Построение кривых и поверхностей

Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида:

.

Величины a, b, c называют полуосями эллипсоида. Также эллипсоидом называют тело, ограниченное поверхностью эллипсоида. Эллипсоид представляет собой одну из возможных форм поверхностей второго порядка.

В случае, когда пара полуосей имеет одинаковую длину, эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом.

Для выяснения формы эллипсоида используется метод сечения поверхности плоскостями [5,6].

Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью XOY:

.

Таким образом, линия пересечения является эллипсом с полуосями a и b (рис. 12).

Рис. 12 — Сечение эллипсоида плоскостью XOY

Аналогично, сечения эллипсоида плоскостью YOZ даст эллипс:

с полуосями b и c, а сечение плоскостью XOZ даст эллипс с полуосями a и c:

.

Таким образом, получается каркас из сечений эллипсоида (рис. 13).

Рис. 13 — Сечения эллипсоида координатными плоскостями

Чтобы узнать, как выглядит эллипсоид внутри полученного каркаса, необходимо также рассмотреть сечение плоскостью. Эта плоскость параллельна оси XOY и пересекает ось OZ в точке h. Уравнение этой линии имеет вид:

Если, то в сечении получается эллипс, расположенный параллельно плоскости XOY.

Таким образом, весь эллипсоид составлен из эллипсов, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости XOY и подобных эллипсу в плоскости XOY .

Если две полуоси эллипсоида равны друг другу, то он называется эллипсоидом вращения (рис. 14). Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если, то все сечения эллипсоида плоскостями, при, будут окружностями.

Рис. 14 — Эллипсоид вращения Гиперболоид

Гиперболоид — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением:

однополостный гиперболоид (рис. 15 а):

;

двуполостный гиперболоид (рис. 15 б):

где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

Так же, как эллипсоид, однополостный гиперболоид имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Соответственно для исследования формы гиперболоида используется такой же метод сечения, который был изложен в пункте 4.

2.

а б Рисунок 15 — Гиперболоид

Исследуем форму двуполостного гиперболоида [5,6].

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью XOY. На этой плоскости, поэтому

.

Так как ни одна точка плоскости XOY не может удовлетворить этому условию, следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью YOZ. На этой плоскости, поэтому

.

Полученное уравнение — уравнение гиперболы на плоскости YOZ, где c — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Сечение плоскостью ХOZ тоже является гиперболой:

.

Чтобы узнать, как выглядит гиперболоид внутри полученного каркаса, необходимо также рассмотреть сечение плоскостью. Эта плоскость параллельна оси XOY и пересекает ось OZ в точке h. Уравнение этой линии имеет вид:

Очевидно, гиперболоид будет иметь сечение плоскостью если, при этом в сечении получается эллипс, расположенный параллельно плоскости XOY.

Параболоид

Параболоид ― тип поверхности второго порядка. Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

при этом если a и b одного знака, то параболоид называется эллиптическим (рис. 16 а);

если a и b разного знака, то параболоид называется гиперболическим (рис. 16 б);

если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром (рис. 16 в).

а б в Рис. 16 — Параболоид

Форма параболоида также исследуется методом сечений. Рассмотрим на примере эллиптического параболоида.

Эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии (координатные плоскости XOZ и YOZ) и ось симметрии (координатная ось OZ). Следовательно, ля построения эллиптического параболоида исследуются его сечения плоскостями XOZ и YOZ, а также плоскостью, при. Для детализации описания параболоида следует также провести сечение плоскостью, параллельной плоскости XOZ.

Конус

Конусом второго порядка называется поверхность (рис. 17), уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид:

где a, b и c — положительные числа.

С математической точки зрения уравнение конуса правильнее записывать как [5]:

.

Так же, как эллипсоид и гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Рис. 17 — Конус

Если в уравнении конуса, то сечения конуса плоскостями параллельными плоскости XOY являются окружностями. В этом случае поверхность называется прямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости YOZ, вокруг оси OZ. Именно с таким конусом мы имеем дело в школьном курсе математики.

Цилиндры

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые — образующими.

У цилиндрической поверхности бесконечно много разнообразных направляющих (изоморфных друг другу). Характеристикой направляющей кривой, качественно влияющей на цилиндрическую поверхность, является замкнутость: если направляющая кривая замкнута, цилиндрическая поверхность называется замкнутой, и разомкнутой в противоположном случае.

Цилиндрические поверхности второго порядка:

эллиптический цилиндр (рис. 18 а):

;

гиперболический цилиндр (рис. 18 б):

;

параболический цилиндр (рис. 18 в):

.

а б в Рисунок 18 — Цилиндры

Таким образом, для того чтобы построить, например эллиптический цилиндр, достаточно нарисовать на плоскости XOY направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси OZ. Для наглядности следует построить также одно-два сечения плоскостями, параллельными плоскости XOY. В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая.

Список литературы

Математические способности детей /

http://www.matanna5.ru/

Википедия — свободная энциклопедия /

http://ru.wikipedia.org/

Шипачев В. С. Высшая математика / Шипачев В. С. М: Высшая школа, 1990. — 479 с.

Г. Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. / Корн Г. А., Корн Т. М. — М: Наука. 1973. — 831 с.

Киселёв В.Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр: Интерактивный компьютерный учебник / Иван. гос. энеpг. ун-т. — Иваново, 2002.

Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия: Учеб.: Для вузов / Ильин В. А., Позняк Э. Г.- 5-е изд. — М: Наука. Физматлит, 1999. — 244 с.