Оптимальное управление в электрических схемах

«Оптимальное управление в электрических схемах»

Задача 2

Оптимальное управление в RC-цепи Для электрической схемы содержащей источник питания e (t), активные сопротивления r, R и емкость C

необходимо:

а) определить оптимальный закон изменения напряжения источника питания e (t), приводящий к изменению напряжения на обкладках конденсатора от заданного начального значения uC (t0)=uC0 до заданного конечного значения uC (t1)=uC1, такой, чтобы суммарная энергия активных потерь (затрачиваемая на нагрев) при этом изменении была минимальной;

б) определить оптимальный закон изменения напряжения на обкладках конденсатора uC (t), соответствующий оптимальному закону изменения e (t);

в) вычислить энергию активных потерь в схеме при оптимальном режиме изменения e (t) и uC (t) и сравнить ее с энергией активных потерь, затрачиваемой на нагрев при линейном изменении напряжения uC (t) от начального до конечного значения;

г) построить графики оптимальных и линейных изменений ЭДС и напряжения на конденсаторе.

Значения параметров элементов схемы в зависимости от варианта задания приведены в таблице 1.

Таблица 1

Полагать t0=0, t1=10−3 c .

Реферат Цель работы: систематизация, закрепление и расширение теоретических знаний, и получение практических навыков при расширении конкретных технических задач, развитие навыков самостоятельной работы с технической литературой в ходе расчета.

Объект исследования: в курсовой работе предлагается разработать алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, обеспечивающие минимизацию энергии активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Необходимо определить вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и проанализировать работу схемы при действии этой ЭДС.

Введение

На протяжении долгих лет очень эффективно используются математические методы моделирования и изучения жизни. Самые различные специалисты вынуждены прибегать к математическим методам оптимального управления. В связи с этим возникает множество проблем и трудностей, которые приходится решать.

Курсовая работа имеет своей целью систематизацию, закрепление и расширение теоретических знаний и практических навыков путем решения конкретных технических задач, развитие навыков самостоятельной работы с литературой в ходе расчетов.

В процессе выполнения курсовой работы разрабатываются алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, которые обеспечивают минимизацию энергии активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Также определяется вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и анализируется работа схемы при действии этой ЭДС.

Содержание Задание к курсовой работе Реферат

Введение

Содержание

1. ЗАДАЧА 2. Оптимальное управление в RC — цепи

1.1 Описание объекта управления

1.2 Конструирование функционала — критерия оптимальности

1.3 Формулировка задачи как вариационной задачи на условный экстремум

1.4 Синтез оптимального алгоритма управления

1.5 Анализ процессов в системе

1.6. Сравнительная оценка процессов в схеме при оптимальном и линейном режимах Заключение

Задача 2

Оптимальное управление в RC — цепи

1.1 Описание объекта управления Математическая модель объекта получается на основе законов Кирхгофа и имеет вид дифференциального уравнения

(1)

где x (t)=uc (t), u (t)=e (t), p, b — числа, равные p = -1/RC, b = 1/RC

.

1.2 Конструирование функционала — критерия оптимальности Найдем выражение для суммарной энергии активных потерь в схеме за время t1-t0. Оно представляется в виде

. (2)

Для этого записываем выражение для активной мощности потерь на сопротивлениях r и R :

или, Получим, что q =1/R = 0,017, n = -2/R = - 0,033, m = 1/r + 1/R = 0,183.

1.3 Формулировка задачи как вариационной задачи на условный экстремум Для этого необходимо рассматривать в качестве уравнения связей уравнение системы (1), а в качестве функционала — функционал (2).

Таким образом, получаем следующую вариационную задачу:

Определить функции x (t) и u (t), доставляющие экстремум функционалу

при граничных условиях ,

и при дополнительном условии (уравнении связи) накладываемом на функции x (t), u (t), в классе которых ищется экстремум.

1.4 Синтез оптимального алгоритма управления

1.4.1 Получение уравнений вариационной задачи Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид

,

в которых

(t) — неопределенный множитель Лагранжа,? — функция Лагранжа.

В итоге получаем систему уравнений:

(3)

(4)

(5)

Здесь (3), (4) — уравнения Эйлера — Лагранжа. К этим уравнениям добавлено уравнение объекта (5) (уравнение связи).

1.4.2 Отыскание решения уравнений вариационной задачи Решим уравнения (3) — (5) в следующем порядке:

1) Выразим из (4) u (t):

Затем подставим его в (3) и (5).

При этом получается система уравнений

с коэффициентами

a11 = p — nb/2m = -3033,3,

a12 = b2/2m = 3,035*107,

a21 = 2q — n2/2m = 0,031,

a22 = nb/2m — p = 3033,3.

Таким образом получим следующую систему:

(6)

2) Запишем систему (6) в матричной форме

(7)

где

.

3) Запишем решение уравнения (7) в виде

(8)

где

— вектор начальных условий, а матричная экспонента определяется по формуле Лагранжа — Сильвестра

где 1, 2 — собственные числа матрицы А. Е — единичная матрица.

Собственные числа матрицы, А определяются из условия. Таким образом получим

.

Для определения неизвестного начального значения множителя Лагранжа (t0), входящего в (8)

а) запишем (8) для момента времени t1

электрический схема активный реактивный потеря или

(9)

где e11, е12, е21, е22 — элементы матрицы (числа):

б) определим (t0) из первого уравнения системы (9)

Таким образом

Решим уравнение (7):

4). Запишем выражения для оптимальной траектории и оптимального управления:

— оптимальная траектория

— оптимальное управление

1.5 Анализ процессов в системе

1.5.1 Анализ процессов при оптимальном режиме Анализ процессов при оптимальном режиме построим графики x (t), u (t) на интервале t[t0,t1]. Этот интервал разбивается на 10 частей и вычисляются значения x (t) и u (t) в этих точках.

1.5.2 Анализ процессов при линейном изменении тока i (t)

Полагая, что напряжение изменяется линейно от заданного начального состояния до заданного конечного состояния

xЛ (t) = kt + d (ucЛ (t) = kt + d),

(величины k, d найдем из условия прохождения iЛ (t) и uЛ (t) через заданные начальное и конечное значения.)

xЛ (0) = 45, xЛ (0.001) = 0.001k + 45 = 80, k=35 000,

xЛ (t) = 35000t + 45.

запишем на основе (1)

выражение для закона управления uЛ (t), обеспечивающее такое линейное изменение

По полученным данным построим графики процессов xЛ (t), uЛ (t):

1.6 Сравнительная оценка процессов в схеме при оптимальном и линейном режимах

1.6.1 Вычислим энергию активных потерь при оптимальном режиме подставив в (2) x (t) и u (t)

1.6.2 Вычислим энергию активных потерь при линейном режиме путем подстановки в (2) xЛ (t) и uЛ (t)

1.6.3 Сравнивая полученные величины, делаем вывод, что суммарная энергия активных потерь (затрачиваемая на нагрев) при линейном режиме больше, что говорит о целесообразности работы схемы в оптимальном режиме.

Заключение

В процессе выполнения курсовой работы были разработаны алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, которые обеспечивают минимизацию энергии активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Также был определен вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и была проанализирована работа схемы при действии этой ЭДС.

1. Абдуллаев Н. Д., Петров Ю. П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. — Л.: Энергоатомиздат, 1985.

2. Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы. — М.: Высшая школа, 1989.

3. Воронов А. А., Титов В. К., Новограмов Б. Н. Основы автоматического регулирования и управления. — М.: Высшая школа, 1977.

4. Гноенский Л. С., Каменский Г. А., Эльсгольц Л. Э. Математические основы теории управляемых систем. — М.: Наука, 1969.

5. Олейников В. А., Зотов Н. С., Пришвин А. М. Основы оптимального и экстремального управления. — М.: 1969.

6. Сборник задач по теории автоматического регулирования / Под ред. В. А. Бесекерского. — М.: Наука, 1970.

7. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. — М.: 1987.

8. Теория автоматического управления / Под ред. А. А. Воронова. Ч.2. — М.: Высшая школа, 1986.

9. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1965.