Содержание
- Перечень определений и условных обозначений
- Общая характеристика работы
- Глава 1. Обзор результатов
- Глава 2. Предварительные сведения
- 2. 1. Методы доказательства
- 2. 2. Используемые результаты
- Глава 3. Общие свойства частично композиционных формаций
- 3. 1. Определение и общие свойства О-композиционных формаций
- 3. 2. Полная решётка формаций Ос
- 3. 3. Новая характеризация р-композиционных формаций
- Глава 4. Минимальные Г2-композиционые наследственные не ф-формации
- 4. 1. Фпсе-критические формации
- 4. 2. Общие свойства О-композиционных наследственных формаций
- 4. 3. Описание минимальных О-композиционых наследственных не ф-формаций
- 4. 4. Существование минимальных О-композиционых наследственных не ф-формаций
- Глава 5. Композиционные формации с-длины
- 5. 1. Некоторые свойства композиционных формаций
- 5. 2. Описание композиционных формаций с-длины
- 5. 3. Описание композиционных наследственных формаций сб-длины
- Выводы
- Список используемых источников
ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ Рассматриваются только конечные группы. Используемые в работе без ссылок обозначения, определения и классические результаты по теории групп можно найти в книгах [14, 21, 24, 52, 67, 68], а по теории классов групп в [4, 25, 44, 55, 59, 64, 66].
Класс групп — совокупность групп, содержащая вместе с каждой своей группой и все группы, изоморфные ей.
Йг, ф, — некоторые классы групп. р, г — простые числа.
7с (0) — множество всех различных простых делителей порядка группы
7с (Э?) — объединение множеств тс (О) для всех групп О из множества групп Зс.
0 — пустое множество. — класс всех групп. класс всех нильпотентных групп. класс всех квазинильпотентных групп. класс всех р-групп.
21 — класс всех абелевых групп. класс всех конечных простых групп.
О — непустой подкласс класса в) — класс всех групп, изоморфных группе в.
Э£) — класс групп, порождённый дс.
К (С) — класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы в. объединение классов K (G) для всех Ge 3?.
Q-группа — такая группа G, hto q — множество всех Q-групп.
Н (дс) — класс всех таких групп, которые являются гомоморфными образами групп из И.
Ro (96) — множество всех конечных подпрямых произведений всех групп из di.
1 — единичная группа.
Gs— {5-корадикал группы G, то есть пересечение всех тех нормальных подгрупп М из G, для которых G/M е {5.
Gg —-радикал группы G, то есть наибольшая нормальная-подгруппа группы G.
Oq (G) — ©-^-радикал группы G. Если Q=(B) (Q=B'), то Oq (G) будем обозначать через Ob (G) (Ob (G)).
Op (G) — наибольшая нормальная р-подгруппа группы G.
M-
К]А — полупрямое произведение группы К с некоторой её группой операторов А.
D (G) — подгруппа Фраттини группы G.
F (G) — подгруппа Фиттинга (нильпотентный радикал) группы G.
F*(G) — квазинильпотентный радикал группы G.
FP (G) — наибольшая нормальная р-нильпотентная подгруппа группы G.
Cg (H/K) — централизатор фактора Н/К в группе G.
Главный А-фактор группы G — такой главный фактор M/N группы G, 4to ДМЖ)=(А).
Fa (G) — пересечение централизаторов всех главных А-факторов группы G, если в G нет главных А-факторов, то по определению FA (G)=G.
Формация — класс групп, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Многообразие групп — класс всех групп, каждая из которых удовлетворяет некоторому данному множеству тождеств.
Экран — отображение? класса (5 во множество всех формаций групп, удовлетворяющее следующим условиям:
1)Д1)=£-
2) ДО) с Ц^^п^Кегф) для любой неединичной группы О и любого гомоморфизма ф группы О.
Композиционный экран — такой экран? что для любой неединичной группы О ДО)=п ДА), где, А пробегает ДО).
Локальный экран — экран {, удовлетворяющий следующим условиям: 1) значения? на любых неединичных р-группах совпадают (это значение экран f обозначают через Др)), для любого простого числа р-
2) ДО) —о Др), где р пробегает тг (О), для любой неединичной группы О.центральный главный фактор группы О — такой главный фактор К/Ь группы О, что в/Со (К/Ь) е ДА).
-центральный ряд — нормальный ряд группы О, все факторы которогоцентральны в О. — класс всех групп, обладающихцентральными главными рядами.
Композиционная формация — формация, обладающая, по крайней мере, одним композиционным экраном.
Локальная формация — формация, обладающая, по крайней мере, одним локальным экраном.
Внутренний экран формации — такой экран? формации что для любой неединичной группы О имеет место ДО) сгб*
Максимальный внутренний композиционный экран формации — максимальный элемент множества всех внутренних композиционных экранов формации {5
Минимальный композиционный экран формации Г? — минимальный элемент множества всех композиционных экранов формации
Произведение формации Г? и -Ь — совокупность всех таких групп О, что С^еЗ".
Наследственная (нормально наследственная) формация — такая формация, которая вместе с каждой своей группой содержит и все её (нормальные) подгруппы.
Наследственный (нормально наследственный) экран — такой экран, все значения которого являются наследственными (нормально наследственными) формациями.
5(А"(?г)) — мощность множества всех попарно неизоморфных групп из
Если К (^)=0, то полагаем 5(Д^))=0. р-композиционная формация — такая формация {5, что сГогт^с^Яр'^. р-локальная формация — такая формация что ^огт^с^Др-^. ЗЁ-насыщенной формация — такая формация что из 0/Ф (М)ег5 для N<0, ]Ме 36 всегда следует, что ОеЗ^.
О-композиционный спутник (Ос-спутник) — всякая функция вида?: О и {О'}—"{формации}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из О.
-композиционная формация — такая формация {5, что
I 0/0п (0)е?(0') и ОЯч^е^А) для всех АеОпДО)} для некоторого О-композиционного спутника
О-композиционный спутник формации Гу — такой О-композиционный спутник? ЧТО
Полная решётка формаций — такое непустое множество формаций 0, что пересечение любой совокупности формаций из 0 снова принадлежит 0 и во множестве 0 имеется такая формация, что фс=5 для любой формации фе0.
Пс0-спутник — О-композиционный спутник, все значения которого принадлежат 0.
Ос8 — совокупность всех формаций, которые обладают С2с0-спутником.
Максимальный внутренний Ос0-спутник формации Гт — максимальный элемент множества всех внутренних ОсО-спутников формации
Минимальный С2с0-сггутник формации Г? — минимальный элемент множества всех Ос0-спутников формации
8-критическая группа — такая группа О, что О^эйшиЗб, где дс — множество всех собственных факторов группы О.
Б-базисная (Г2сБ-базисная) группа — такая з-критическая группа в, что формация вйплв (Осз?огтО) содержит единственную максимальную Б-подформацию (£2сб -подформацию).
Фпсе~кРитическая формация — такая формация что не содержится в ф, но всякая собственная СЗсО-подформация из в классе ф содержится.
0-длина 0-формации Г? — говорят, что 0-формация О^Ое имеет 0-длину п, если существует такая совокупность 0-формаций &0, &-1,.,&-п, что б^Ог, 0о=0е и бм — максимальная 0-подформация формации бь 1=1,., п, где Ое — ноль решетки 0. 0-длина 0-формации
Монолитическая группа — неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу (монолит).
Характеризация групп по тем или иным свойствам, налагаемым на их подгруппы, представляет собой одно из интересных и глубоких направлений в теории конечных групп. Значительное место в этом направлении занимает проблема изучения групп, не обладающих заданным свойством у которых все собственные подгруппы этим свойством обладают. Первые результаты о такого рода группах принадлежат Миллеру и Морено [72]. Они исследовали неабелевы группы, все собственные подгруппы которых абеле-вы (или, другими словами, минимальные не 21-группы, где 2С — класс всех конечных абелевых групп). Развитие этого направления в нашей стране берет свое начало в работах О. Ю. Шмидта. Так, в 1924 году им было получено описание строения минимальных ненильпотентных групп [60], названных впоследствии группами Шмидта. Исследованием минимальных не ф-групп для некоторого класса групп ф занимались Х. Дерк, Б. Хупперт, Д. Томпсон, С. А. Чунихин, Ю. А. Гольфанд, Л. А. Шеметков, А. И. Старостин, В. Н. Семенчук, В. А. Ведерников, В. Т. Нагребецкий и многие другие. Задача изучения минимальных не ф-групп тесно связана с более общей задачей — задачей изучения минимальных не ф-классов, то есть таких классов групп, которые сами не содержатся в некотором классе ф, но у которых все собственные подклассы в ф содержатся.
В теории групп понятие класса имеет большое значение, прежде всего потому, что многие исследования в этой теории связаны с характеризацией групп по свойствам тех или иных классов. Однако, как самостоятельное направление в рамках теории групп, теория классов начала свое развитие лишь в 30-ые годы после выхода работ Р. Биркгофа [62] и Б. Х. Неймана [69]. Первоначальный этап развития теории классов был в основном связан с изучением различных классов групп, заведомо содержащих бесконечные группы (многообразий, квазимногообразий и др.). После выхода в 1963 году работы
B.Гаппоца [65] началось интенсивное изучение различных классов конечных групп, ключевую роль среди которых заняли формации групп. Таким образом, в рамках теории групп возникло и вполне оформилось новое научное направление — теория формаций. Напомним, что класс групп называется формацией (Гаппоц, [65]), если он замкнут относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Итоги развития теории формаций нашли отражение в работах [4, 44, 55, 59, 64, 66]. Как отмечается в [59], при изучении формаций можно выделить два основных подхода. С одной стороны, можно ставить задачу изучения формаций, у которых некоторая выделенная система подформаций удовлетворяет определенным требованиям. С другой стороны, естественно выделять и изучать подформации заданной формации. Многочисленные исследования в этом направлении связаны с понятием Е^-критической формации.
Пусть, А и? — две произвольные совокупности формаций. Формация называется-критической, если? геДЕ и всякая собственная Д-подформация из принадлежит ?. В случае, когда I — совокупность всех подклассов класса групп ф, Ид-критические формации называются также фд-критическими.
Это общее определение допускает различные конкретизации, приводящие к целой серии задач. Проблема описания критических формаций была поставлена Л. А. Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1978 году (см. [56]). Исследованием ф^-критических формаций для определенных ф и, А занимались А. Н. Скиба, А. Ф. Васильев,
C.Ф.Каморников, В. Н. Семенчук, Е. А. Таргонский, В. М. Селькин, В. А. Ведерников и др. В серии работ [33−41] А. Н. Скиба получил решение вышеуказанной проблемы в случае, когда, А — класс всех локальных формаций. Дальнейшее обобщение понятия локальных критических формаций можно найти в работах [16−18, 26−28].
Характерной особенностью теории формаций, существенно отличающей её от других аналогичных теорий — теории многообразий групп, теории классов Фиттинга, теории классов Шунка и др., является её тесная связь с теорией фраттиниевых расширений групп. В связи с классификацией конечных простых групп (см. [14]) актуальной в теории групп стала задача исследования непростых конечных групп с произвольными, необязательно абелевыми, композиционными факторами (см., например, [4]). При решении этой задачи на передний план выходят введенные Л. А. Шеметковым разрешимо насыщенные (композиционные) формации [54]. Пользуясь теоремой Бэра (см. [64, с. 373]), определим их как такие непустые формации что ве^ всякий раз, когда 0/Ф (Я (0))ей- (здесь Щв) — наибольшая разрешимая нормальная в в подгруппа).
При исследовании композиционных формаций важную роль играют функции f специального вида, введённые независимо друг от друга Л. А. Шеметковым [54] и Р. Бэром [75]. Функция сопоставляющая каждой элементарной группе Н некоторую (возможно пустую) формацию: Г (Н) называется бэровской формационной функцией [ 64, с.370] или с-экраном, если для любых двух элементарных групп, А и В из К (А)-К (В) следует А (А)=:Р (В). Символом СБф обозначают класс всех таких групп О, что ОеСБф тогда и только тогда, когда-либо 0=1, либо О — такая неединичная группа, что С/Со (Н/К)е^Н/К), для любого главного фактора Н/К группы О. Если З^СБф, то говорят, что f — с-экран формации [5- Основные результаты в области исследования композиционных формаций принадлежат Л. А. Шеметкову, Р. Бэру, С. Ф. Каморникову, А. Н. Скибе, А. Ф. Васильеву, В. А. Ведерникову и М. М. Сорокиной (см. работы [2−5, 7, 8, 19, 20, 43, 46, 55, 58]).
В последние годы активное развитие получили идеи частичной локальности (композиционности) формаций конечных групп. В работе [71] Л. А. Шеметковым введено понятие р-композиционной формации. А именно, формация называется р-композиционной (р-локальной), если с1Ъгт{^ (Иогт^ с 3^).
В [71] доказано, что непустая формация р-композиционна тогда и только тогда, когда формация ?5 является 91р-насыщенной. Пусть — класс групп. Формация называется Х-насыщенной [71], если из С/Ф (ТЧ)е{5 для N<06 Зс всегда следует, что в£{5.
В данной диссертации развивается идея частичной композиционности. Здесь вводится естественное понятие С1-композиционной формации для любого непустого класса простых групп О в терминах главных рядов и групповых функций (Ос-спутников). Отметим, что это понятие было введено нами в 1998 году на Международной конференции «Симметрия в естествознании» в Красноярске (см. [22]). В диссертационной работе установлено, что такой подход хорошо согласуется с понятиями композиционной и р-композиционной формацийполучена другая характеризация р-композиционных формаций. Независимо определение О-композиционной формации дано А. Н. Скибой и Л. А. Шеметковым [46]. В данной диссертации полностью описано строение минимальных наследственных частично композиционных не ф-формацийописано строение-критических (^-критических) формаций в случае когда И — множество всех элементов с-длины (сб-длины) не больше чем 2 решётки композиционных (композиционных наследственных) формаций.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
диссертации. Среди многочисленных подходов к задаче конструирования и классификации формаций конечных групп в последние годы наиболее эффективно применяется частичная локальность. Имеющиеся в этом направлении публикации (см., например, [16−18, 26, 28, 45, 71]) показывают, что предложенный Л. А. Шеметковым принцип частичной локализации является мощным инструментом при исследовании классов конечных групп. Одним из обобщений частично локальных формаций являются частично композиционные формации. В связи с этим общая проблема конструирования и классификации частично композиционных формаций является одной из центральных задач теории классов конечных групп. В теории формаций конечных групп хорошо известна проблема Л. А. Шеметкова об изучении строения Фе-критических формаций & для некоторого класса групп ф и непустой совокупности формаций 0 [56], при этом 0-формация называется Фе-критической, если не содержится в ф, но каждая собственная 0-подформация формации содержится в ф. Решению этой проблемы посвящен ряд работ А. Н. Скибы [33−41], В. М. Селькина [29−31], В. Г. Сафонова [27], Е. А. Таргонского [49−51] и др., в которых исследовалось строение различных видов локальных критических формацийв работах В. А. Ведерникова и М. М. Сорокиной [7, 8, 48] исследовалось строение композиционных (нормально) наследственных критических формаций. Поэтому вопрос изучения частично композиционных критических формаций в настоящее время весьма перспективен и актуален. В данной диссертации получено решение отмеченной задачи Л. А. Шеметкова для наследственных-композиционных формаций.
Цель и задачи исследования
В диссертации решаются следующие задачи:
— построение теории О-композиционных формаций для любого не пустого класса простых групп О в терминах главных рядов и групповых функций;
— построение общей теории минимальных наследственных £2-композиционных не ф-формаций;
— описание строения композиционных (композиционных наследственных) формаций с-длины (св-длины) 3.
Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми и могут быть использованы в теоретических исследованиях.
Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться в научных исследованиях. В частности, при дальнейшем изучении композиционных и частично композиционных формаций, при исследовании различных видов критических формаций. Полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов в университетах и пединститутах для студентов математических специальностей.
Основные положения диссертации выносимые на защиту.
1) Описание полной решетки формаций Ос0;
2) новая характеризация р-композиционных формаций;
3) описание минимальных наследственных-композиционных не ф-формаций;
4) теорема о существовании минимальных наследственных-композиционных не ф-формаций;
5) описание композиционных формаций с-длины 3;
6) описание наследственных композиционных формаций св-длины 3.
Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры Брянского государственного педуниверситета, на Международной конференции «Симметрия в естествознании» (Красноярск, 1998), на Международном алгебраическом семинаре посвященном 70-летию кафедры Высшей алгебры МГУ (Москва, 1999), на II Международной алгебраической конференции в Украине, посвященной памяти профессора Калужнина (Киев, Винница, 1999).
Опубликованность результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы в 4-х статьях [10, 23, 73 74], 1-м препринте [9], 4-х тезисах конференций [11, 12, 13, 22].
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, пяти глав основной части, выводов и списка используемых источников в количестве 75 наименований. Объём диссертации — 93 страницы.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании данной диссертации.
— 86-выводы
1) В диссертации введено понятие О-композиционной формации для любого не пустого класса простых групп О в терминах главных рядов и групповых функций;
2) установлено, что такой подход хорошо согласуется с понятиями композиционной и р-композиционной формаций;
3) получена другая характеризация р-композиционных формаций;
4) получено описание минимальных наследственных О-композиционных не ф-формаций для произвольной наследственной О-композиционной формации ф;
5) доказано существование минимальных наследртвенных О-композиционных не ф-формаций;
6) получено описание композиционных формаций с-длины 3;
7) получено описание наследственных композиционных формаций сб-длины 3.
