Вычисления по теории вероятностей

Задача 1. В партии из 60 изделий 10 — бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:

а) ровно 2 изделия;

б) не более 2 изделий.

Решение.

А)

Используя классическое определение вероятности:

Р (А) — вероятность события А, где, А — событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;

m — кол-во благоприятных исходов события А;

n — количество всех возможных исходов;

Б)

Р (А') — вероятность события А', где А' - событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,

;

— кол-во благоприятных исходов события ;

— кол-во благоприятных исходов события ;

— кол-во благоприятных исходов события ;

n' - количество всех возможных исходов;

Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.

Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй — 2%, третий — 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей.

Решение.

По формуле полной вероятности:

где, А — взятие хорошей детали, — взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, — вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, — вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата, — вероятность попадания на сборку небракованной детали.

; (т. к.) = 1% = 0.01)

;

;

Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.

Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй — 2%, третий — 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.

Решение.

По формуле полной вероятности:

где А' - взятие бракованной детали, — взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, — вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, — вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата, — вероятность попадания на сборку бракованной детали.

; (согласно условию)

;

;

Согласно формуле Байеса:

Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.

Задача 4. Рабочий обслуживает 18 станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна. Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?

Решение.

Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков:

где n — кол-во станков, m — кол-во станков, которые придётся чинить, p — вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р — вероятность, не выхождения станка из строя за смену.

.

Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.

Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять = 0,05.

Все промежуточные вычисления поместить в таблице.

Пусть, a₁ — товарооборот в 1 магазине, a₂ — товарооборот во 2 магазине.

Формулируем гипотезы Н₀ и Н₁:

Н₀: a₁ = a₂

Н₁: a₁? a₂

a₁ = = = 29,485, a₂ = =

₁ = = 73.32

₂ = =

n ₁ = n ₂ = n =6

Вычислю выборочное значение статистики:

Z_В = * =

Пусть = 0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: (n₁+n₂-2)= 2.228.

Следовательно, так как Z_В=0,74 < =2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н₀, потому что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором.

Задача 6. По данному статистическому ряду:

Построить гистограмму частот.

Сформулировать гипотезу о виде распределения.

Найти оценки параметров распределения.

На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины.

Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.

1. Гистограмма частот:

2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение.

3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу:

Найдем оценки параметров распределения:

= = 5,523

²= ² = 2,925 = = 1,71

4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.

Где: t₁=, t_{2 =}, a_i, b_i — границы интервала, Ф (t) — Функция распределения нормального закона.

p_i = Ф (t₂) — Ф (t₁)

Так как проверка гипотезы о распределении производится по критерию, составляем еще одну таблицу для вычислений:

Согласно расчетам, = = 9,5876

Выбираем уровень значимости = 0,05 и вычисляем _1-? (k-r-1), где k — число подмножеств, r — число параметров в распределении.

_0,95(7−2-1) = _0,95(4) = 9,49.

Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается.

Задача 7. По данным выборки вычислить:

а) выборочное значение коэффициента корреляции;

б) на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

Решение Формулируем гипотезы Н₀ и Н₁:

Н₀: a₁ = a₂

Н₁: a₁? a₂

a₁ = = 4,876, a₂ = = 3,74

₁ = = 0,7708

₂ = = 1,0736

n ₁ = n ₂ = n =6

а) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции

=

б) Проверим на уровне значимости =0,05 гипотезу о значимости коэффициента корреляции:

(n-2)=2,306

Вычислим величину

=

получаем, что >0.6319 т. е. попадает в критическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым.

Задача 8. По данным выборки найти:

а) точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

Решение

а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.

Математическое ожидание:

m==

Дисперсия:

?2==

б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности.

Определим из таблиц значение, где ;

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания:

0,271

Доверительный интервал для дисперсии имеет вид:

Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192