руб.)
F (S) Потребный объем Т
(т.чел.-т) Потребный объем материалов М
(т) Обозначения точки на графике 0
36 0, 0
0, 2
0, 3
3, 2
6, 0
6, 0 0
120 0
12 0
6 0
К А
В
D
G
3.
3. Пусть S = 0. В этом случае в нашей задаче выпуск продукции невозможен, так как сырье необходимо для производства обеих ее видов. Оптимальный план х0 = (0,0). Зададим небольшую величину объема сырья, например, S = 4. Ограничение по сырью примет вид:
и может быть построено на графике (рис.
3).
Множество допустимых планов OKL определяется лишь данным ограничением, остальные ресурсы M и Т при S = 4 избыточны.
Перемещая линию стоимости С параллельно себе, находим точку, в которой С принимает максимальное значение. Это точка К. Оптимальный план = (0, 2). Подставляя значения х1 = 0 и х2 = 2 в соответствующие ограничения, находим потребные объемы ресурсов и значение целевой функции СК = 40 (тыс. руб.). Результаты заносим в таблицу 2.
Заметим, что при изменении S от 0 и до 4 (т), точка оптимума перемещается по оси х2 вверх (на рис.
3 изображено стрелкой). Это движение продолжается до точки А, в которой начинает действовать ограничение по материалам М. То есть с увеличением S точка оптимума обязательно совпадет с точкой А. Запишем в таблицу 2 значение оптимального плана = (0, 2). Теперь подстановкой находим значение SА = 6, значение целевой функции Cn = 60 и потребные объемы ресурсов. Результаты заносим в таблицу 2.
Таким образом, при графическом решении параметрической задачи необходимо проследить траекторию движения оптимальной точки по границам области допустимых решений OABD. Так, при S > 6 (см. рис. 3, линия HN), область допустимых планов OAHN, оптимальный план .
То есть точка оптимума движется по ограничению М из точки, А в точку В и обязательно попадает в точку В. Как и ранее, заносим оптимальный план в таблицу 2 и пересчитываем значение ресурса S, целевой функции и потребные значения прочих ресурсов М и Т.
При достижении каждой вершины многоугольника OABD необходимо проверить, сдвинется ли точка оптимума при дальнейшем увеличении ресурса S. Так точка В, S = 16, соответствует исходной задаче (см. задание 1). При дальнейшем увеличении ресурса S > 16 в конечном счете точка оптимума попадет в точку D, что соответствует условиям задания 2 и S = 24. Если S > 24, например, S = 36, то ресурс сырья является избыточным и оптимальная точка все равно остается в точке D.
3.
4. На основании таблицы 2 и рис. 3 построим график зависимости оптимального значения стоимости выпуска от величины ресурса сырья S (см. рис. 4).
Поскольку для каждого значения ресурса сырья мы искали максимальное (а не произвольное) значение стоимости выпуска, полученный график отражает закономерность соотношения результатов и затрат в заданных условиях. Полученная на рис.
4 зависимость называется линией не возрастающей эффективности и в упрощенном виде отображает закон, сформулированный известным экономистом В. В. Новожиловым (1) для условий нейтрального научно-технического прогресса (неизменная производительность труда, материалои фондоемкость продукции). Суть этого закона состоит в следующем. Число эффективных способов использования дефицитного ресурса всегда ограничено. Поэтому при вовлечении ресурса в производственную систему каждая его дополнительная единица будет использоваться с невозрастающей эффективностью (прежней или меньшей). Следствием этого закона является то, что экстенсивное развитие в конечном счете приведет к снижению темпов экономического роста, дефицитной экономике.
В нашем примере для роста стоимости выпуска от 0 до 60 тыс. руб. требуется вовлечение в производство 6 т. сырья (точка
А), а для прироста стоимости еще на 60 тыс. руб., то есть до 120 тыс. руб., необходимо вовлечь еще дополнительно 18 т. сырья, доведя общий его объем до
24 т. Дальнейшее увеличение выпуска при постоянных прочих ограничениях невозможно.
3.
5. Рассчитаем количественные характеристики эффективности. Это можно сделать двумя способами.
Абсолютные коэффициенты эффективности считаются как отношение абсолютных величин результата и затрат:
и показывает среднее значение результата на единицу затрат. Они малочувствительны к пролеживанию ресурсов. Так, при S = 24 ED = 5 (см. рис.
4), а при S = 36 EG = 10/3. Вместе с тем из рисунка видно, что при S = 36 вообще не используется 36 — 24 = 12 (т) ресурса. Учитывая характер линии эффективности, видно, что абсолютные показатели не годятся для прогнозных расчетов дополнительного вовлечения ресурсов.
Рис.
3. Графическое решение параметрической задачи.
Рис.
4. Линия эффективности использования ресурса S.
Приростные коэффициенты эффективности рассчитываются как отношение приростов результата и затрат:
и показывают, как изменится результат при дополнительном вовлечении единицы ресурса. Они могут быть рассчитаны лишь в процессе моделирования объекта и соответствуют двойственным оценкам ресурсов при заданных их объемах.
В реальной экономике показатели эффективности строятся как абсолютные или приростные.
Итак, в нашем примере при малых объемах S < 6 сырье — единственный дефицитный ресурс и в оптимальный план входит продукция 2, самая эффективная с точки зрения его использования. и не входит продукция 1. В точке, А в силу вступает ограничение по материалам М. Для дальнейшего увеличения выпуска при дополнительном вовлечении сырья S > 6 в план включается первый вид продукции, более выгодный с точки зрения использования материалов.
Продукция 2 постепенно выводится из оптимального плана, при S ≥ 16 становится лимитирующим ограничением по труду, а материалы избыточны. Но так как продукция 1 более выгодна и с точки зрения трудозатрат,, она продолжает вводиться в оптимальный план вплоть до точки D.
3.
6. Используя график не возрастающей эффективности, можно оценить переход от исходного плана к новому, как предлагалось в задании 2.
При подобном переходе эффективность использования дополнительно вовлекаемых 8 т сырья составит, тогда как в исходном плане она составляла еще (см. рис. 4), то есть сырье будет использоваться менее эффективно, чем в исходном плане. Если данный ресурс является дефицитным с точки зрения народного хозяйства (отрасли), на него может быть установлен норматив эффективности. Так, если бы в нашем примере был установлен, например, норматив, предприятие не имело бы права дополнительно вовлекать ресурс и переходить к новому плану, потому что эффективность его использования была бы ниже нормативной .
Заключение
Искусство экономико-математического моделирования состоит в выполнении двух противоречивых между собой требований:
с одной стороны, заменить сложный экономический объект его математической моделью для облегчения проводимых исследований;
с другой стороны, обеспечить адекватность математической модели моделируемому экономическому объекту.
Некоторые преимущества использования экономико-математического моделирования по сравнению с непосредственным исследованием экономических объектов заключается в следующем:
— возможность исследования проектируемых, т. е. несуществующих объектов;
— уменьшение затрат средств и времени;
— замена приблизительных экспериментальных данных точно вычисляемыми значениями.
Практические задачи экономико-математического моделирования могут быть сведены к следующим:
— экономический анализ;
— экономическое прогнозирование;
— выработка управленческих решений;
— оптимизация.
Литература
Абчук В. А. Экономико — математические методы. — СПб., Союз, 1999
Багриновский К.А., Матюшок В. М. Экономико — математические методы и модели. — М.: РУДН, 1999
Жданов С. А. Экономические модели и методы в управлении. — М.: ДиС, 1998
Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике. — М.: ЮНИТИ, 1997
Мельник М. М. Экономико — математические методы в планировании и управлении материально — техническим снабжением. — М.: Высшая школа, 1990
Орлова И.В., Половников В. А., Федосеева Г. В. Курс лекций по экономико — математическому моделированию. — М.: Экономическое образование, 1993
Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. — М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999
Федосеев В.В., Гармаш А. Н. и др. Экономико — математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999
Хазинова Л. Э. Математическое моделирование в экономике. — М.: БЕК, 1998
Шипин Е.В., Чхартиневили А. Г. Математические методы и модели в управлении. — М.: Дело, 2000
Экономико — математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ Под ред. В. В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 1999.
