Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики

№ 1 Функциональные ряды Членами являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х: U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+… Придавая х какое-либо значение х₀ из области определения функций U_n(x), получим числовой ряд U₁(x₀)+ U₂(x₀)+…+ U_n(x₀)+… Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка х₀ называется точкой сходимости функционального ряда. Если при х=х₀ ряд расходится, то точка х₀ называется точкой расходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.

Функциональный ряд называется правильно сходящимся на сегменте [a, b], если существует такой знакоположительный сходящийся ряд b_{1+ b2 +…+ bn +…, что абсолютные величины членов данного ряда для любого значения х, принадлежащего сегменту [a, b], не превосходят соответствующих членов знакоположительного ряда, т. е. |Un(x)| ? bn (n=1, 2, …)}

№ 2 Неопределенный интеграл и его свойства Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти F (x), зная ее производную f (x).

Функция F (x) называется первообразной, если выполняется равенство F'(x)=f (x).

Если F (x) одна из первообразных функции f (x), то любая первообразная функции f (x) на этом промежутке имеет вид F (x)+C, где С€R.

Множество всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом Свойства:

— неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;

— постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

№ 3 Асимптоты Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Прямая х=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f (x), если lim f (x)=? ,

^x>0±a

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y=Rx+b

R = lim (y/x); b = lim (y — Rx)

^{x>0 x>0}

Если y = b, то это уравнение горизонтальной асимптоты.

№ 4 Экстремум функции (для одной переменной) Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a;b) и f'(x)>0 (f'(x)<0), то f (x) возрастает (убывает) на этом промежутке. Точка х₀ называется точкой максимума функции f (x), если существует такая окрестность точки х_0, что для всех х, не равных х₀ из этой окрестности, выполняется неравенство f (x) < f (х₀), где х₀ — точка максимума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция f (x) имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна 0.

Достаточное условие экстремума: если производная меняет знак на минус, то х₀ — точка максимума; если с минуса на плюс, то точка х₀ — точка минимума.

№ 5 Производная. Ее геометрический и физический смысл.

Физический: производной функции y=f (x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции? y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента? х при произвольном стремлении? х к 0.

Геометрический: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ равен значению производной этой функции в точке х₀.

№ 6 Замечательные пределы

lim (1+1/x)^x=e; lim (1+x)^1/x=e (e — экспонент)

^{x>? x>0}

№ 7 Точки разрыва функции, классификация Точка х₀ называется точкой разрыва функции y=f (x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности. В этом случае говорят, что при х = х₀ функция разрывна. Это может произойти, если в точке х₀ функция не определена, или не существует предел функции при х > х₀, или, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке х₀: lim f (x)? f (х₀). Точку х0 называют точкой разрыва первого рода,

^x>x0

если существуют конечные односторонние пределы f (x0−0)=lim f (x) и f (x0+0)=lim f (x), но f (x0−0)?f (x0+0). ^x>x0^{-0 x>x}0⁺⁰

Точку х0 называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f (x0−0) и f (x0+0) не существует (в частности, бесконечен).

№ 8 Непрерывность функции на отрезке Функция y=f (x) называется непрерывной, если:

— функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

— функция имеет предел при x>x₀,

— предел функции при x>x₀ равен значению функции в точке x₀: lim f (x) = f (х₀)

^x>x0

Если в точке х₀ функция непрерывна, то точка х₀ называется точкой непрерывности данной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х₀ справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f (x) определена в точке х₀. Если lim f (x) = f (х₀), то говорят, что функция y=f (x) непрерывна в точке x₀ справа; если lim f (x) = f (х₀),

^x>x0^{+0 x>x}0^-0

то функция называется непрерывной в точке x₀ слева.

№ 9 Предел функции по Гейне Число, А называется пределом функции f (x) в точке x₀ если для любой последовательности { x_n} сходящейся к x₀, последовательность F ({ x_n}) соответствующих значений функции сходится к А:

lim f (x) =A

^x>x0

№ 10 Предел функции по Коши Число, А называется пределом функции f (x) в точке x₀ если для любого сколь угодно малого числа E>0 (эпселон больше 0) найдется такое число ?>0 (дельта больше 0), что для всех х таких, что | x-x₀|< ?, x? x₀ выполняется неравенство |f (x)-A|

№ 11 Предел числовой последовательности Число, а называется пределом последовательности x_n, если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где n_n-a|_n = a

^n>?

Если последовательность имеет предел, равный а, то она сходится к а. Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Операции над пределами последовательностей:

Пусть lim x_n = a; lim у_n = b, тогда

^{n>? n>?}

— lim (x_n± у_n) = a±b;

^n>?

— lim (x_n* у_n) = a*b;

^n>?

— lim (c* x_n) = c*a;

^n>?

— lim (x_n)^R = (lim x_n)^R=a^R;

^n>?

— lim (x_n)^1/R = a¹/R;

^n>?

— lim a = a.

^n>?

Бесконечно большие последовательности:

— lim x_n= ±?;

^n>?

Правила вычисления пределов ЧП:

— lim x_n= а; lim y_n= ±?, тогда lim x_n/ lim y_n = а/±?=0;

^{n>? n>? n>? n>?}

— lim x_n= 0; lim y_n= ±?, тогда lim y_n=0, lim (x_n/ y_n)= ±?

^{n>0 n>? n>? n>?}

№ 12 Общее уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Если точки М₀ (x₀; y₀; z₀), М₁ (x₁; y₁; z₁), М₂ (x₂; y₂; z₂) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением

x — x₀ y — y₀ z — z₀

x₁ — x₀ y₁ — y₀ z₁ — z₀ = 0

x₂ — x₀ y₂ — y₀ z₂ — z₀

№ 14 Уравнение прямой в пространстве (общее и каноническое).

Прямая L, проходящая через точку М₀ (x₀; y₀; z₀) и имеющая направляющий вектор a {l,m,n}, представляется уравнениями x — x₀ y — y₀ z — z₀

= = ,

l m n

выражающими коллинеарность векторов a {l,m,n} и М₀М { x - x₀ , y - y₀ , z - z₀ }. Они называются каноническими.

№ 15 Уравнение прямой на плоскости.

Ax + By + C = 0, где А, В, С — постоянные коэффициенты.

Заметим, что n (А; В) — нормальный вектор (n + прямой).

Частные случаи этого уравнения:

— Ах + By = 0 (C=0) — прямая проходит через начало координат;

— Ах + С = 0 (В=0) — прямая параллельна оси Оу;

— Ву + С = 0 (А=0) — прямая параллельна оси Ох;

— Ах = 0 — прямая совпадает с осью Оу;

— Ву = 0 — прямая совпадает с осью Ох.

№ 16 Векторы. Операции над векторами.

Вектор — направленный отрезок прямой.

I. Правила треугольника. Правила параллелограмма. II. Разность векторов. Параллелограмма.

а b, а b, а a c

а b a + b = c

a b b, а Равенство векторов:

Два (ненулевых) вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение векторов:

Суммой векторов называется третий вектор Сумма нескольких векторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляется вектор а3 и т. д.

Коллинеарность векторов:

Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Скалярное произведение:

Скалярным произведением вектора, а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними Угол между векторами:

cos (a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1²+y1²+z1²)*(x2²+y2²+z2²))^½

№ 17 Система линейных уравнений. Формулы Крамера.

x = ?1/?; x2 = ?2/?; … xn = ?n/?

№ 18 Система линейных уравнений. Метод Гауса.

Системой линейных уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, называется система вида а11×1 + а12×2 + а13×3+…+аnxn = b1;

{ а21×1 + а22×2 + а23×3+…+аnxn = b2; }, где а_ij — коэффициенты системы, b_i — свободные

am1x1 + am2x2 + am3x3+…+amnxn = bm члены

№ 19 Обратная матрица. Ранг матрицы.

Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А* А^-1 = А^-1*А = Е Всякая невырожденная матрица (т.е. ??0) имеет обратную.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. вычисляем определитель, составленный по данной матрице;

2. находим матрицу А^Т, транспонированную к А;

3. составляем союзную матрицу (А^*);

4. вычисляем обратную матрицу по формуле А^-1 = А^*/?А = 1/?А* ()

Ранг м-цы:

Минором R-го порядка произвольной м-цы, А называется определитель, составленный из элементов м-цы, расположенных на пересечении каких-либо R-строк и R-столбцов.

Рангом м-цы, А называется наибольший из порядков ее миноров, неравных 0.

Базисным минором называется любое из миноров м-цы А, порядок которого равен рангу А.

При элементарных преобразованиях ранг м-цы не изменяется.

Ранг ступенчатой м-цы равен количеству ее не нулевых строк.

Свойства:

— при транспонировании м-цы ее ранг не меняется;

— если вычеркнуть из м-цы нулевой ряд, то ранг не изменится.

№ 20 Матрицы. Операции над матрицами.

Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов. Числа, составляющие м-цу, называются элементами м-цы.

Две м-цы, А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно.

Виды: м-ца-строка; м-ца-столбец.

М-ца называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Квадратная м-ца, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0, называется диагональной.

Если у диагональной м-цы n-го порядка все элеметы главной диагонали равны 1, то м-ца называется единичной n-го порядка и обозначается Е.

Если все элементы м-цы равны 0, то она называется нулевой.

Операции над матрицами:

Умножение м-цы на число. Произведением м-цы, А на число? называется матрица В= ?*А, элементы которой b_ij = ?* a_ij (i=1,…, m, j=1,…, n)

Сложение м-ц. Суммой двух м-ц, А и В одинакового размера m на n называется м-ца С=А+В, элементы которой Сij=aij+bij.

Аналогично находится разность.

Умножение м-ц. Умножение м-цы, А на м-цу В возможно когда число столбцов первой м-цы равно числу строк второй. Тогда произведением м-цы, А и В называется м-ца С, каждый элемент которой находится по формуле

Сij=ai1*b1j+ai2*b2j+…+aiR*bR = ?ais*bsj

Возведение в степень.

А²=A*A

Транспонирование м-цы — переход от м-цы, А к м-це А^Т, в которой строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка.

№ 21 Определители n-го порядка. Свойства определителей.

Квадратной м-це, А порядка n можно сопоставить число дельта А (|А|, ?), которое называется определителем, если:

— n=1, A=(a1), ?A=a1;

— n=2, A=, ?= =a11a22-a12a21;

— n=3, A=; ?A=

Свойства определителей:

1. Если у определителя какая-л строка (столбец) состоит только из нулей, то ?=0;

2. Если какие-л две строки (столбца) определителя пропорциональны, то ?=0;

3. Если какую-л строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число;

4. Если две строки (столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак;

5. Если к какой-л строке (столбцу) определителя прибавить какую-л другую строку (столбец), умноженное на произвольное число, то определитель не изменится;

6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

№ 22 Признаки сравнения положительных рядов.

Для исследования сходимости данного положительного ряда U0+U1+U2+… его часто сравнивают с другим положительным рядом V0+V1+V2+…, о котором известно, что он сходится или расходится.

Если ряд 2 сходится и сумма его равна V, а члены данного ряда не превосходят соответствующих членов ряда 2, то данный ряд сходится, и сумма его не превосходит V. При этом остаток данного ряда не превосходит остатка ряда 2.

Если ряд 2 расходится, а члены данного ряда не меньше соответствующих членов ряда 2, то данный ряд расходится.

№ 23 Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда Признак Даламбера:

Пусть в положительном ряде U1+U2+…+Un+… отношение U_n+1/U_n последующего члена к предыдущему при n>? имеет предел q. Возможны три случая:

q<1 -ряд сходится; q>1 — ряд расходится; q=1 — ряд может сходиться, а может и расходиться.

№ 24 Производные обратных тригонометрических функций.

I. d arcsin x = dx/(1-x²)^½, d/dx arcsin x = 1/(1-x²)^½

II. d arccos x = - dx/(1-x²)^½, d/dx arccos x= - 1/(1-x²)^½

III. d arctg x = dx/(1+x²), d/dx arctg x = 1/(1+x²)

IV. d arcctg x = - dx/(1+x²), d/dx arcctg x = - 1/(1+x²)

№ 25 Дифференцирование функций, заданных неявно.

Пусть уравнение, связывающее x и y и удовлетворяющееся значениями x=x0 и y=y0, определяет y как неявную функцию от x. Для разыскания производной dy/dx в точке x=x0, y=y0 нет нужды искать явное выражение функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеих частей уравнения и из полученного равенства найти отношение dy к dx.

№ 26 Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Предположим, что функция y от х задана параметрически уравнениями x=x (t), y=y (t), причем в некоторой области изменения параметра t функции x (t) и y (t) дифференцируемы и x'(t)?0.

Найдем производную у'_x. Как мы знаем у'_x = dy/dx. Так как dx = x'(t)dt, dy = y'(t)dt, то

y'_x = dy/dx = y'(t)dt/x'(t)dt = y'(t)/x'(t) = y’t/x't.

Таким образом, dy/dx = y’t/x't. Эта формула позволяет находить производную функции, заданной параметрически.

№ 28 Дифференциал функции.

Пусть приращение функции y=f (x) разбито на сумму двух членов: ?y = A? x+?, где, А не зависит от? x (т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и? имеет высший порядок относительно? x (при ?x > 0).

Тогда первый член, пропорциональный? x, называется дифференциалом функции f (x) и обозначается dy или df (x).

№ 29 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение вида X1Y1dx +X2Y2dy = 0, где функции X1 и X2 зависят только от x (одна из них или обе могут быть постоянными; то же для функций Y1, Y2), а функции Y1, Y2 — только от y, приводится к виду ydx — xdy = 0 делением на Y1X2. Процесс произведения называется разделением переменных.

№ 30 Площадь криволинейной трапеции.

Фигура, ограниченная прямыми y=P; x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [a, b] функции f (x), называется криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции

равна

?f (x)dx; ?f (x)dx — ?g (x)dx

№ 31 Дифференциальные однородные уравнения первого порядка.

ДУ первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде y' = g (y/x).

Однородное ДУ преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены z=y/x; y=z*x, то y'=z'x+z, поэтому уравнение y'=g (y/x) преобразуем к виду z’x+z=g (z); dz*x/dx=g (z)-z; dz (g (z)-z)=dx/x.

Найдя его общее решение следует заметить в нем z на y/x.

Однородное ДУ часто задается в дифференциальной форме: P (x;y)dx+Q (x;y)dy=0.

ДУ будет однородным, если P (x;y) и Q (x;y) — однородные функции одинакового порядка.

Переписав уравнение в виде dy/dx=-P (x;y)/Q (x;y) и переменив в правой части рассмотренное выше преобразование получим уравнение y'=g (y/x).

При интегрировании уравнения P (x;y)dx+Q (x;y)dy=0 нет необходимости предварительно приводить их к виду y'=g (y/x): подстановка z=y/x сразу преобразует уравнение P (x;y)dx+Q (x;y)dy=0 в уравнение с разделяющимися переменными.

№ 32 Степенные ряды Степенным рядом называется ряд вида а₀+а₁х+а₂х²+…+a_nxⁿ+…, а также ряд более общего вида а₀+а1(х-х₀)+а₂(х-х₀)²+…+a_n(x-х₀)ⁿ+…, где х₀ — постоянная величина. О первом ряде говорят, что он расположен по степеням х, во втором — что он расположен по степеням х-х_0.

Постоянные а₀, а₁, …, а_n, … называются коэффициентами степенного ряда.

Степенной ряд всегда сходится при х=0.

№ 33 Кривые второго порядка на плоскости (эллипс, гипербола, парабола).

Линии, определяемые уравнениями второй степени относительно переменных x и y, т. е. уравнениям вида Ах²+2Вху+Су²+2Вх+2Еу+F=0 (А²+В²+С²?0), называются кривыми 2-го порядка.

Эллипс.

х²/а²+у²/b²=1

Гипербола.

х²/а²-у²/b²=1

Парабола.

y²=2px, где p>0

№ 34 Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям однородной функции.

№ 35 Эллипсоид (уравнение и чертеж).

x²/a²+y²/b²+z²/c²=1

№ 36 Гиперболоид (уравнение, чертеж).

x²/a²+y²/b²-z²/c²=1

№ 37 Параболоид эллиптический (уравнение, чертеж)

x²/a²+y²/b²=2pz

№ 38 Параболоид гиперболический (уравнение, чертеж)

x²/a²-y²/b²=2pz

№ 39 Уравнение в полных дифференциалах Если коэффициенты P (x, y), Q (x, y) в уравнении

P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0 (1)удовлетворяют условию

?P/?y=?Q/?x, то левая часть (1) есть полный дифференциал

некоторой функции F (x, y). Общий интеграл уравнения (1)

будет: F (x, y) = C.