Определение среднестатистических показателей

Задача 17.

Определите среднюю урожайность картофеля в регионе по данным о:

а) посевной площади и валовом сборе;

б) посевной площади и урожайности;

в) валовом сборе и урожайности.

Объясните, как определена форма средней величины.

а) при определении средней урожайности картофеля в регионе по данным о посевной площади и валовом сборе используем формулу средней арифметической

w (x*f) — валовый сбор;

fi — площадь.

Х ср =(20 550+14840+9810)/ (139,80+102,34+63,29)= 148

б) по данным по посевной площади и урожайности используем формулу средней арифметической взвешенной:

xiурожайность по области;

fi — посевная площадь по области.

Х ср =(139,80*147+102,34*145+63,29*155)/(139,80+102,34+63,29)= 148

в) по данным о валовом сборе и урожайности используем среднюю гармоническую взвешенную:

хi — урожайность;

w — валовый сбор.

Х ср =(20 550+14840+9810)/(20 550/147+14 840/145+9810/155) = 148

Задача 27.

В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена 10%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено следующее распределение деталей по затратам времени:

1. На основании этих данных вычислите: средние затраты времени на изготовление одной детали, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

2.С вероятностью 0,954 определить:

а) предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;

б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышала 1 минуты.

Решение:

Для расчетов составим таблицу.

1) средние затраты времени на изготовление одной детали рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной, предварительно выбрав середину интервала веса:

=2530/100= 25,3

Средние затраты времени на изготовление одной детали составили 25,3 мин.

2) дисперсию и среднее квадратическое отклонение рассчитаем по формулам:

— дисперсия у² = ((x_i— x_ср)²* f_i) / У f_i

у² = 1331/100 =13,31

— среднее квадратическое отклонение у = ?у² = v 13,31 = 3,65

3) коэффициент вариации рассчитаем по формуле

н = у / х_ср *100%

н = 3,65/ 25,3 * 100 = 14 (%)

н = 14%

Коэффициент вариации показывает однородность выборки. Если он ниже 35%, выборка однородная, как и в данном случае.

4) Рассчитаем с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе. Используем для расчета формулу средней ошибки выборочной средней м _х = v у²_х /n (1-n/N),

где у²_х — дисперсия изучаемого признака,

n — численность выборки,

N — число единиц в генеральной совокупности,

n/N = 0,1 (десятипроцентное).

м _х = v у²_х /n (1-n/N) = v13,31/ (100*(1−0,1)) = 0,3

Предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле

? _х = t * м _х,

где t — коэффициент доверия, при вероятности 0,954 равен 2

? _х = t * м _х = 2*0,3= 0,6

Итак, средние затраты времени на изготовление одной детали находится в пределах х_ср±? _х, или 25,3 ± 0,6 или от 24,7 до 25,9 мин.

б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы

предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не

превышала 1 минуты, рассчитаем по формуле:

n = (2²*13,31²*1000) / (1² * 1000+2²*13,31²) = 414

Численность выборочной совокупности, где предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышает 1 минуты составит 414 деталей.

Задача 37.

Имеются данные о среднедушевых доходах населения области за 1993;2002 гг. (тыс. руб.) в сопоставимых ценах:

Требуется выявить основную тенденцию среднедушевых доходов населения области 1993;2002 гг.:

1) методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней;

2) методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой;

3) Используя результаты п. 2, дайте прогноз на 2003 год.

4) Охарактеризуйте за 1993;2002 гг. среднегодовой абсолютный прирост и темп прироста доходов.

Решение.

1) выявим тенденцию методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней по формуле:

2) выявим тенденцию методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой вида:

=а+ b*t

Произведем необходимые вычисления в таблице, обозначив время t.

Решим систему уравнений вида:

а* n+ b? t= ?у

а? t+ b? t² = ?у* t

Подставим рассчитанные значения

10 *а +b*55 = 1300

a*55+b*385 =7857

Рассчитаем параметры а, b по формулам

b=

а = ;

b =(10*7857−55*1300)/(10*385−55*55)= 8,5697

а = 130−8,5697*5,5 = 82,8667

Рассчитанное уравнение регрессии имеет вид У_t = 82,8667+8,5697*t

Для проверки его правильности рассчитаем выравненные значения у.

?=? у, следовательно, уравнение рассчитано верно.

Представим графически полученные выше расчеты.

Прогноз на 2003 год составит:

У₁₁ = 82,8667+8,5697*11=177

4) Среднегодовой абсолютный прирост за 1993;2002 гг. рассчитаем по формуле:

?ср = (Уn-У₁) / (n-1)

?ср = (164−100)/9= 7

Среднегодовой темп роста рассчитаем по формуле

n -1________

Тр (ср) =v Y_i /Y₁ *100%

10 -1________

Тр (ср) =v 164 /100 *100% = 105,1

Задача 47.

Имеются следующие данные:

Рассчитайте:

а) индекс физического объема реализации;

б) индекс цен и индекс товарооборота.

Разложите общую сумму прироста товарооборота по факторам. Сделайте выводы.

Вычислим:

а) индекс физического объема реализации по формуле

= 1350/1312,5=1,029, или 102,9%

Уpq = (0,5*1500+6300*1,2+2500*2,45)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=

=14 435/10540=1,3695

Физический объем реализации увеличился на 36,95%.

б) Индекс цен рассчитаем по формуле

Y р =? р0q1*iр /? р0q1

Y р = (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1500*0,5+6300*1,2+2500*2,45)

=13 125/14435 = 0,909, или 90,9%

В среднем цены снизились на 9,1%.

Индекс товарооборота рассчитаем по формуле

= (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=

= 13 125/10540=1,245, или 124,5%

Товарооборот по трем видам увеличился на 24,5%.

Прирост товарооборота всего составил:

13 125−10 540 = 2585

Изменение за счет увеличения физического объема:

14 435−10 540=3895

Изменение за счет снижения цен:

13 125−14 435 = -1310

ИТОГО: 3895−1310 = 2585

Задача 57.

Имеются следующие данные о реализации сельскохозяйственных продуктов на колхозных рынках двух городов в сентябре месяце:

1. Для города «А» определите:

1) индекс товарооборота;

2) общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение цен);

3) общий индекс физического объема товарооборота (количества

проданных товаров);

Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.

2. Для двух городов вместе (по картофелю) вычислите:

индекс цен переменного состава (изменение средней цены);

индекс цен постоянного состава (среднее изменение цен);

индекс структурных сдвигов.

Решение:

Произведем дополнительные расчеты и представим в таблице

1.1) Индекс товарооборота для города «А» рассчитаем по формуле

= 1320/916=1,441, или 144,1%

Товарооборот по обоим видам в связи с увеличением цен увеличился на 44,1%.

2) общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение цен) рассчитаем по формуле

Y р =? р1q1 /? р0q1

Y р =1320 /804,4=1,641, или 164,1%

В среднем цены увеличились на 64,1%.

3) общий индекс физического объема товарооборота (количества

проданных товаров) по формуле

= 804,4/916=0,878, или 87,8%

В среднем объем снизился на 12,2%.

Взаимосвязь индексов исчисляется: Y рq = Y р * Y q

Y рq = 1,641*0,878=1,441

2. Для двух городов вместе (по картофелю) вычислим:

Индекс цен переменного состава (изменение средней цены) рассчитаем по формуле

Yпер.сост. =? р1q1: ? р0q0

?q1 ?q0

Yпер.сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/ ((1,2*180+0,7*282)/(180+282))=2,431

Индекс цен постоянного состава (среднее изменение цен);

Yпост.сост. =? р1q1: ? р0q1

?q1 ?q1

Yпост.сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/ ((1,2*162+0,7*300)/(162+300))=2,485

Индекс структурных сдвигов рассчитаем по формуле

Y стр.сдв. =? р0q1: ? р0q0

?q1 ?q0

Yстр.сост. =((1,2*162+0,7*300)/(162+300))/ ((1,2*180+0,7*282)/(180+282))= 0,978