Асимптотики решений сингулярно возмущенных задач, описывающих явление конвективной диффузии

0.1 Исторические замечания.

Дифференциальные уравнения с малым параметром при старших производных возникают при рассмотрении математических моделей физических, химических, биологических и других явлений [39], [67], [91], [47], [83]. Особое значение для исследования сингулярно возмущённых задач имеет понятие пограничного слоя, введённое Прандтлем [144]. Решения в пограничных слоях строятся в виде асимптотических рядов [107], зависящих также от погран-слойных переменных. В зависимости от исследуемых задач, разработаны различные асимптотические методы. Исследованиям по обыкновенным дифференциальным уравнениям посвящены известные работы [36], [42], [88], [125]. Часто возникают задачи, где применяются методы построения экспоненциально убывающих погран-слойных функций [40]-[43]. Однако, в ряде задач коэффициенты ряда по степеням малого параметра имеют особенности. Такие задачи носят бисингулярный характер [56]. Одним из эффективных методов, приводящих к успеху в подобных задачах, является метод согласования (сращивания) асимптотических разложений [39], [67], [56], [80]. Аналогичные ситуации имеют место также в задачах волновой оптики [25], [26], и теории релаксационных колебаний [53], [88], [106]. Другой подход к подобным задачам состоит в применении метода канонического оператора В. П. Маслова [84] - [86]. Асимптотическим методам посвящены также работы [38], [60], [66], [91], [118], [128], [135], а методу усреднения — работы [33], [55], [108].

Бисингулярные задачи также возникают при исследовании явлений тепломассообмена с учётом конвекции, в частности, конвективной диффузии. Такие задачи исследовали многие авторы:

Левич В.Г., Фукс Н. A., Acrivos A., Goddard J.D., Taylor T.D., Sih Р.Н., Newman J., Murray D., Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Ря-занцев Ю.С. и другие ([102]-[104], [133], [134], [141], [145]). Задачи конвективной диффузии в окрестностях частиц и цилиндров возникают в химической технологии [51], [74], в теории фильтрации [121], [122], [126], в биофизике [83], [146].

Характерной особенностью задач конвективной диффузии являются наличие особых точек типа седла на границе области в предельном уравнении, когда малый параметр равен нулю. В качестве примера рассмотрим эллиптическое уравнение с малым параметром при старших производных du ди .

AU + Xdx~y&y=f (X'y) t0−1-1) в прямоугольнике {(ж, у): |ж| < 1, у € (0−1)}, где 0 < е — малый параметр, А— оператор Лапласа. Это уравнение содержит некоторые особенности рассматриваемого класса задач: 1) точка 0(0, 0) является седловой точкой предельного уравнения (при е = 0), 2) после замены? = х/у/е получаем вырождающееся на границе области (при у = 0) параболическое уравнение д2и ди ди ". ., где /о (0, у) — главный член разложения функции f (x, y) при х = 0. Подобные и более общие задачи рассматривались в работе [62], где построено полное асимптотическое разложение решения по малому параметру. Для построения асимптотики применяется комбинация методов согласования [56] и регуляризации [79]. В работах [138], [139] исследовано уравнение с седловой точкой внутри области, где построение асимптотики опирается на явные формулы, а в работе [61] исследованы более общие уравнения такого типа. Однако, исследование такого рода задач не дает возможности непосредственного их применения к задачам механики, физики и другим прикладным задачам, в частности, задачам конвективной диффузии. Это обстоятельство побудило продолжить исследования, начатые диссертантом в начале восьмидесятых годов. С одной стороны, хотелось сохранить классы задач максимально приближённые к тем задачам, которые возникают в упомянутых выше публикациях (см. ссылки [47], [74] по задачам конвективной диффузии). С другой стороны, хотелось рассмотреть более трудные для исследования бисингулярные [56] задачи. Основным мотивом для автора было желание дальнейшей разработки асимптотических методов и их применение для исследования новых задач.

В приведённых выше работах ранее были исследованы, в основном, лишь главные члены формальной асимптотики по малому параметру. Исследование и построение полного асимптотического разложения и его обоснование является трудной задачей. В окрестности частицы, за исключением следа за частицей, погранслойные функции обычно носят экспоненциальный характер. Однако, в следе за частицей асимптотика носит степенной характер. В таких случаях приходится применять метод согласования асимптотических разложений. В окрестности частицы (или капли) возникают несколько пограничных слоёв, в том числе и внутренние пограничные слои. В работах [48], [50] методом согласования [39] построены главные члены формальных асимптотик как вне одиночной капли, так и вне цепочки капель (пузырей). В работах [130], [140], [147], [49] построены главные члены формальных асимптотик вне твёрдой сферической частицы и вне цепочки осесимметричных частиц. Более полное изложение результатов по задачам конвективной диффузии дано в работе [47]. Задачи с внутренними пограничными слоями возникают во многих работах. Отметим, например, работы [28]—[32], [137]. Отметим также, не претендуя на полноту, некоторые работы, посвященные математическим проблемам механики и физики: [70], [71], [81], [82], [90], [92], [96], [100], [101], [109], [111], [115].

Вклад диссертанта в развитие теории асимптотических методов состоит в следующем. В 1983;84 годах была исследована задача конвективной диффузии в малой окрестности твёрдой осесиммет-ричной частицы [4], [5]. Построено полное асимптотическое разложение решения в диффузионном пограничном слое [5]. В частности, доказано, что в окрестности седловой точки, соответствующей точке натекания жидкости к частице, дополнительный пограничный слой не возникает. Вместе с тем доказано, что в окрестности седловой точки, соответствующей точке стекания жидкости с частицы, действительно возникает дополнительный (эллиптический) пограничный слой. Построено полное асимптотическое разложение решения в эллиптическом пограничном слое [4], [6] и методом согласования асимптотических разложений получено равномерное составное асимптотическое разложение в малой окрестности частицы. Эти результаты составляют основу кандидатской диссертации [6]. Для построения асимптотического разложения решения на бесконечности (в полуплоскости) задача сводится к интегральному уравнению и применяется асимптотический аналог метода последовательных приближений [4], [57]. Далее исследовались задачи в окрестности капли [7], [8], [10]. Были решены также эллиптические задачи, поставленные в работах [147], [142] (в цитируемых работах применялись численные методы для их решения). Построены асимптотики на бесконечности решений этих задач и дано обоснование методом барьерных функций [11], [12], [14]. В работе [16] построено полное асимптотическое разложение решения в эллиптическом пограничном слое (в окрестности седловой точки, соответствующей точке стекания жидкости с капли) и доказано, что вместе с асимптотическим разложением, построенным в работах [7], [8], они дают приближения решения задачи конвективной диффузии в малой окрестности капли.

В 2000;2003 годах исследовались задачи конвективной диффузии в окрестности сферической частицы и капли с учетом химической реакции. Одна из характерных особенностей таких задачэто зависимость от двух параметров: числа Пекле Ре и постоянной скорости химической реакции кь. В случаях, когда один из параметров ограничен, задача упрощается. Задача усложняется, когда оба параметра достаточно большие. Построены асимптотические разложения решений задач конвективной диффузии в малой окрестности сферической частицы и капли с учетом линейной [15], [19] и нелинейной [17], [18], [131] объёмной химической реакции.

В 2004;2006 годах исследовались задачи конвективной диффузии в следе за каплей [21], за сферической частицей [24], где построены полные асимптотические разложения по малому параметру и дано обоснование всюду вне капли и частицы. В работах [22], [23], [132] построены главные члены формальной асимптотики задачи конвективной диффузии с учетом объёмной нелинейной химической реакции в следе за осесимметричной частицей. Следует заметить, что ранее подобные задачи исследовались на физическом уровне строгости, используя методы модельных уравнений и аналогий, и метод интерполяции. Были получены интерполяционые формулы для нахождения полного диффузионного потока [52], [105].

0.2 Основные результаты.

В диссертации строятся асимптотические разложения (а.р.) по малому параметру решений внешних краевых задач для эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных в случаях, когда предельные уравнения имеют особые точки типа «седла» на границе области. Для решения таких задач применяется метод согласования а.р.: в пограничных слоях вводятся погранслойные переменные, строятся формальные асимптотические разложения (ф.а.р.) решений, проводится обоснование. Сложность применения метода согласования состоит в том, что в пограничных слоях при нахождении структуры ф.а.р., при их согласовании и обосновании, приходится порой выполнять трудные и громоздкие вычисления. При этом в каждой задаче возникают свои специфические особенности [56], [80], [3], [44], [45], [62], [77], [95], [127].

Задача конвективной диффузии около капли. Рассмотрим математическую постановку задачи о конвективной диффузии. Для удобства обтекаемое тело будем считать сферической. При ряде упрощающих предположений стационарное уравнение конвективной диффузии в безразмерных переменных имеет вид [47] е2Аи — (V, V) u = 0, (0.2.1) где е2 = Ремалый параметр (соответствует большим числам Пекле Ре), А — оператор Лапласа, вектор — функция V для сферической частицы известна и выражается через функцию тока ф{г, в), где г, в — сферические координаты, г > 1,6? (0- 7г). В случае обтекания сферической капли в приближении Стокса функция тока имеет вид [123]: ф (г, в) = 1(г — 1)(2г — ^ - (0.2.2) где (3 — отношение вязкости капли к вязкости окружающей среды. Тогда.

1 de 1 de.

V= (vr, ve, 0), = ve =—^-дтр. 0.2.3) r? sin 0 од r sin 0 or.

Требуется построить ограниченное решение u (r, 6), удовлетворяющее условиям du и (1,0) = 0, и —У 1 при г -> оо, — = 0 при в = 7 Г, в = 0. (0.2.4).

Рис. 1 еВнешняя область, 0 — Диффузионный пограничный слой, 1- Конвективно — погранслойная область, 2 — Внутренняя область диффузионного следа, 3 — Область задней критической точки, 4 — Область смешения.

В окрестности капли возникают несколько пограничных слоёв (см., напр., [47]) (Рис.1). Во внешней области и^ = 1.

А. р. в диффузионном пограничном слое строится в переменных г] = (г — 1)?1,0. В диффузионном пограничном слое решение ищется в виде оо иЮ (ъв, е)= Е^ГМ) — (0.2.5).

Подставляя ряд (0.2.5) в уравнение (0.2.1), разлагая также коэффициенты этого уравнения, и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, приходим к следующей рекуррентной системе уравнений т соь ^ д2и^ т? соБвди^ этЯ ", ,.

ЬиТМ = -¡-ф- - + = ЛМ), (0.2.6) где правая часть (см. (1.1.13)) рекуррентно зависит от и°г], в) до I = к — 1, разлагается в асимптотический ряд при ^ —> 7 Г, ^ —^ 0- /0(т7,6>) = 0, функции Д (т7,0) = 0(ехр (-?т/2)) при к > 0 и в > еа для некоторых 6 > 0, а > 0- а при 0 0 имеют особенности при к > 2.

Функции кроме того, должны удовлетворять граничным условиям г4О)(О, 0) = 0−40) -> 1,?7 ооди^/двв=7Г = 0- 4О)(О, 0)=О-4О) 0,7/ ^ оо-ди{^/двв=п = 0- к > 0 .

0.2.7).

Функции и^ (ту, в) определяются из рекуррентной системы дифференциальных уравнений параболического типа. Линиями вырождения являются в = 7 г, в = 0. Известно (см., напр., [58], [114]), что на линии вырождения, как правило, требуется дополнительное исследование. В этом случае, как следует из работы [114] (теорема 1) на линии в = 7 г достаточно требовать условие ограниченности. Здесь обычно задают условие симметрии (равенство нулю первой производной решения по в). А значение решения на этой линии вырождения нельзя задавать. В некоторых случаях на линии вырождения решение может быть разрывной. При построении функции 4О)(т7,0) удобно перейти к переменным ж = ^(0),? = i (6>), (0.2.8) где.

0)= Г ф^Ь) sin tdt^^e) = sin20/(2(/3 + l)). (0.2.9).

J в.

Функция V0(x, t) = и^(г], в) имеет вид (см. [47], гл. 1, § 2, (2.13)):

V0(x, t) = erf (^=). (0.2.10).

В работах [7], [8] построены функции ufr), 9)(k > 0) и иследова-ны асимптотические разложения решений при в —> 7 Г, в —> 0. Эти функции экспоненциально убывают на бесконечности, за исключением следа за частицей (см. области 1 — 4). Доказано, что функции ufr], 0) являются гладкими при 0 < в < 7 г, 77 > 0. Таким образом, доказано, что в окрестности точки 01(1,7г) (точки набегания потока к капле) никаких других пограничных слоёв не возникает. При в —> 0 функции имеют особенности для к > 2. Поэтому приходится дополнительно исследовать исходную задачу в окрестности седловой точки 02(1,0).

В области задней критической точки 3 (точки стекания жидкости с капли) асимптотическое разложение решения строится в переменных? = т] = (г — 1) е—1 и ищется в виде оо оо.. Е^'е Е е*ки§(Ьт1). (0.2.11).

0 к=2.

Подставляя ряд (0.2.11) в уравнение (0.2.1) (разлагая также коэффициенты уравнения) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ?, 1п е приходим к следующей рекуррентной системе уравнений.

0.2.12) где? д£ д£/ + дг]2 + 2 <9? правые части рекуррентно зависят от до / = к — 1, разлагаются в асимптотические ряды степенного типа (с логарифмическими множителями от £, г/), растущие на бесконечности.

Функции строятся как решение системы (0.2.12), удовлетворяющее граничным условиям и[ 2к, 0) = 0, = 0 при? = 0 (0.2.13) и условиям согласования и^к&ч) ~ 0 при £->оо (0.2.14) для любого фиксированного т/, где 77) получены путем перехода в сумме (0.2.5) к переменным разложения в ряд по степеням е, 1п е. Сначала исследуется уравнение.

1 д [^.диХ д2и? ди ди в полуплоскости И: {(?,?/): ? Е Л1,?? > где, а > 0, функция /(?? г7) стремится к нулю на бесконечности и достаточно гладкая. В работе [10] доказана теорема существования, получены оценки решения и построено асимптотическое разложение решения при 77 —у со. Затем строится асимптотическое разложение решения по малому параметру (строятся функции 7)) и иследуются асимптотические свойства на бесконечности функций. Проводится обоснование, пользуясь условием согласования и барьерными функциями [16].

А.р. решения в конвективно — погранслойной области 1 строится в переменных г = е~1гф (г, 6) = ?-1/(у)?2,у = г — 1. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в области 0. А. р. решения в области 1 ищем в виде ряда оо к — 1.. и{1г, у, е) =? е* ?1п*еи$(г, у). (0.2.15) л=0 ?=0.

В уравнении (0.2.1) перейдем к переменным г, у и, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.15), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, 1п г, приходим к системе /?>(*,"), (0.2.16) где правые части имеют оценки порядка 0((у~к (гк + 1) + укг~~к) ехр (—5г2)). Требуется найти а. р. решения уравнения (0.2.16), удовлетворяющее условиям согласования для функций г^ при у —" 0 о (уаг~1 ехр (—5г2)) (0.2.17) для любого, а? (0,½),/ > 0. Здесь функции получены переписыванием а. р. функции в, е) при 9 —> 0 и г отделенных от нуля в переменных г, у. Функции построены в работе.

21].

А.р. решения в области 2 (во внутренней области диффузионного следа) ищем в переменных С = е~2/Ф, у = г — 1. Вид а.р. решения определяется структурой а.р. решений в областях 1, 3 вблизи области 2. А.р. решения в области 2 ищем в виде ряда.

00 к—1.. и[2Су, е) =? (0.2.18) к=1 г=0.

В уравнении (0.2.1) перейдем к переменным (, у и, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.18), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях приходим к системе /}$((, V), (0.2.19).

КсУ = (С-щ.) «и справедливы оценки = 0(у~к (1 + |ж|)А), х = —(/(2у).

Эти уравнения являются вырождающимися при С = 0 параболическими уравнениями. В работе [114] доказаны теоремы существования и единственности в классе ограниченных функций. Требуется построить гладкие решения уравнений (0.2.19), удовлетворяющие условиям ди{2) 0 при С = (0.2.20) условиям согласования при С —-> оо.

С, У) — = о (уа (1 + СГт) (0.2.21) для любого, а? (0,½) и условиям согласования при у —" 0.

С" у) — (С, у) — °(уа (1 + СУ) (0.2.22) для любого, а Е (0,½), где функции получены переписыванием а. р. (0.2.5) (при в —> 0 и х > х^ > 0), (0.2.11) (при г) —> оо) в переменных Функции построены в работе [21].

А. р. решения в области смешения 4 строится в переменных г = ?-1т/>(г, в), р = ег = е (у + 1). Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в областях 1, 2. А.р. решения в области 4 ищем в виде ряда оо к—1,. Е е* Е 1п 1еи§(х, р). (0.2.23) к-0 г=0.

В уравнении (0.2.1) перейдем к переменным г, р и, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.23), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ?, 1п ?, приходим к системе.

0.2.24) где дг (дг> др■

Заметим, что левые части уравнений этой системы такого же вида, что и в области 2. Отличие состоит в том, что в области 2 классы функций были растущие на бесконечности, а здесь функции экспоненциально убывают при г —> со и имеют особенности при р —> 0. Аналогичную сруктуру имеют и правые части. Кроме того, условия согласования получены согласованием а. р. в пограничных слоях 1, 2 по переменным при у —> со. Условия согласования для функций при р —> 0 имеют вид.

Р) ~ (*,*>) — о (р°(ехр (-6г2) + (1 + И)" ')) (0.2.25) для любого, а Е (0,½),/ > 0, где функции получены переписыванием согласованных а. р. (0.2.15), (0.2.18) при у —> оо в переменных z, p. Кроме того, должно выполняться условие ди{А) y/s-jf- = о при 5 — 0. (0.2.26).

Функции ufl (z, р) в классе гладких функций построены в работе [21]. Далее проводится обоснование [21], используя барьерные функции.

Задача конвективной диффузии около частицы. Рассматривается стационарное уравнение конвективной диффузии е3Аи — (V, V) ii = 0, (0.2.27) где ?3 = Ре-1 — малый параметр. Вообще говоря, внешний вид уравнения такой же, как и уравнение (0.2.1). Но ввиду изменения функции тока (см. ниже), следовательно и масштабов растяжения в пограничных слоях, удобнее множитель писать в виде г3. В случае обтекания твердой сферической частицы стоксовым потоком функция тока имеет вид [123]: ф (г, в) = i (r — I)2 +) sin2 9. (0.2.28).

Требуется построить ограниченное решение и (г, в) уравнения (0.2.27), удовлетворяюшее условиям ди и (г, 9) = 0 при г=1, U —У 1 при Г —> оо, —- — 0 при 9 — 7 г, 9 = 0. о9.

0.2.29).

В окрестности частицы возникают пограничные слои такого же вида как и на рисунке 1. Но масштабы несколько другие (см. [147], [47]). Во внешней области и^ = 1. Функция тока на поверхности сферы обращается в нуль вместе с первой производной. Задача в этом случае усложняется. А. р. в диффузионном пограничном слое строится в переменных r? = (3/2)1/, 3(г — 1) е-1,9. В этом пограничном слое решение ищется в виде.

ОО.. u{Qr}, 9, e) =? ekufr?, 9). (0.2.30) к—0.

0.2.32).

Подставляя ряд (0.2.30) в уравнение (0.2.27) (разлагая также коэффициенты уравнения) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, приходим к следующей рекуррентной системе уравнений g-^costfg-Hsinog = ifM), (0.2.31) где F0(r], e) = 0, функции Fk (r], в) = 0(ехр (-5т/3)) при к > 0 и в > еа для некоторых 5 > 0, а > 0- а при в —> 0 имеют особенности.

Функции кроме того, должны удовлетворять граничным условиям.

4О)(О, 0) — 0−40) 1 = 0;

40)(0,0) = 0−40) 0, г7 оо-ди{^/дев=1Т = 0- к > 0 .

Система дифференциальных уравнений (0.2.31) — параболического типа, вырождающаяся на границе области. В работах [5], [7] построены функции и^г]ув) и иследовано асимптотическое разложение решения при в —> 7 г, в —> 0. Эти функции экспоненциально убывают на бесконечности, за исключением следа за частицей. Доказано, что функции и^г}, в) являются гладкими при 0 < в < тг, т] > 0. Таким образом, доказано, что в окрестности точки Oi (l, 7r) (точки набегания потока к частице) никаких других пограничных слоёв не возникает. При 0—^0 функции ufr?, 6) имеют особенности для к > 2. Поэтому приходится дополнительно исследовать исходную задачу в окрестности седловой точки Ог (1, 0).

В области задней критической точки (точки стекания жидкости с частицы) асимптотическое разложение решения строится в переменных f = (3/2)1/3ве~ г] = (3/2)1/3(г — 1) е~1 и ищется в виде оо оо. .? ln?? ? (0.2.33) г=0 к-1.

Подставляя ряд (0.2.33) в уравнение (0.2.27) (разлагая также коэффициенты уравнения) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, 1п е приходим к следующей рекуррентной системе уравнений.

1 д. д2 ^ д 2д где правые части рекуррентно зависят от Щ1 до I = к — 1, а на бесконечности разлагаются в асимптотические ряды степенного вида с множителями, зависящими от 1п?7,1п^.

Функции строятся как решение системы (0.2.34), удовлетворяющее граничным условиям.

432(?, 0) = 0, дАМЛ = 0 при? = о, (0.2.35) и условиям согласования.

К' V) — «7) 0 при? оо (0.2.36) и при любом фиксированном 77, где V) получены путем перехода в сумме (0.2.30) к переменным ?, 77, разложения в ряд по степеням е, 1п ?.

Асимптотические ряды (0.2.30), (0.2.33) были построены в кандидатской диссертации ([4], [5], [6]). Во второй главе построение этих рядов и их согласование приводятся для полноты изложения, а так же для удобства чтения и не выносятся на защиту. Заметим так же, что для главного члена асимптотического разложения (0.2.33) были изучены асимптотические свойства на бесконечности, но не было установлено согласованность с ранее известными решениями в следе за частицей. Поэтому потребовалось дополнительное исследование [11], [12]. Ранее главный член асимптотики был построен численными методами [147].

А.р. решения в конвективно — погранслойной области 1 строится в переменных 2 — e~lJip{r, 9) = e~HJf (y), y = г — 1. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в области 0. А. р. решения в области 1 ищем в виде ряда u{1)(z, y, s) = 5>* Е Inу). (0.2.37) к=0 ?=0.

В уравнении (0.2.27) перейдем к переменным z, y, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.37), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, 1пе, приходим к системе.

0.2.38) где правые части имеют оценки порядка 0((y~k (zk + 1) + ykz~k) ехр (—5z3)). Требуется найти а. р. решений уравнений (0.2.38), удовлетворяющие условиям согласования для функций г4″ 2 при у —" 0.

Шг>У) — Witk{z, y) = o (yaz~l ехр (—<5z3)) (0.2.39) для любого о: G (0,½),/ > 0. Здесь функции W^k{z, y) получены путем перехода в сумме (0.2.30) при в —> 0 и z, отделенных от нуля, к переменным z, y, разложения в ряд по степеням е, Ine. Функции построены в работе [24]. А.р. решения в области 2 (во внутренней области диффузионного следа) ищем в переменных? = e~2ip, y = г — 1. Вид а.р. решения определяется структурой а.р. решений в областях 1, 3 вблизи области 2. А.р. решения в области 2 ищем в виде ряда tzLil 2 /1 и{2)(СУ, е) = Е ^ Е In’sufliCy). (0.2.40) к= 1 ?=0.

В уравнении (0.2.27) перейдем к переменным подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.40), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, Ine, приходим к системе.

0.2.41) где.

Ь^У = - ^ 2дС{СдС) ду>

Р0(, о (С>2/) = о, и справедливы оценки ^(СзО = 0{у~к/2{ 1 + |®|)*), ж = —С/(22/) — Левые части этих уравнений те же, что и в уравнениях (0.2.19), но здесь классы функций другие. Требуется построить гладкие решения уравнений (0.2.19), удовлетворяющие условиям ди (2) 0 при ^^^ (0.2.42) условиям согласования при? —>• оо.

422(С, у) — = о (у"(1 + СГт) (0.2.43) для любого, а 6 (0,½) и условиям согласования при у —" 0.

— = о (У<*(1 + СУ) (0.2.44) для любого, а е (0,½), где функции у), у) получены переписыванием а. р. (0.2.30) (при в —> 0 и а- > жо > 0), (0.2.33) (при г} —> оо) в переменных (~, у. Функции построены в работе [24].

А. р. решения в области смешения 4 строится в переменных г =? 1А/'(Г' Р = £(г — = £у/2- Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в областях 1, 2. А.р. решения в области 4 ищем в виде ряда оо ?—1 .V и{А)(*>Р>е) = (0.2.45) к=0 г=0.

В уравнении (0.2.27) перейдем к переменным г, р, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.45), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ?, 1п ?, приходим к системе.

Ь%1и§(г, р) = Р$>(г, рЪ (0.2.46).

LW = ! — ™ х ~ zdzK dz) др' здесь функции F??(z, p) экспоненциально убывают при z оо и имеют особенности при р —"¦ 0. Условия согласования для функций при р —"¦ 0 имеют вид $(*,/>) «= о (р"(ехр (-«Ь2) + (1 + s)~l) (0.2.47) для любого, а € (0,½),/ > 0, где функции W^(z, p получены переписыванием согласованных а. р. (0.2.37), (0.2.40) при у —ь оо в переменных z, p. Кроме того, должно выполняться условие.

Q (4) y/s^^- = 0 при 5 = 0. (0.2.48) os.

Функции u^l (z, p) в классе гладких функций построены в работе [24], там же дано обоснование справедливости составного асимптотического разложения.

Задача конвективной диффузии с учетом химической реакции. Рассматривается краевая задача для стационарного уравнения конвективной диффузии при наличии объемной химической реакции (см. [47], гл. 5, (6.1)-(6.3)).

AU = Pe (V • V) U + kvF (U), (0.2.49) dU.

U = 1 при г = 1- U —у 0 при г —"¦ оо —— = 0 при 9 = 7 Г, 9 = 0, о9.

0.2.50) где V = (K, V?, 0), Vr = (r2sin6)-1dip/d9, Ve = ~{rsin9)~ld^ / дг, функция тока, г, 9— сферические координаты, А— оператор Лапласа, Ре— число Пекле, kv — число, определяемое скоростью химической реакции, угол в отсчитывается от направления потока на бесконечности. В случае обтекания сферической частицы функция тока имеет вид (см., например, [123]) ф (г, 9) = sin2 9(г — 1)2(2 + 1 /г)/4. (0.2.51).

Будем считать, что выполнены следующие условия.

Условие А. Функция F (и) монотонно возрастает, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0- 1] и такая, что.

F: [0- 1] [0- 1], F (0) = 0. (0.2.52).

Некоторые свойства асимптотических решений будут также исследоваться при дополнительных условиях:

F (u) в Cfc (0,l), где к> 1. (0.2.53).

Требуется найти асимптотику по малому параметру е — Ре-1/3 ограниченного решения задачи (0.2.49), (0.2.50). Наиболее трудным является случай, когда Ре >> 1, >> 1. В данной работе предполагается, что величина /л. = kv/Pe2//3 — постоянная. В этом случае все слагаемые в уравнении (0.2.49) одного порядка в окрестностях седловых точек. При рассмотрении твердых частиц для удобства введем малый параметр s = Ре-1/3 и перепишем уравнение (0.2.49) в виде.

Leu — &bdquo-пю, АН/ - - %%) — .чт = о.

0.2.54).

Уравнение (0.2.54) при е — 0 имеет особые точки Oi (l, 7г), Ог (1, 0) седлового типа.

Во внешней области е решение и^ = 0.

А. р. решения в диффузионном пограничном слое строится в переменных х — e~lf3~l{r — 1), 0, где ?3 = (2/3)1/3. Функция 9, е) ищется в виде гг (0)(х, в, е) = щ{х, в) + 0(e). (0.2.55).

Для определения щ (х, 6) получаем задачу д2щ 9 &bdquo-дщ. лдщ у- - ж2 cos + ж sin вfJ. F (u0(x, в)) = О, (0.2.56) ди щ (0,в) = 1- щ (х, в) 0 при ж оо,^(ж, тг) = 0. (0.2.57) ид.

Уравнение (0.2.56) является квазилинейным параболическим, вырождающимся на границе области. Асимптотика щ (х, 0) при 0 —" 7 г строится в виде гго, о (ж) + 0((7г-6')2). (0.2.58).

Для определения главного члена асимптотики при 0 —" 7 г получаем задачу г/0'0(ж) + Л'00(ж) — ^(гг0о (®)) = 0. (0.2.59) моо (О) = 1 —^оо —> 0 при х —" оо. (0.2.60).

Доказано существование решения задачи (0.2.59), (0.2.60), удовлетворяющее оценке.

Що{х)) < ехр (—ж3/6). (0.2.61).

Функция и${х, в) удовлетворяет условиям гг0(г, 9) = гг00(ж) + 0((тг — в)2 ехр (-7ж3)) (0.2.62) для некоторого у > 0 при 0 —" 7 Г, и оценке гх0(ж, 6>)| < Мехр (-7Ж3), М > 0 (0.2.63) в области I) = {ж, 0: х > О^е" < 0 < 7г}, 1/ € (0,1), 71 > 0. Асимптотика функции щ (х, в) при 0 —" 0.

При исследовании асимптотики функции ^(ж,^ при 0 —> 0 будем использовать также переменные г = е~1/ф, т = т (0), где г = (л/3/8)(7Г — 0 + вт20/2) и обозначим и0(£, 0) = т). Дело в том, что асимптотика функции «о (£, 0) при 0 —» 0 носит различный характер для малых г и для значений г, отделенных от нуля.

Сначала рассмотрим случай малых значений г. В этом случае асимптотика функции щ (х, 0) при 0 —" 0 ищется в виде щ (х, 0) =^о (ж) + О (02) (0.2.64).

Функция Уо (х) строится как решение задачи у'^(х) — х2у'0(х) —^Е (у0(х)) = 0, (0.2.65) у0(О) = 1 — г/0(а:) = 0(1) при х > 0. (0.2.66).

Справедлива теорема [22]:

Теорема 1 Пусть Е (и) удовлетворяет условиям (0.2.52) и (0.2.53).

Тогда существует ¿-¿-о > 0, что для всех /х Е (0,^о) при х —> оо для решения задачи (0.2.65), (0.2.66) справедливо асимптотическое представление у^х) = с0 + с 10Г1 + с2ж-2 + • • • + скх~к + 0(х~к1), (0.2.67) где со Е (0,1), а коэффициенты сп при п > 0 определяются из системы.

С1 = иР (сп). Со = иРЧсАсл /2.

0.2.68) с 1 = /?Р (с0), с2 = /?Р'(с0)с½, С3 = ^(Псо)С2 + ^ЫС?/2)/3,.

Переходим к исследованию свойств функции щ{х, 6) при в —> 0 для значений отделенных от нуля. Такое исследование дает возможность построить асимптотику решения в конвективно-погранслойной области (область 1) и доказать согласованность в некоторой промежуточной области между областями 0 и 1 (см. рис. 1). Как было отмечено в начале этого пункта, удобно перейти к переменным г, т. При этом функция У$(г, т) = щ (х, в) удовлетворяет уравнению — г^ - г)) = 0, (0.2.69) где д (т) = до (го — т)~2//3[1 + О ((то — т)2/3)]. Требуется исследовать асимптотические свойства решения уравнения (0.2.69), удовлетворяющего условию.

Щг,<�£) = <�р (г), (0.2.70) где (р (г) удовлетворяет оценке — 0(ехр (—11^))-, > 0,71 >

0. Для решения задачи (0.2.69), (0.2.70) справедливо интегральное уравнение.

V0(z, г) = /о°° CG (z, т-d, CM CR + rr roo.

Jd y0 qF (V0)G (z, r-t, CK.

Теорема 2 Пусть F (u) удовлетворяет условию, А и условию (0.2.53). Тогда найдутся число ц* > 0 и точка M*(z*, т*), где z* > zq, t* G (d, tq), го — d = еа такие, что на множестве D^ — {(z, t), z > z*, т — т*| < е7}, для zо = sai и любого р, G (0,??*) справедливо асимптотическое представление.

V0(z, т) = V0{z) + 0(eQ/3) при е -> 0 (0.2.72) для" 7 > 2а «некоторых ai, а G (0,1). Функция Vq (z) монотонно убывает, удовлетворяет условию.

V0(z*) = со, (0.2.73) где со- 7710 же число, что и в теореме 1, и оценке.

0 < V0(z) < М2 exp (-72z3), М2 > 0,72 > 0. (0.2.74).

Итак, для функции ио (ж, 0) при в —" 0 справедлива асимптотика m i «оф + О (02) г = О (^) г*о (М) = <, .. а/3. «(0.2.75) МК2) + 0{? ') при Z > Z для е —» 0 и некоторых S > 0, а > 0..

Асимптотика в диффузионном следе. Область диффузионного следа состоит из областей 1, 2, 3, 4. В области 3 задней критической точки удобно ввести локальные координаты? = ?1(3/2)1/30, х = 1(3/2)1/'3(г — 1). Тогда, для определения главного члена разложения в области 3 получаем задачу еве Гаг) ±а*+(х-8Г-*-ёГ-«Р1°') = 0' (0'2'76).

9и>(3) ги^К, 0) = 1- -щ- = 0 при? = 0-.

3)(£>х) — Мх) 0 пРи € (0.2.77) гдеио (ж) — решение задачи (0.2.65)-(0.2.66). Тогда функция к/3) = у0(х) есть решение задачи (0.2.76)-(0.2.77)..

1. Аксельруд Г. А. Массообмен тел сферической формы с потоком жидкости // Инж.-физ. журн. 1970. Т. 19. N 1. С. 110−112..

2. Астарита Дж. Массопередача с химической реакцией. JL, Химия, 1971..

3. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных // Дифф. уравнения. 1982. Т. 18. N 3. С. 440−450..

4. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного уравнения диффузии в полуплоскости // Дифф. уравнения.1983. Т. 19. N 2. С. 287−294..

5. Ахметов Р. Г., Асимптотика решения краевой задачи для одного уравнения диффузии // Дифференц. ур-ния с малым параметром. Свердловск: Ин-т матем. и механ. Ур. НЦ АН СССР, 1984. 3−17..

6. Ахметов Р. Г., Асимптотика решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения, описывающего явление диффузии около частицы. Дисс.. канд. физ.-мат. наук, Уфа, 1986..

7. Ахметов Р. Г. Метод согласования в задаче о диффузии к частице // Матем.заметки. 1990. Т. 47, Вып. 5. С. 144−146..

8. Ахметов Р. Г. Асимптотика по малому параметру решения уравнения диффузии вне капли // Асимптотические решения задач математической физики: сборник научных статей / БНЦ УрО АН СССР. Уфа, 1990. С. 3 16..

9. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного эллиптического уравнения // Дифференц. ур-ния. 1997. Т. 33(11). С. 1552 1554..

10. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи для уравнения диффузии в окрестности седловой точки у предельного оператора //Докл. РАН. 1998. Т. 362. N 6. С. 727−728..

11. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения задачи конвективной диффузии около сферы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1998. Т. 38. N 5. С. 801−806..

12. Ахметов Р. Г. Оценки решений краевой задачи для одного уравнения диффузии в полуплоскости // Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы. Сб. науч. тр.: В 2 ч./ Междунар. науч. конф., Стерлитамак, СГПИ, 1998. С. 5−9..

13. Ахметов Р. Г. Об асимптотике решения задачи конвективной диффузии около цилиндра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1999. Т. 39. N 4. С. 612−617..

14. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения одной задачи конвективной диффузии с двумя параметрами // Труды междунар. конф. Комплексный анализ, дифференц. ур-ния и смежные вопросы. II. Дифференц. ур-ния. Уфа: Ин-т матем. с вычисл. центром РАН, 2000. С. 10−15..

15. Ахметов Р. Г. Асимптотическое разложение решения задачи о конвективной диффузии около осесимметричной капли // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. N 10. С. 1541−1553..

16. Ахметов Р. Г. Об асимптотике решения задачи конвективной диффузии около сферы с объемной реакцией // Кубатур-ные формулы и их приложения. Труды VI-го международного семинара-совещания, Уфа, 2−7 июля 2001 г., ИМВЦ УНЦ РАН, БГПУ. 2002. С. 5−14.

17. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения задачи о конвективной диффузии с объемной химической реакцией // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т.42. N 10. С. 1600−1608..

18. Ахметов В. Р., Ахметов Р. Г., Загидуллина A.B. Асимптотика решения одного квазилинейного эллиптического уравнения // Уч. записки: Сб. науч. тр. Уфа, 2003. С. 12−17..

19. Ахметов Р. Г. Асимптотическое разложение решения задачи конвективной диффузии в следе за каплей. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44. N 6. С. 1062−1078..

20. Ахметов Р. Г., Существование и асимптотики решений одного класса квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференц. ур-ния. 2005. Т. 41. N 6. С. 723−729.

21. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения задачи конвективной диффузии с объемной химической реакцией в следе за частицей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. N 5. С. 834−847..

22. Ахметов Р. Г. Асимптотическое разложение решения задачи конвективной диффузии в следе за сферической частицей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. N 10. С. 18 221 837..

23. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1970, 456 с..

24. Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974, 124 с..

25. Бабенко К. И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002, 848 с..

26. Бабенко К. И., Введенская Н. Д., Орлова М. Г. Расчет стационарного обтекания кругового цилиндра вязкой жидкостью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т.15. N 1.0. 183−196..

27. Байдулов В. Г., Матюшин П. В., Чашечкин Ю. Д. Структура течения, индуцированного диффузией, около сферы в непрерывно стратифицированной жидкости // Докл. РАН. 2005. Т. 401. N 5. С. 1−6..

28. Батищев В. А. Автомодельные решения, описывающие нестационарные термокапиллярные течения жидкости // Прикл. матем. и механ. 1995. Т. 59. N. 6..

29. Батищев В. А. Ветвление автомодельных решений, описывающих термокапиллярные течения жидкости в тонком слое// Прикл. механ. и техническая физика. 1999. Т. 40. N. 3..

30. Батшцев В. А., Хорошунова Е. В. Возникновение вращательных режимов термокапиллярных течений неоднородной жидкости в слое // Прикл. матем. и механ. 2002. Т. 64. N. 4..

31. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах, М. Наука, 1984..

32. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, Т. 1, 1973, Т. 2, 1974..

33. Бернштейн С. Н. Ограничение модулей последовательных производных решений уравнений параболического типа. Докл. АН СССР, Т. 18. N. 7.(1938), с. 385−388..

34. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 503 с..

35. Броунштейн Б. И., Фишбейн Г. А. Гидродинамика, массо и теплообмен в дисперсных системах. Л.: Химия, 1977, 280 с..

36. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1982, 294 с..

37. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. 310 с..

38. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // УМН, 1963, Т. 18. N. 3. С. 15−86.

39. Васильева А. Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966;1976 // УМН, 1976, Т. 31. N. 6. С. 102−122.

40. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука. 1973, 272 с..

41. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 5. С. 3−120.

42. Гадылынин Р. Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной самосопряженной эллиптической задачи с малым параметром в граничных условиях // Дифференц. ур-ния. 1986. Т. 22. N 4. С. 640 652..

43. Гадылыпин Р. Р. Метод сращиваемых асимптотических разложений в задаче об акустическом резонаторе Гельмгольца / / Прикл. матем. и механ. 1992. Т. 56. Вып. 3. С. 412−418..

44. Головин А. М., Животягин А. Ф. Влияние объемной химической реакции на массоперенос внутри капли при больших числах Пекле // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. и механ. N 4 (1979) 77−83..

45. Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Рязанцев Ю. С. Массотеплообмен реагирующих частиц с потоком. М.: Наука, 1985..

46. Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Рязанцев Ю. С., Массоперенос в диффузионном следе капли при стоксовом обтекании // Прикл. матем. и механ. 1977. Т. 41. Вып. 2. с. 307−311.

47. Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Рязанцев Ю. С. О массообмене частиц, расположенных на оси потока, при больших числах Пекле // Изв. АН СССР, МЖГ. 1977. N 2. С. 64−74..

48. Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Рязанцев Ю. С. О диффузии к цепочке капель (пузырей) при больших числах Пекле // Изв. АН СССР, МЖГ. 1978. N 1. С. 59−69..

49. Данквертс П. В. Газожидкостные реакции / Пер. с англ. М.: Химия, 1973.

50. Дильман В. В., Полянин А. Д., Метод модельных уравнений и аналогий в задачах о конвективном массообмене с поверхностными и объемными реакциями // Хим. промышленность. 1983. N 1. С. 238−241..

51. Дородницын A.A. Асимптотика решения уравнения Ван-дер-Поля // Прикл. мат. и мех. 1947. Т. 11, вып. 3. С. 313−328..

52. Животягин А. Ф. Влияние гомогенной химической реакции на распределение концентрации в диффузионном следе капли // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. и механ. 1980. N 6. С. 73−78..

53. Жиков В. В., Козлов С. М. Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Изд. фирма «Физ.- мат. лит.», 1993, 464 с..

54. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989..

55. Ильин A.M. Асимптотика решения краевой задачи для уравнения Пуассона вне цилиндра и вне полуцилиндра // Матем. сборник. 1982. Т. 118. 2. С. 184−202..

56. Ильин A.M. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения // Матем. сборник. 1960. Т. 50(92). N 4. С. 443−498. С. 184−202..

57. Ильин A.M., Сулейманов Б. И. О двух специальных функциях, связанных с особенностями типа сборки // Докл. РАН. 2002. Т. 387. N 2. С. 156−158..

58. Итс А. Р., Капаев A.A., Новокшенов В. Ю., Фокас A.C. Транс-ценденты Пенлеве. Метод задачи Римана. Москва-Ижевск, 2005..

59. Калякин JL А. Эллиптическое возмущение динамической системы с седловой точкой на границе области // Метод согласования асимптотических разложений в задачах с сингулярными возмущениями. Башк. Филиал АН СССР. Уфа. 1980. С. 3 33..

60. Калякин JI. А. Асимптотики решений уравнений главного резонанса // Теор. и мат. физика, 2003. Т.137, N 1, с. 142−152..

61. Калякин JI. А. Асимптотическое решение задачи о пороговом эффекте для уравнений главного резонанса // Дифференц. ур-ния. 2004. Т. 40. N 6. С. 731 739..

62. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

63. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. об-ва. 1967. Т. 16. С. 209−292..

64. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 274 с..

65. Крылов. В. С. Диффузионный пограничный слой на поверхности движущейся капли при наличии объемной химической реакции // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1967. N 1. С. 146−149..

66. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир.1964. 830 с..

67. Кузнецов В. В. О существовании пограничного слоя вблизи точки трехфазного контакта // Сиб. мат. журн. Т. 41, N 3. 2000. С.635−647..

68. Кузнецов В. В. О задаче продолжения пограничного слоя Пран-дтля // Дифференц. ур-ния. Т. 36, N 7. 2000. С.898−902..

69. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1977..

70. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с..

71. Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959..

72. Левич В. Г., Крылов В. С., Воротилин В. П. К теории нестационарной диффузии из движущейся капли // Докл. АН СССР, 1965, т. 161, 3, с. 648−652..

73. Леликова Е. Ф. Об асимптотике решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных // Дифференц. ур-ния. 1976. Т. 12. N 10. С. 18 521 865..

74. Леликова Е. Ф. Асимптотика решения эллиптического уравнения с малым параметром в области с конической точкой // Дифференц. ур-ния. 1983. Т. 19. N 2. С. 305−317..

75. Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987..

76. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981, 398 с..

77. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во. Тбил. ун-та, 1981. 206 с..

78. Макаренко Н. И. Второе длинноволновое приближение в задаче КошиПуассона // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1986. Вып. 77. С. 56−72..

79. Макаренко Н. И. Асимптотика несимметричных внутренних волн // Вычислительные технологии. 1993. Т. 2, N 4. С. 2229..

80. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983, 400 с..

81. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. 549 с..

82. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977. 384 с..

83. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976, 296 с..

84. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.- М.: ИЛ. 1957. 256 с..

85. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975, 247 с..

86. Мовчан Н. В., Назаров С. А. О напряженно-деформированном состоянии вблизи вершин конусов // Прикл. мат. и мех. 1990. Т. 52, N 2. С. 281−293..

87. Мукминов Ф. Х. О скорости убывания сильного решения первой смешанной задачи для систем уравнений Навье-Стокса в областях с некомпактными границами // Матем. сборник, 1993. Т. 184. N 4. С. 149−160..

88. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976, 455 с..

89. Налимов В. И., Пухначев В. В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей. Новосибирск: НГУ, 1975..

90. Натансон Г. Л. Диффузионное осаждение аэрозолей на обтекаемом цилиндре при малых коэффициентах захвата. Докл. АН СССР, Т. 112(1), 1957, с. 100−103..

91. Новокшенов В. Ю. Асимптотика решения сингулярного интегрального уравнения с малым параметром // Матем. сборник.1976. Т. 100. N 3. С. 455−475..

92. Новокшенов В. Ю. Сингулярное интегральное уравнение с малым параметром на конечном отрезке // Матем. сборник. 1978. Т. 105. N 4. С. 543−573..

93. Овсянников Л. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск..

94. Олвер Ф.

Введение

в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978,376 с..

95. Олейник O.A., Вентцель Т. Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа // Матем. сборник. 1957. Т. 41, N 1. С. 105−128..

96. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961..

97. Плотников П. И. Разрешимость задачи о пространственных гравитационных волнах на поверхности идеальной жидкости // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251, N 3. С. 591−594..

98. Плотников П. И. Обоснование гипотезы Стокса в теории поверхностных волн // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, N 1. С. 80−83..

99. Полянин А. Д., Некоторые качественные особенности внутренних задач конвективного тепло и массообмена в областях с замкнутыми линиями тока // Изд. АН СССР, Механ. жидкости и газа. 1983. N 5. С. 116−125..

100. Полянин А. Д., Качественные особенности внутренних задач нестационарного конвективного массо и теплоообмена при больших числах Пекле // Теор. основы хим. технол. 1984. Т. 18. N 3. С. 284−296..

101. Полянин А. Д., О нестационарном конвективном массои теплообмене капли при соизмеримых фазовых сопротивлениях // Жур. прикл. мех. и техн. физ. АН СССР, Сиб. отд. 1984. N 3. С. 105 116..

102. Полянин А. Д., Дильман В. В., Асимптотическая интерполяция в задачах массо и теплопереноса и гидродинамики // Теор. основы хим. технол. 1985. Т. 19. N 1. С. 3−11..

103. Понтрягин JI.C. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // Изв. АН СССР, сер. матем. 1957. Т. 21. N. 5. С. 605−626..

104. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды, т. 1. М.: Наука, 1971..

105. Пятницкий A. JL, Чечкин Г. А., Шамаев А. С. Усреднение. Методы и приложения. Новосибирск: Изд-во «Тамара Рожков-ская», 2007.-264 с. (Белая серия в математике и физике. Т. 3..

106. Радкевич Е. В. Математические вопросы неравновесных процессов. Новосибирск: Изд-во «Тамара Рожковская», 2007.-300 с. (Белая серия в математике и физике. Т.4).

107. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Числе-ные методы решения жестких систем. М. Наука, 1979, 208 с..

108. Рамазанов М. Д. Задача об обтекании тонкого крыла с острой задней кромкой невязкой несжимаемой жидкостью // Математический анализ и смежные вопросы математики.-Новосибирск: Наука, 1978.-С. 224−236..

109. Риекстынып Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. Рига: Зинатне, 1974. Т.1. 390 с..

110. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений.-М.: Наука, 1978..

111. Смирнова Г. Н. Линейные параболические уравнения, вырождающиеся на границе области // Сибирский матем. журнал. 1963, Т. 4. N 2. С. 343−358..

112. Тешуков В. М. О гиперболичности уравнений длинных волн. Докл. АН СССР. 1985. Т. 284, N 3. С. 555−559..

113. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем сб. 1948. Т. 22 (64). N. 2. С. 193−204..

114. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем сб. 1950. Т. 27 (69). N. 1. С. 147−156..

115. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983. 352 с..

116. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967.

117. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.- М.: Мир. 1968. 427 с..

118. Фукс Н. А., Стечкина Н. Б. К теории волокнистых аэрозольных фильтров // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146. N 5. С. 11 441 146..

119. Фукс Н. А. Механика аэрозолей. Изд. АН СССР. 1955. 352 с..

120. Хаппель Д., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976, 630 с..

121. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

122. Хединг Дж.

Введение

в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир, 1965. 237 с..

123. Чен Ч. Фильтрация аэрозолей волокнистыми материалами // Успехи химии. 1956. Т. 25, вып. 3. С. 368−392..

124. Шайгарданов Ю. З. Асимптотика по параметру решения эллиптического уравнения высокого порядка в окрестности линии разрыва предельного уравнения // Дифф. уравнения. 1985. Т. 21. N 4. С. 706−715..

125. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962. 127 с..

126. Acrivos A., Goddard J. D. Asymptotic expansions for laminar forced-convection heat and mass transfer. Pt 1. Low speed flows // J. Fluid Mech. 1965. T. 23. pt. 2. P. 273−291..

127. Acrivos A., Taylor T. D., Heat and mass transfer from single spheres in Stokes flow // Phys. Fluids. 1962 V. 5. N 5. P. 378−394..

128. Akhmetov R. G. Asymptotics of Solution for a Problem of Convective Diffusion with Volume Reaction Near a Spherical Drop // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, 2003, pp. S8-S12..

129. Brignell A. S. Solute extraction from an internally circulating spherical liquid drop. // Internat. J. Heat Mass Transfer. 1975. V. 18. N 1. p. 61−73.

130. Chapman S.J., Lawry J.M.S., Ockendon // Ray Theory for high-Peclet-number convection diffusion. SIAM J. APPL. MATH., 1999, Vol. 60, N 1, pp. 121−135.

131. Dobrokhotov S.Yu., Maslov V.P. Multiphase asymptotics of nonlinear partial differential equations with a small parameter // Sov. Sci.Rev., New York, Harwood Acad. Publishers. OVP. 1982. V.3. P. 221−311..

132. Fraenkel L.E. On the method of matched asymptotic expansions, Parts I-III // Proc. Camb. Phil. Soc. 1969. V. 65. N 1. pp. 209 263..

133. Goddard J. D., Acrivos A. Asymptotic expansions for laminar forced-convection heat and mass transfer. Part 2. Boundary layer flows //J. Fluid Mech., 1966, v. 24, pt. 2, p. 339−366..

134. Newman J. Mass transfer to the rear of a cylinder at high Schmidt number // Ind. and Engng Chem Fundam., 1969. V. 8(3). P. 553 557..

135. Polyanin A. D. Unsteady-State Extraction From a Falling Droplet With Nonlinear Dependens of Distribution Coefficient on Concentration // Internat. J. Heat Mass Transfer. 1984. V. 27. N 8. P. 1261−1276..

136. Prandtl L. Uber Flussigkeiten bei sehr kleiner Reibung // Vehr. III Internat. Math. Kongr. Heidelberg, 1904, Leipzig.- 1905. S..

137. Ruckenstein E. Mass transfer between a single drop and a continuous phase // Internat. J. Heat Mass Transfer. 1966. V. 10. N. 12. P. 1785−1792.

138. Schneider D. The sex atractant receptor of moths // Sei. Amer. 1974. V. 231. N 1. P.28−35.

139. Sih P.H., Newman J. Mass transfer to the rear of a sphere in Stoces flow // Internat. J. Heat Mass Transfer. 1967. V. 10. N 12. P.1749−1756.484.491..

140. Sutton W. G. L. On the equation of diffusion in a turbulent medium // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1943. V. 182. N 988. P. 48−75..