почти всюду по кубам кратных тригонометрических рядов Фурье // Известия РАН. Серия математическая. 2004. Т. 68, № 2. С. 3−22.

56. Антонов Н. Ю. Интегрируемость мажорант сумм Фурье и расходимость рядов Фурье функции с ограничениями на интегральный модуль непрерывности // Матем. заметки. 2004. Т. 76. № 5. С.651−665.

57. Антонов Н. Ю. О скорости роста последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье // Труды Института математики и механики. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. Т. 11, № 2. С. 10−29.

58. Антонов Н. Ю. О расходимости подпоследовательностей сумм Фурье функций с ограничениями на интегральны и модуль непрерывности // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, № 1. С.12−26.

59. Антонов Н. Ю. О сходимости почти всюду последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье // Труды Института математики и механики. 2008. Т.14, № 3. С. 3−18.

60. Антонов Н. Ю. Расходящиеся почти всюду подпоследовательности сумм Фурье функций из ip{L) ПЩ // Мат. заметки. 2009. Т.85, № 4. С. 502−515.