Позиционные звенья

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ

ВВЕДЕНИЕ

Позиционные звенья — это такие звенья, в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y (t)=kg (t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид

W (s)=k,

где N (s), L (s) — многочлены.

1. ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ (БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a_oy (t)=b_og (t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a_o=2

b_o=4

Запишем уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a_o:

y (t)=g (t)

y (t)=kg (t) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y (t)=kg (t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y (t)=Y (s)

g (t)=G (s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y (s)=kG (s)

W (s)=k (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g (t)=1. Тогда

h (t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w (t)==k (t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h (t)=21(t)

w (t)=2(t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса — импульсную функцию, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W (s)=k

W (j)=k (7)

W (j)=U ()+jV ()

U ()=k

V ()=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т. е.

A ()=W (j)

A ()=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

()=argW (j)

()=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L ()=20lg A ()

L ()=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A ()=2

()=0

L ()=20lg2

U ()=2

V ()=0

Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т. д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев, рассмотренных ниже, если можно пренебречь влиянием динамических процессов.

2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a_oy (t)=b_og (t-) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a_o=2

b_o=4

=0,1с Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a_o:

y (t)= g (t-)

y (t)=kg (t-) (2),

где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

y (t)=kg (t-) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y (t)=Y (s)

g (t-)=G (s)e^-s

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y (s)=kG (s) e^-s

W (s)= ke^-s (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g (t)=1.Тогда

h (t)=y (t)=k g (t-)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:

w (t)==k (t-) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

k=2

h (t)=21(t-)

w (t)=2(t-)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на =0,1с, а функция веса — импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W (s)=k e^-s

W (j)=k e^-j =k (cos-jsin) (7)

W (j)=U ()+jV ()

U ()=k cos

V ()=-ksin

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т. е.

A ()=W (j)

A ()=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

()=argW (j)

()= (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L ()=20lg A ()

L ()=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

A ()=2

()=0,1

L ()=20lg2

U ()=2cos0,1

V ()=-2sin0,1

3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₁ + a_oy (t) =b_og (t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₁=1,24

a_o=2

b_o=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

+y (t)=g (t)

T₁ +y (t)=kg (t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T₁=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T₁ p+1)y (t)=kg (t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y (t)=Y (s)

=sY (s)

g (t)=G (s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T₁ sY (s)+Y (s)=kG (s)

W (s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g (t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h (t)=H (s)

H (s)=W (s)==

Переходя к оригиналу, получим

h (t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w (t)=

или из преобразований Лапласа

w (t)=w (s)

w (s)=W (s)1

W (s)==

Переходя к оригиналу, получим

w (t)= e 1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T₁ =0.62

h (t)=2 1(t)

w (t)=3.2e1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает, что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса — также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W (s)=

W (j)= (7)

W (j)=U ()+jV ()==-j

U ()=

V ()=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т. е.

A ()=W (j)

A ()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

()=argW (j)

()=arctgk — arctg

()=-arctgT₁ (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L ()=20lg A ()

L ()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T₁ =0.62

A ()=

()=arctg0.62

L ()=20lg

U ()=

V ()=

4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-ГО ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₁ — a_oy (t) =b_og (t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₁=1,24

a_o=2

b_o=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

— y (t)=g (t)

Ty (t)=kg (t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(T p-1)y (t)=kg (t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y (t) = Y (s)

=sY (s)

g (t)=G (s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T sY (s)-Y (s)=kG (s)

W (s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g (t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h (t)=H (s)

H (s)=W (s)==

Переходя к оригиналу, получим

h (t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w (t)=

или из преобразований Лапласа

w (t)=w (s)

w (s)=W (s)1

W (s)==

Переходя к оригиналу, получим

w (t)= e 1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

k=2

T =0.62

h (t)=2 1(t)

w (t)=3.2e1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает, что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса — также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W (s)=

W (j)= (7)

W (j)==j=U ()+jV ()

U ()=

V ()=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т. е.

A ()=W (j)

A ()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

()=argW (j)

()=arctgk — arctg

()=-arctg (-T) (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L ()=20lg A ()

L ()=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

k=2

T =0.62

A ()=

()=-arctg (-0.62)

L ()=20lg

U ()=

V ()=

5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-ГО ПОРЯДКА

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂+a₁ + a_oy (t) =b_og (t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,588

a₁=50,4

a_o=120

b_o=312

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

++y (t)=g (t)

+T₁ +y (t)=kg (t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T₁=, T₂²=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T₁>2T₂), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:

T₁=0,42

2T₂=0,14

0,42>014, следовательно, данное уравнение — апериодическое.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p²+T₁ p+1)y (t)=kg (t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y (t) = Y (s)

=sY (s)

=s²Y (s)

g (t)=G (s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s²Y (s)+T₁ sY (s)+Y (s)=kG (s)

W (s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g (t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h (t)=H (s)

H (s)=W (s)== ,

Где T_3,4=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H (s)=

=

Переходя к оригиналу, получим

h (t)=k1(t) =

k 1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w (t)=

или из преобразований Лапласа

w (t)=w (s)

w (s)=W (s)1==

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w (s)=

=

Переходя к оригиналу, получим

w (t)= =

= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W (s)=

W (j)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W (j) ==

U ()=

V ()=

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т. е.

A ()=W (j)

A ()==.(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

()=argW (j)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L ()=20lg A ()

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a₂+a₁ + a_oy (t) =b_og (t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a₂=0,588

a₁=0,504

a_o=12

b_o=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:

++y (t)=g (t)

+T₁ +y (t)=kg (t) (2),

где k=-коэффициент передачи,

T₁=, T₂²=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T₁<2T₂), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T₁=0,042

2T₂=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение — колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T₂=T, .

Тогда уравнение (2):

Здесь T — постоянная времени, — декремент затухания (0<<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= .Получим:

(p²+2Tp+1)y (t)=kg (t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y (t) = Y (s)

=sY (s)

=s²Y (s)

g (t)=G (s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s²Y (s)+2T sY (s)+Y (s)=kG (s)

W (s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g (t)=1 или по преобразованиями Лапласа

h (t)=H (s)

H (s)=W (s)=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H (s)==

=

Заменим в этом выражении ,.Тогда

H (s)==

=

Переходя к оригиналу, получим

h (t)=k =

=k 1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w (t)=

или из преобразований Лапласа

w (t)=w (s)

w (s)=W (s)1===

=

Переходя к оригиналу, получим

w (t)= (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j:

W (s)=

W (j)= (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W (j)=

U ()=

V ()

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) — это модуль частотной передаточной функции, т. е.

A ()=W (j)

A ()== (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) — это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

()=argW (j)

()=argk — arg (2Tj — T²²+1)= - arctg

()= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L ()=20lg A ()

L ()=20lg