Основы эконометрики

1. Исходные данные

аппроксимация регрессия статистический детерминация Известны следующие статистические данные, представленные в таблице 1.

Таблица 1 — Исходные статистические данные

2. Расчет параметров линейной и степенной парной регрессии

Уравнение линейной регрессии и его параметры Для расчетов параметров уравнения линейной регрессии воспользуемся методом наименьших квадратов.

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ?(y_i — y^*_i)² > min

Система нормальных уравнений.

a*n + b? x = ?y

a?x + b? x² = ?y*x

Для представленных исходных данных система уравнений имеет вид

10a + 9074 b = 4589

9074 a + 8 549 206 b = 4 356 519

Домножим уравнение (1) системы на (-907.4), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

— 9074a -8 233 747,6 b = -4 164 058,6

9074 a + 8 549 206 b = 4 356 519

Получаем:

315 458,4 b = 192 460,4

Откуда b = 0,6101

Найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 9074 b = 4589

10a + 9074 * 0,6101 = 4589

10a = -947,03

a = -94,7025

Получаем коэффициенты регрессии:

b = 0,61, a = -94,7

Уравнение регрессии:

y = 0,61 x — 94,7

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

Произведем расчет параметров уравнения линейной регрессии.

Выборочные средние.

Таблица 2 — Вспомогательная таблица для расчета параметров линейной регрессии

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение Уравнение степенной парной регрессии и его параметры Построению уравнения степенной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения.

Система нормальных уравнений.

a*n + b? ln (x) = ?ln (y)

a?ln (x) + b? ln (x²)= ?ln (y*x)

Для представленных исходных статистических данных система уравнений имеет вид

10a + 67,92 b = 60,86

67,92 a + 461,66 b = 413,86

Умножим уравнение (1) системы на (-6.79), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

— 67,92a -461,18 b = -413,25

67,92 a + 461,66 b = 413,86

Получаем:

0,48 b = 0,61

Откуда b = 1,3447

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 67,92 b = 60,86

10a + 67.92 * 1,3447 = 60,86

10a = -30.47

a = -3.047

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1,3, a = -3

Уравнение регрессии:

y = e^-3x^1.3 = 0,05x^1.3

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 3)

Рассчитаем параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Таблица 3 — Вспомогательная таблица для расчетов параметров степенной парной регрессии

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение Таким образом, в данном пункте контрольной работы были получены уравнения парной регрессии: линейной и степенной с использованием метода наименьших квадратов. Далее, согласно варианта задания, проведем оценку уравнений регрессии.

3. Показатели корреляции и детерминации

Линейной парной регрессии Опираясь на вспомогательные данные, которые рассчитаны в табл. 2, рассчитываем показатель тесноты связи.

Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, рассчитываемый с использованием формулы.

По результатам расчета коэффициента корреляции можно сделать вывод, что связь между факторным и результативным признаком прямая и сильная (по шкале Чеддока).

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.

Обычно, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R²= 0.847² = 0.7181

т.е. в 71.81% случаев изменения факторного признака приводит к изменению и результатирующего признака. Точность подбора уравнения регрессии довольно высокая. Остальные 28.19% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

Степенной парной регрессии Тесноту связи результатирующего и факторного признака для степенной парной регрессии определим с использованием коэффициента корреляции:

Подставив известные данные, получим:

Показатель детерминации.

= 0,69

т.е. в 69% случаев изменения факторного признака приводит к изменению и результатирующего признака. Точность подбора уравнения регрессии — средняя. Остальные 31% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

4. Средняя ошибка аппроксимации

Линейной парной регрессии Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

Степенной парной регрессии Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

5. Оценка с помощью F-критерия Фишера статистической надежности результатов регрессионного моделирования

Линейной парной регрессии Коэффициент детерминации R² используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.

Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.

Если расчетное значение с k₁=(m) и k₂=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m — число факторов в модели.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости б.

2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

F_табл — это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б. Уровень значимости б — вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно б принимается равной 0,05 или 0,01.

4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.

В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-б) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы:

k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32

Поскольку фактическое значение F > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Степенной парной регрессии Аналогично линейной парной регрессии проведем оценку степенной парной регрессии где m — число факторов в модели.

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости б.

2. Определяем фактическое значение F-критерия:

;

где m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

F_табл — это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б. Уровень значимости б — вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно б принимается равной 0,05 или 0,01.

4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.

В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-б) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы:

k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32

Поскольку фактическое значение F > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

По результатам анализа делаем вывод, что коэффициенты детерминации как для линейной парной регрессии, так и для степенной парной регрессии являются статистически значимыми.

Поскольку линейная парная регрессии имеет выше коэффициент (показательно) детерминации, считаем, что именно она адекватно описывает зависимость между факторным и результатирующим признаком.

6. Прогнозное значение для среднего значения Выборочное среднее для линейной парной регрессии составляет 907,4 тыс. руб. Подставляя данное значение в уравнение линейной регрессии y = 0,61 x — 94,7, получим прогнозное значение для среднего значения:

0,61*907,4−94,7=458,8 тыс. руб.

Выводы

Для представленных исходных статистических данных был проведен расчет параметров уравнения регрессии (линейной и степенной). Результаты расчетов приведены в итоговой таблице 4.

Таблица 4 — Итоговая таблица расчета

Таким образом, по результатам работы выяснено, что между средней заработной платой, выплатами социального характера и потребительскими расходами на душу населения существует прямая положительная связь, которая описывается линейной зависимостью.

1. Вентцель Е. С. Введение в исследование операций. — М., Советское радио, 1964. — 390 с.

2. Таха, Хемди А.

Введение

в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — 912 е.

3. Бережная E.В. Математические методы моделирования экономических систем: учебное пособие / Е. В. Бережная, В. И. Бережной. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 368 с.

4. Питере Т. В поисках эффективного управления / Т. Питере, Р.В. Уотер-ман. — М.: Прогресс, 1986. — 424 с.

5. Эддаус М. Методы принятия решений: уч. пособие / М. Эддаус, Р. Стенсфилд. — К.: МАУП, 2000. — 256 с.