Определение функции

Задание 1

Дан треугольник АВС. Требуется найти

1) Длину стороны АВ

2) Уравнение стороны АВ и ее угловой коэффициент

3) Уравнение медианы, проведенной из вершины В

4) Координаты точки пересечения медиан

5) Уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ

6) Расстояние от вершины С до стороны АВ

7) Уравнение окружности, для которой АВ есть диаметр, А (5; 3); В (2; - 1); С (-4; 7).

Решение

1) Расстояние d между двумя точками A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂) плоскости определяется по формуле Применяя эту формулу, найдем длину стороны АВ АВ=5

2) Уравнение прямой, проходящей через точки A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂) имеет вид Подставляя вместо x₁; y₁; x₂; y₂ координаты точек, А и В, получаем

Отсюда Искомое уравнение прямой мы привели к уравнению с угловым коэффициентом, т. е. к уравнению вида .

Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой .

3) Пусть точка D — середина отрезка АС. Для определения координат точки D применяем формулы деления отрезка пополам:

; .

Находим координаты точки D:

;

Подставив координаты точек В и D в уравнение, находим уравнение медианы ВD:

4) Чтобы найти координаты точки пересечения медиан, необходимо написать уравнение еще какой-нибудь одной медианы, например, СК. Для этого сначала найдем середину отрезка АВ (координаты точки К) по формулам:

; .

;

К (3,5; 1).

Напишем уравнение медианы СК:

Теперь найдем точку пересечения медиан. Для этого необходимо решить систему уравнений:

Получаем x=1; y=3. Следовательно, точка пересечения медиан M (1; 3).

5) Нам необходимо написать уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ. Уравнение стороны АВ (из п. 2):. Поскольку высота перпендикулярна стороне АВ, то их угловые коэффициенты и удовлетворяют условию перпендикулярности двух прямых, т. е. .

Так как, то. Зная координаты точки С (-4; 7) и угловой коэффициент и пользуясь уравнением прямой, проходящую через данную точку, составляем уравнение искомой прямой; .

6) Чтобы найти расстояние от точки С до стороны АВ, нам необходимо найти точку пересечения высоты СS со стороной АВ. Для этого решим систему уравнений:

Получаем x=3,68; y=1,24. То есть S (3,68; 1,24). Теперь можем определить CS по формуле получим

.

7) Уравнение окружности с центром O (a, b) и радиусом R имеет вид Так как по условию АВ-диаметр, то середина отрезка АВ, то есть точка; является центром окружности.

Кроме того, АВ=5 (из п. 1), поэтому АЕ=ЕВ=2,5. Следовательно, радиус окружности R=2,5.

Подставив в уравнение R=2,5; а=3,5; b=1, получим уравнение искомой окружности

Задание 2

Найти область определения функции

Решение

Функция определена при тех значениях х, для которых То есть D (y)=(0; 1).

Задание 3

Найти предел

Решение

Здесь мы имеем неопределенность вида. Чтобы ее раскрыть, умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю. После этого можно будет сократить на (x+8) и воспользоваться теоремой о пределе дроби.

1.

Здесь мы имеем неопределенность вида. Чтобы ее раскрыть, воспользуемся тригонометрической формулой преобразования суммы в произведение в числителе.

Поскольку (замечательный предел), то имеем

Задание 4

Найти производную функции

Решение

Задание 5

Сумма длин высоты и диаметра основания конуса равна 6. При какой длине радиуса основания объем конуса будет наибольшим?

Решение

Где V_к-объем конуса, R-радиус основания конуса, H — его высота. Так как сумма высоты и диаметра основания конуса равна 6, то

.

Тогда Исследуем функцию на максимум:

То есть R=2.

То есть в точке R=2 функция V_к® имеет максимум.

Значит, при R=2 объем конуса будет наибольшим.

Задание 6

Найти неопределенный интеграл

Решение

уравнение производная функция площадь

Задание 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

Задание 8

В партии, содержащей 20 изделий, имеется 4 изделия с дефектами. Наудачу отобрали 3 изделия для проверки их качества. Случайная величина Х — число дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке. Найти закон распределения случайной величины Х и ее функцию распределения F (x). Вычислить математическое ожидание М (х), дисперсию D (x) и среднее квадратичное отклонение. Построить график функции распределения F (x).

Решение

В выборке из трех изделий может не оказаться ни одного дефектного изделия, может появиться одно, два или три дефектных изделия. Следовательно, случайная величина Х может принимать только 4 значения: x₁=0; x₂=1; x₃=2; x₄=3. Найдем вероятность этих значений:

Следовательно, данная случайная величина X имеет закон распределения:

Отметим, что .

Найдем функцию распределения этой случайной величины.

1. При F (x)=0

2. При F (x)=

3. При F (x)=

4. При F (x)=

5. При F (x)=

Вычислим математическое ожидание

M (X)=

Найдем дисперсию

D (X)=

Вычислим среднее квадратичное отклонение

Задание 9

Имеются результаты измерения роста 100 студентов:

Преобразовать данную таблицу в таблицу частот. Выбрав середины интервалов за значения роста, составить дискретную таблицу частот и построить полигон.

Решение

Общее количество студентов =100

Составим таблицу частот

Дискретная таблица частот