Оценка вероятности события

Задача №1 (1).

Условие:

Вариант 1. P₆, P₈, A₆², A₈⁵, C₆², C₈⁵.

Решение:

P₆ = 6! = 6•5•4•3•2•1 = 720 P₈ = 8! = 8•7•6•5•4•3•2•1 = 40 320

== 6•5 = 30 == 8•7•6 = 336

= = = 15 = = = 56

Задача №2 (2).

Условие:

В ящике случайным образом находится 10 рубашек, причем 4 из них высшего сорта. Покупатель берет наудачу 3 из них. Найти вероятность того, что из взятых рубашек окажется высшего сорта хотя бы 1 рубашка.

Решение:

Способ 1:

А — событие взятия 1 рубашки высшего сорта

B — событие взятия 2 рубашек высшего сорта

C — событие взятия 3 рубашек высшего сорта

R — событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта

R=A+B+C

P (A) =====

P (B) =====

P© =====

P® = P (A) + P (B) + P© = ++ =

2 способ:

А — событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта

— ни одна из рубашек высшего сорта не взята

P (A) + P () = 1 P (A) = 1 — P ()

P () = = = P (A) = 1 — =

Задача №3 (1).

Условие:

Имеется 3 партии деталей по 30 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой партии — 30, во второй — 20, в третей партии — 15. Из наудачу выбранной партии наудачу извлекают деталь, оказавшуюся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии извлекают деталь, тоже оказавшуюся стандартной. Найти вероятность того, что детали извлекались из третей партии.

Решение:

А — событие извлечения стандартной детали в каждом из двух испытаний В₁ — детали извлекались из первой партии В₂ — детали извлекались из второй партии В₃ — детали извлекались из третей партии Так как детали извлекались из наудачу взятой партии, то P (B1) = P (B2) = P (B3) =

(А) = 1 — вероятность извлечения стандартных деталей из 1 партии

(А) = • = - вероятность извлечения стандартных деталей из 2 партии

(А) = • = - вероятность извлечения стандартных деталей из 3 партии

P_A(B₃) = ==•=

Задача №4 (3).

Условие:

Отдел технического контроля проверяет на стандартность 1000 деталей. Вероятность, что деталь стандартна, равна 0.9. Найти с вероятностью 0.95 границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных.

Решение:

P = 0.9 — вероятность того, что деталь стандартна

q = 1-P = 0.1 — вероятность того, что деталь нестандартна Вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты стандартных деталей от числа P не превысит положительного числа ?, определяется из удвоенной формулы Лапласа:

= Q

Ф (105?) = =0.475

По таблице значений функции Ф (х) находим, что х = 1.96. Откуда 105? = 1.96, значит? ? 0,0186.

Таким образом, границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных, удовлетворяет равенству:

?0,0186 или 0,8814??0,9186

Отсюда искомое число стандартных деталей среди 1000 проверенных с вероятностью Q = 0.95 заключено в границах

881?m?917

Задача №5 (4).

Условие:

Экономист считает, что вероятность роста стоимости акций компании в следующем году составит 0.8, если экономика страны будет на подъёме, и 0.25, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъёма равна 0.55. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.

Решение:

А — событие, что акции компании поднимутся в следующем году Н₁ — событие, что экономика страны будет на подъёме

H₂ — событие, что экономика страны не будет успешно развиваться События Н₁ и Н₂ образуют полную группу событий. Так как:

P (H₁) = 0.55 — вероятность того, что экономика страны будет на подъёме

P (H₂) = 0.45 — вероятность того, что экономика страны не будет успешно развиваться

= 0.8 — вероятность роста акций при подъёме экономики страны

= 0.25 — вероятность роста акций при неуспешном развитии экономики страны По формуле полной вероятности получим:

P (A) = •P (H₁) + •P (H₂) = 0.8•0.55+0.25•0.45 = 0.44+0.1125 = 0,5525

Задача №6 (5).

Условие:

Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течении обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0.88, от второй — с вероятностью 0.85. Однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0.16, для второй — 0.018. В случае банкротства инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность получить прибыль?

вероятность значение степень оценка

Решение:

А — событие получения инвестором прибыли В₁ — событие банкротства первой фирмы В₂ — событие банкротства второй фирмы С₁ = В₁• - событие банкротства только первой фирмы С₂ = •В₂ — событие банкротства только второй фирмы С₃ = В₁•В₂ — событие банкротства обеих фирм С₄ = • - событие работы обеих фирм Р (В₁) = 0.16 — вероятность банкротства первой фирмы Р (В₂) = 0.018 — вероятность банкротства второй фирмы Р_С1(А) = 0.85 — вероятность получения прибыли при банкротстве только первой фирмы Р_С2(А) = 0.88 — вероятность получения прибыли при банкротстве только второй фирмы Р_С3(А) = 0 — вероятность получения прибыли при банкротстве обеих фирм Р_С4(А) = 1 — вероятность получения прибыли при работе обеих фирм Р (С₁) = 0.16•0.982 = 0.1571 — вероятность банкротства первой фирмы Р (С₂) = 0.84•0.018 = 0.0151 — вероятность банкротства второй фирмы Р (С₃) = 0.16•0.018 = 0.0029 — вероятность банкротства обеих фирм Р (С₄) = 0.84•0.982 = 0.8223 — вероятность работы двух фирм Тогда по формуле полной вероятности получим:

P (A) = P_C1(A)•P (C₁)+ P_C2(A)•P (C₂)+ P_C3(A)•P (C₃)+ P_C4(A)•P (C₄) =

= 0.85•0.1571+0.88•0.0151+0•0.0029+1•0.8223 = 0.1335+0.0133+0+0.8223 = 0,9691

Задача №7 (1).

Условие:

Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0.04. Какова вероятность того, что среди купленных 15 билетов окажется 3 выигрышных?

Решение:

Требуется найти вероятность n=3 успехов из N=15 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р=0.04. По формуле Бернулли эта вероятность равна:

P₁₅(3) = =•0.04³•0.96¹²=455•0.64•0.613=0.018

Задача №8 (6).

Условие:

Вероятность банкротства одной из 9 фирм к концу года равна 0.24. Какова вероятность того, что к концу года обанкротится не более 3 фирм?

Решение:

Будем считать событием банкротство одной фирмы. Тогда n — число событий из 9 испытаний. Требуется найти вероятность Р (n<3). Используя формулу Бернулли, получим:

Р (n<3) = p (n=0 или n=1 или n=2 или n=3) = P₉(0)+P₉(1)+P₉(2)+P₉(3) =

= +++ =

= •1•0.0846+•0.24•0.1113+•0.0576•0.1465+•0.138•0.1 927 =

= 0.0846+0.2404+0.2363+0.2234 = 0.7847

Задача №9 (1).

Условие:

Текущая цена ценной бумаги представляет собой нормально распределенную величину Х со средним =55 и дисперсией D_X=4. Найти вероятность того, что цена актива будет находиться в пределах от Х₁=53 до Х₂=57 ден. единиц.

Решение:

Так как М (Х)? =55,? = = 2, то

P (53

Задача №10 (7).

Условие:

Суммарная выручка 10 фирм в среднем равна S=11 000. В 80% случаев эта выручка отклоняется от средней не более чем на? S = 500. Найти вероятность того, что очередная месячная выручка находится в интервале между 1000 и 10 000.

Решение:

По условию задачи =P (10 500

= - =2=0.8, =0.4

то по таблице значений функции Ф (х) находим =1.28,? = =390,625

P (1000