Определение устойчивости нелинейной системы
Задача 3. Проверить выполнение достаточного условия абсолютной устойчивости системы при следующих значениях параметров системы: Т1=NВ с, Т2=NВ/2 с, ?1= NВ/1,5, ?2=NВ/10, коэффициент передачи линейной части системы kл=4, коэффициент усиления нелинейного звена kн=c/b=NВ/5 (рисунок 6). Определить граничное значение коэффициента k=kлkн, где NВ — номер варианта. Рисунок 5. Фазовый портрет Вывод… Читать ещё >
Определение устойчивости нелинейной системы (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН КАРАГАНДИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА «ЭЛЕКТРОПРИВОД И АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА По дисциплине
«ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ»
Вариант № 6
Выполнил:
ст. группы зАиУ-10С Югай М.С.
г. Темиртау 2013 г.
Задача 1. Составить нелинейные дифференциальные уравнения следящей системы (рисунок 1)
Рис. 1. Структурная схема следящей системы.
Исходные данные:
Т0=Nв/10=6/10=0,6;
k1=Nв=6;
k2=Nв*2=6*2=12;
k3=Nв/2=6/2=3
k0=Nв*1,5=6*1,5=9;
koc=Nв*2,5=6*2,5=15.
Решение Уравнение чувствительного элемента:
aw1=k1*v;
v=v1-v2;
aw1=k1*(v1-v2)
Уравнение релейного усилителя:
u=F (aw); при koc = 0
aw=aw1-awoc
Уравнение линейного усилителя:
?p=k2u;
Уравнение исполнительного механизма:
?=k3*?
Уравнение редуктора:
(T0p+1)*v2=k0*?
Уравнение обратной связи (тахогенератор):
awoc=koc*?
Выражаем относительно выходной переменной aw:
=
Задача 2. Построить фазовый портрет системы Рисунок 2.
Данные:
Т12=Nвар/10=6/10=0,6с;
Т2= Nвар/2=6/2=3с;
k= Nвар=6;
с=2.
Уравнения замкнутой нелинейной системы:
при х2>0 (1)
при х2<0 (2)
Заменяем: x2 = x
(0,62p2 + 3p +1) * x = -6 * 2
(0,36р2 + 3р + 1) * x = -12
Заменяем:
p =
(+1) x = -12
Заменяем:
; .
36 ydy + 3y + x = -12 => 0,36 + 3y + x = -12
Переносим x на правую сторону:
+ 3y = -12 — x
Переносим dy на правую сторону:
dx =
Интегрируем:
x = ln (- 3 — 12 — x) + C1
x = ln (- 3 + 12 — x) + C2
Упрощаем:
x = 0,18 y2 ln (- 3 — 12 — x) + C1
x = 0,18 y2 ln (- 3 + 12 — x) + C2
Рисунок 5. Фазовый портрет Вывод: согласно фазовому портрету, данная система является устойчивой, т.к. изображающая точка, независимо от ее начального положения, двигаясь по фазовой траектории, приходит к точке покоя (точкой покоя считается изолированная особая точка с координатами у = 0, dу/dt = 0).
Задача 3. Проверить выполнение достаточного условия абсолютной устойчивости системы при следующих значениях параметров системы: Т1=NВ с, Т2=NВ/2 с, ?1= NВ/1,5, ?2=NВ/10, коэффициент передачи линейной части системы kл=4, коэффициент усиления нелинейного звена kн=c/b=NВ/5 (рисунок 6). Определить граничное значение коэффициента k=kлkн, где NВ — номер варианта.
Рисунок 6.
Исходные данные:
Т1=Nв=6с;
Т2=Nв/2=6/2=3с;
?1=Nв/1,5=6/1,5=4;
?2=Nв/10=6/10=0,6;
kл=4;
kн=c/b=NВ/5=6/5=1,2
Решение Коэффициент передачи разомкнутой системы:
k=kл*kн=4*0,4 = 4,8 отнесём к нелинейному звену.
Точка на вещественной оси:
1/k=1/1,6=0,625
Тогда частотная передаточная функция разомкнутой системы будет равна:
Подставляем значения и перемножаем:
В знаменателе раскрываем скобки, чтобы избавиться от j в знаменателе (вычисления опущены). Результат:
Разделяем вещественную и мнимую части:
Для построения видоизмененной частотной характеристики (модифицированный годограф), необходимо умножить мнимую часть на? T0, где T0 =1с — нормирующий множитель:
Вычисляем ряд значений в Excel и строим модифицированный годограф таким образом, чтобы крайняя левая точка вещественной оси соответствовала -1/k=-¼, 8=-0,2 (рисунок 8). Через эту точку можно провести прямую Попова так, что вся построенная характеристика будет располагаться справа от неё. Следовательно, данная система будет абсолютно устойчивой при заданном k =4,8, если статическая характеристика нелинейного звена целиком располагается в секторе (0, k). Этот сектор заштрихован на рисунке 9.
Рисунок 8. Характеристика М*(?)=f (В*(?)).
Рисунок 9.
Граничное значение коэффициента передачи kгр=1/0,8=1,25.
Задача 4. Исследовать устойчивость состояния равновесия системы (рис. 10), если заданы параметры линейной части системы k1=NB с-1, Т1=NB/10 с и статическая характеристика нелинейного звена, для которой b1=NB/10, b2=NB/7, k=tg?=NB, где NВ — номер варианта.
Рисунок 10.
Исходные данные:
k1=NВ=6 c-1;
Т1=Nв/10=6/10=0,6 с;
b1= Nв/10=6/10=0,6;
b2= Nв/7=6/7=0,86;
k=tg?=NВ=6
Решение Амплитудно-фазовая характеристика линейной части:
Избавляемся от j в знаменателе:
Разделяем вещественную и мнимую части:
Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена, согласно приложению, равна:
при a? b2.
— Z (a) = 3.82()
— Z (a) = ;
Z (a) =
Рисунок 11.
Из рисунка 11 следует, что годографы не пересекаются в одной точке, что свидетельствует об отсутствии в системе автоколебаний и ее устойчивости.
Задача 9. Исследовать устойчивость состояния равновесия нелинейной системы (рис. 12). Параметры линейной части системы: Т1=NВ с, Т2=NВ-2,5 с, Т3=NВ· 1,1 с, k1= NВ /10, k2=NВ· 2. Для статической характеристики нелинейного звена: b=1, k3=NВ, где NВ — номер варианта.
Рисунок 12.
Исходные данные:
Т1=Nв=26с;
Т2=Nв-2,5=6−2,5=3,5с;
Т3=Nв*1,1=6*1,1=6,6с;
k1= Nв/10=6/10=0,6;
k2= Nв*2=6*2=12;
b=1;
k3= NВ=6.
Решение Амплитудно-фазовая характеристика линейной части:
Умножаем на комплексно-сопряженные числа:
Разделяем вещественную и мнимую части:
Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена, согласно приложению, равна:
при a>=b.
— Z (a) =
Z (a) =
Получаем объединенный график годографов линейной и нелинейной частей:
Рисунок 13.
Из рисунка 13 следует, что годографы не пересекаются в одной точке, что свидетельствует об отсутствии в системе автоколебаний и ее устойчивости.
дифференциальный уравнение устойчивость нелинейный
Список используемой литературы
1. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Нелинейные системы. — 2-е изд. испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 312 с.
2. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. Учеб. пос. — СПБ.: Питер, 2006. — 272 с.
3. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М, Наука, 1972. — 767 с.
4. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления. Под. ред. Е. А. Санковского, Минск, ВШ, 1973. — 384 с.
5. Иващенко Н. Н. Автоматического регулирование. Теория и элементы систем. М, Машиностроение, 1978. — 592 с.